与高一同学谈指数函数、对数函数复习_图文

维普资讯 http://www.cqvip.com

20 0 7年 第 24期  ,

数 学 通 讯 

与 高 一 同学谈 指 数 函数  数 函数 复 习  对
谢全苗  
( 虞 中 学 , 江  32 0 ) 上 浙 13 0 

指数函数、 对数函数既是高 中数学的重  点 与难 点 , 是历 年高 考 命题 的热 点 , 高 一  也 从
开 始就 扎 扎 实实 学 好这 一 内容 , 系 到 整个  关 高 中数 学 学 习 的成 败 , 做好 一 个 阶 段 的 复  而 习 又是其 中 的重 要一 环. 么 , 样 才能做 好  那 怎 这一 内容 的复 习呢 ? 哪些地 方要 特别 注意 呢 ?   本 文谈 一 谈这 一话 题 , 希望 能 给 同 学们 有 点 
帮 助.  

( A)- . 6  -  
厶 

( )一 妄 . B  
厶 

( 2  C) .

( D)一 2 .  

’  

解 析  这 是 一个基 本题 , 有些 同学 一  但

看 就傻 了眼 , 的疑 问是“ 他 对数 函数 怎么会 有  对 称轴 呢”? 事实 上 , 对数 函数 的 确没 有对 称  轴 , Y— lg  J 一 1l 一个复 合 函数 , 但 o  l C   是 O   而基 本 函数 Y= l   是 有对称 轴 的 ,   l z 由此 我 
们可 得 :  
1  

1 研 究指数 函数 、 数 函数 的 底 数 对其  ) 对 函数 图象 、 性质 的影 响. 于对 数 函数 , 对 还要  特别重 视 当真数 z不 变 时 , 数 a的 变 化对  底

Y — lg  o zI  

一 1 I 1g I (   )I   一 0 z  x一  a ,  
1   1 

其 函数 图象 、 性质 的影 响 , 在解 题 中灵 活运  并 用. 实 上 , 事 当底 数 a的值 不 变 时 , ’  ) 点(  ,   在 同一 支 曲线 上 移 动 , 就 是说 ( 3 也 z,, )的变  化 是“ 连续 的” 而 当底 数 a的值 变 化 时 , , 点  (  ) z, 是在 两支 曲线上 跳跃 , 也就 是说 (  )  ,   的变化 是“ 跳跃 的” .   2 )比较几 个 数 的大 小 , 指 数 函数 、 是 对  数 函数性 质 应用 的常见 题 型 , 一般 取 0 1这  、 类 数 做参 照 , 确定 其值 小于零 、 零 到 1之间  在 还是 大于 1 同一类 的两 个 值 的 大小 的 比较 , .   般情况 下 要选 取 合适 的 中 间量 ( 为桥 梁  称 数 ) 若 两值 中 , , 一值 大于 中间 量 , 一值 小于  另 中间量 , 问题 就解 决 了. 底数 a不 相 同时 , 当   不 能直 接用 指数 函数 、 数 函数 的性 质 来解 , 对  


它 的对称 轴 的方程 为 z: 一 由 一一2 1,    
“ 
1 

“ 

得 a=一 .   故选 ( ) B.  
厶 

‘  

例 2 函数 Y= lgz在 [ , 。 上 恒    o。 2 +o ) 有 l l 1 则 a的取值范 围是    > , (   )  
1  

() <a 1 1 a 2 A 妄 < 或 < < .  
厶  1  

() < a 去 或 1 a 2 Bo < < < .  
厶 

( 1< a< 2  C) .
1  

( n> 2或 0< a< - . D) 5  -  
厶 

解 析  这 也 是一 个 基 本 题 , 要解 对 , 但  

而要 用不等 式的性 质或 用数形 结合 的方 法 来  解( 因为数 的大小 就是形 的上 下 ) .   3 )要弄 清指数 函数 、 数 函数 与 二 次 函  对 数等 复合 而得 的复合 函数 的定义 域 和值域 及  单调 性. 指数 函数 、 若 对数 函数 的底数 a不确 

也要 有扎 实的基 本功 .   由 I,> 1 lgx<一1或 lgz> 1   I 3 得 o 。- o。 .  

1 )若 lgz> 1 o。 ,由 z∈ [2, o ) + o 得 
a> 1,-(o 。 I . 1gz)i . I I   lg2, o 。 于是 有  lg2> 1 解 得 a< 2,.1< a< 2 o. , ‘ . .  

2 若 lgz<一 1 由 z∈ [2, ) o  , +∞ ) 得 
O a< 1,1gx) = lg 2 于 是有  < (o .   o。 ,
1   1  

定, 研究 其复 合 函数 的定 义域 、 域 、 调 性  值 单 和最 值 时 , 须对 a分 类讨 论.、 ’   下 面给 出几 个具 体 的例子 来进 行说 明.   例 1 函数 Y — lg    o 2  一1l n O  l  ( ≠ )
的对 称 轴的 方程是 z 一 一2 那 么 a=  ,

lg2<一 1 解 得 a> 百 。百 o. , 1,. 1< a< 1 . .  
厶  厶 

综上 所述 , 实数 a的取值 范 围是  < a ‘ I    
< 1或 1< a< 2.故选 ( . A)  

)  

维普资讯 http://www.cqvip.com

2  

数 学 通 讯 

20 0 7年 第 24期  ,

例 3  若 a> 1, 口 一 lg < a ‘ 且   o。  


要 使 函数 厂  )的 值 域 为 R, 但 要 求  ( 不 g  ) ( 一  + ( +3 x+ - > 0 而 且必 须保  口 ) 2 -   ,
证 g  )能取 到一 切正 实数 , Ⅱ ( ( 且 g  )的 图象  与  轴 恒有公共点 , 以 △≥ 0 可 得 a≤一6 所 ,   或 。≥ 0 或 自 g  ) . ( 的最小 值  二 
0 也可 得 a≤一 6或 a≥ 0 , .  

lgY, o 。 则  , 间 的关 系是  Y之
( ) > Y > 0  A   .

(  

)  

(   — Y > 0  B) .

() C Y> x> 0 .  

( )不确 定 . D  

解析  这 个 不 等式 两 边都 由底 数 为 a   的指数 函数 与 对 数 函数 组 成 且 变 量 又 不 同 ,   有 的同学会 觉得 无从 下手 . 实上 , 里需 要  事 这
用整 体思想 来 考虑 .   记 厂  )一 a 。 lg , 当 a> 1时 , ( _ _ o  则   厂  )在 ( , o ) 是减 函数 , ( 0+ o上 于是 , 问题转  化 为 厂( < 厂  )的形式 , 得答案 为 ( .  ) ( 易 A)  
例 4 已知 0   <  < Y< 1a— l  ( , o   + 1, ) b— lg ( o : y+ 1), a b的大小 关 系  ; 则 ,
是 
( a> b  A) . ( 口 < b  C) .

≤ 

上述 错 解 却 正 是 第 二 空 的 答 案 .厂(    ) 的定 义域 为 R , 际上 就是 要 求 g  )一  。 实 (  
+ ( + 3 x+ - > 0对 一切  ∈ R恒 成立 , 口 ) -  ̄   -  
. 

‘ ± 

(  
( 口 一 b  B) .

)  

即要求 g  ) ( 的图 象在 轴 上方 , 因此 △< 0  , 解得 一 6 a< 0 < .   例 6 若 Y一 1g ( 。一 a 一 口   0 2  x )在 

( 一∞, 一√ ) 1   上是减函数 , 求实数 a的取值 
范 围.  

(), D n b的大小与  , Y的具 体取值 有关 .   解 析  这 里是 比较 两个对 数 的大小 , 但  其底 数 与 真数 都 含有 变 量 , 的同学 会 感 到  有
困难 , 是 自然 的. 这 因为 要解决 这类 问题 不但  要 知道 构造 中间 量( 即桥 梁数 )的方法 ( 一  以 个 对数 的底 数为 底 数 , 一个 对 数 的 真数 为  另

解析  本题 涉 及 对 数 函数 与 含 参 二 次  函数复 合 而 得 的复 合 函数 , 多 同学 会 这 样  许 来解 : 由于 对数 函 数 Y— lg t o z 是增 函 数 , 所  以只要 函数 Y= lg ( 。 a. 口 o 2  一 x 一 )的真 数 

£ (  )一 。 一衄 一a ( 在 一∞ ,1 3 上 大 于  ,一√ )
0 是 减 函数 , 是得  且 于
— a  2 口 < 。  '

真数 ) 这 里 的桥 梁数可 取 为 lg ( , o   + 1 , ) 而  且还 要能灵 活运 用 函数 的性 质和 不 等式 的性  质( 或图 象法 ) .   .  
由于 lg计1 < lg计1 o( )   o( ) Y< 0  ,
1   1  

j I   詈≥1 √, 一3  
l( 一√   0  ‘ £1 一 3 )≥ ,  

所 以F  _一 > 
l og( 1  计 )

l Og(+D  y Y 

_一 ,  

即有 lg ( o   + 1)> lg ( o   + 1) 所 以  ,
a — l& ( + 1) > lg ( + 1 ) o   o 工    > lg ( + 1)一 b  o    ,

解得 2 1 3 ≤ a< 0 ( 一√ ) .   事实 上这 个解 答 是 错 误 的 , 出错 的原 因 
是没 有理 解本 问题 的实 质 不 在 于要 求 “ 真数 

故选 ( . A)  

£ (  )一 。 一衄 一a在 ( ∞ ,一√ )上恒 大  一 1 3 于0, ” 而在 于求 函数 Y— lg ( 。 O o 2  一 a 口  T一 )

例 5 已知 函数 厂  )一 l[ 。 ( +    ( gx + 口
r   、

在( 一∞ , 一√ ) 有意义” 1 3 上“ 且是减函数时 
的充 要条 件. 因此 , 里滥 用 了 △, 了逻 辑  这 犯
上 的“ 目加强 条件 ”的错误 . 盲   正 确 的解答 是 : £ 一 。 设 (  ) 一衄 一口 由  , 于 Y— lgt o 2 是增 函数 , 问题 就 化为求 £   则 (  )

3 +N , 其值 ) - 若 域为R则实 的 值范 x , 数n 取  
‘ 士  ,  

围是 





取值 范 围是 

; 其定 义 域 为 R ,则 实 数 a的  若 .  

解 析  这 个基 本 问题 虽 看起来 简单 , 但  真做 起来 不 少 同学 不 是 混 为一 谈 , 就是 搞 反  出错 或者 不知 从何 下手. 如做 第一 空 , 些 同  有 学 常易错 误 地转 化 为 g   ( )一 。 ( 3 x + 口+ )  


在 ( c ,1 3 一 = , 一√ )上是减 函数 且大 于 0的充  。
要条件 , 于是得

j≥一3 (   号  √ 1 ) ’ 一  2
I( 一√ )≥ 0  £1 3 ’ ,

+ > 恒 立再 △ 0 一< < ≤ ≤? 罢 0成 ,由 <, 6 n  口 2 得   0 么 如 正解 呢 . 应何确答? 那   例 已 lb26 导且> 7 知0 +tn ,n  g 0= d g

维普资讯 http://www.cqvip.com

20 07年第 24期  。

数 学 通 讯 

3  

b> 1 试 比较 a 与 b 的大小 . , ~     解 析  这 里要 比较两 个 指数 的大小 , 但  其底 数 与指 数 都 是未 知 的 , 既不 能 用 指数 函  数 的性 质 与 图象 , 又不 能 用 不等 式 的 性 质 来 

3 .求 函数 Y— lg (3  —z ) 的  o { +2   

单调 区间 和值域 .   4 .已知 ,  )一 lgz( ( o 。 口> 0 a≠ 1 , , ) 
当 0< z  < z 2时 , 比 较 , 垒  ( )与 

解 , 的同学 会觉得 实在 不好 对付 , 有 特别 是 已  知 的“ 量关 系”不知 怎么 用. 等   事实上 , 我们可将 已知等式化 为 2 g b l . 一  o 
9o . 4— 0  ̄ ( 1gb一 1 (o . 4 。 0  1gb+ , p 2o . )1gb一 )一 ,

去[ (  +fx) 的大小. ,z) (。]  
厶 
. 

’ 口> 6 1 I1g6< 1 舍去 lg6— 1 . > ,. o 。 . , o   

5 .设 函数 f z ( )一 l gz l, 0< a 之      若 l <  b, , 口 且 ( )> , 6 证 明 : 6< 1. ( ), 口  

4得 lgb一 ÷ ,. , o。 -口一 b. .    
故只需 比较 6  与 6站的大小 , b> 1 . - 由 ,  
知 一 22 _ 2, .I < 6站 即 口 < 66 6 <. 6 .6  ‘ I,   _  .

6 是 否 存 耷 实 数. ,使 得 , z   . a ( )一
lg ( 一  o 。o x
? 

在 区间[2, 4]上 是增 函数 ?  
练 习题 答案 与提 示 

若存在 , 求出实数 a的取值范围.  
‘ 

1  

1  

例 8 已知 , z   ( )一 2 lgz, + o 3 z∈ [ , 1  9 , 函数 Y一 [ ( ) + f x )的值域 . ]求 , z] (    解 析  这 是一 个 针 对 学 生 忽 视 函 数 的  定 义域 而 设 置的 易错 题 . 多 同学 的解 答 过  很
程是 :  

‘ 

1 zI .{  一÷<z≤ 0 告 ≤z< 1) 或 .  
2 .口: -  口一  V或 .  

3 增 区间 为 [ ,) 减 区间为 ( l 1   . 13 , 一 ,];

值域 为[ 2 + ∞).   ,  
4 (l x2 .f x +



3一  ( )  , j )一 ( gz+ 2 +  , z ] + (2 c 13 o )


1g  + 2一 l  z+ 6o 3 o3 o lgz+ 6一 ( g x+ 3   1 3 o )


)< I (   + 厂 z )   fz) ( :].
J ga J J gbJ  l  >  l        

3 .z∈ [,] .1gx ∈ [ ,] 而 Y一  .. . 19 ,. 3 。o 02 ,
( gx+3  在 l 3 13 o )一3 o x∈ [ ,] 单调递增 , g 02 上   6≤ Y≤ 2 . 函数 的值 域为[ ,2 . 2故 62]   对 于上述解 答 , 不少学 生 以为是 对 的. 实  际上 , 然这里 考虑 了 函数 的定 义域 , 求得  虽 但 的定 义 域是错 误 的.  
‘ . . 。

5 ()> 厂 6  ., 口 ()
l 口> l    
?

(1a— l6 (1a+ l6 g g) g g )> 0.  

‘0< a< b,?l口 l6,. 1 — lb 0   g < g 。g . a g< ,

^la+ lb< 0,即 la g g g b< 0 , a   6< 1.  

6 .设 t 一 
> 0  ̄/ (t =o 一 
a 

,   一  > 0  ̄ t 由 = a 一t  
) > 0 , n> 0 ,t 0 , 又 >  

正 的答 : 三 确 解 是由    

[ ,] 即函数 3 一 [ ( )  f x )的定 义  13 , , , z ] + (  域 为 [ ,] 所 以 lgz ∈ [ ,] 13 , o。 0 1 ,而 Y 一 

z  所 以 t ∈ > 
.  

a 

时 函数 有意 义. 又 ()一 以  t £ 一 

— n( 一 卜   2


(o3 F3 一 3 lgz∈ E ,]上单 调 递  1gz- ) 在 o3 01 增 ,. ≤ Y≤ 1. 函数 的值 域为 [ ,3. . ~ 3故 6 1]  
练 习 题 

) ( 丢是 £去 对   £ ) 以一 为  一 >
‘ 

1 

1  

称轴 的抛物 线. 因为  >  , 以  ()在  又 所 £

1 。已知 函数 


定义区间( +∞) ÷, 上单调递增. 要使原函  
2  

(   1)一 lg 兰 ( > 1 . z 一 o      _ )  

数在 z∈ [2, 4]上单 调递增 , 有 a 1 应 > 且 
≤ 2 解 得 a> 1 , .  
“ 

解 关 于 z的不等 式 , z ≥ lg (3 ( ) o   x+ 1   ). 2 .函数 , z ( )一 a (   口> 0 a≠ 1 在  且 )

I 只须实 数 . .


a∈ (1, +∞ ) 即可满 足要 

区间[ 2 1,]上 的最 大值 比最 小 值 大  , n 则   的值 为  .  

求.  
( 稿 日期 : 0 6 0 — 2 l 收 20 — 7 8 


相关文档

3.4高一指数函数和对数函数复习回顾
职高高一指数函数与对数函数复习题
高一指数函数与对数函数复习课教案_
2013高一指数函数与对数函数总结复习课件
高一(上)期末复习 4.指数函数、对数函数、幂函数
与高一同学谈指数函数、对数函数
高一数学第三章 指数函数和对数函数小结与复习
高一暑假数学复习2(幂函数指数函数和对数函数)
高一暑假数学复习1(幂函数指数函数和对数函数)
高一数学指数函数、对数函数及幂函数期中复习讲义含答案
学霸百科
新词新语
电脑版 | 学霸百科