导数的应用题型归纳

导数的应用题型 一、已知单调区间求参数范围,△的分类讨论,二次方程根的分布 1.
3 2 2 (06 全国卷 I)设 a 为实数,函数 f ? x ? ? x ? ax ? a ? 1 x 在 ? ??,0? 和 ?1, ?? ? 都

?

?

是增函数,求 a 的取值范围。 解:f'(x)=3x2-2ax+(a2-1),其判别式△=4a2-12a2+12=12-8a2. (ⅰ)若△=12-8a2=0,即 a=± 数.所以 a=± 6 . 2 6 a a ,当 x∈(-∞, ),或 x∈( ,+∞)时,f'(x)>0,f(x)在(-∞,+∞)为增函 2 3 3

3 (ⅱ)若△=12-8a2<0,恒有 f'(x)>0,f(x)在(-∞,+∞)为增函数,所以 a2> , 2 即 a∈(-∞,- 6 6 )∪( ,+∞) 2 2 a- 3-2a2 a+ 3-2a2 6 6 <a< ,令 f'(x)=0,解得 x1= ,x2= . 2 2 3 3 6 2

(ⅲ)若△12-8a2>0,即-

当 x∈(-∞,x1),或 x∈(x2,+∞)时,f'(x)>0,f(x)为增函数;当 x∈(x1,x2)时,f'(x)<0,f(x)为减函数.依 题意 x1≥0 且 x2≤1.由 x1≥0 得 a≥ 3-2a2 ,解得 1≤a< 由 x2≤1 得 3-2a2 ≤3-a,解得- 综上,a 的取值范围为(-∞,-

6 6 6 <a< ,从而 a∈[1, ) 2 2 2

6 6 6 6 ]∪[ ,+∞)∪[1, ),即 a∈(-∞,- ]∪[1,∞). 2 2 2 2

练习: (2004 浙江文)已知 a 为实数, f ( x) ? ( x 2 ? 4)(x ? a) (Ⅰ)求导数 f ?(x) ; (Ⅱ)若 f ?(?1) ? 0 ,求 f (x) 在[-2,2] 上的最大值和最小值; (Ⅲ)若 f (x) 在(-∞,-2]和[2,+∞)上都是递增的,求 a 的取值范围。 解: (Ⅰ)由原式得 f ( x) ? x ? ax ? 4 x ? 4a,
3 2

∴ f ?( x) ? 3x ? 2ax ? 4.
2

1 1 2 2 ,此时有 f ( x) ? ( x ? 4)( x ? ), f ?( x) ? 3 x ? x ? 4 . 2 2 4 4 50 9 , f (?1) ? , f (?2) ? 0, f (2) ? 0, 由 f ?(?1) ? 0 得 x ? 或 x=-1 , 又 f ( ) ? ? 3 3 27 2 9 50 . 所以 f(x)在[--2,2]上的最大值为 , 最小值为 ? 2 27
(Ⅱ)由 f ?(?1) ? 0 得 a ? (Ⅲ)解法一: f ?( x) ? 3x ? 2ax ? 4 的图象为开口向上且过点(0,--4)的抛物线,由条件得
2

f ?(?2) ? 0, f ?(2) ? 0,

即 4a ? 8 ? 0

?8 ? 4a ? 0.

∴--2≤a≤2.

所以 a 的取值范围为[--2,2]. 解法二:令 f ?( x) ? 0 即 3x 2 ? 2ax ? 4 ? 0, 由求根公式得: x1, 2 ? 所以 f ?( x) ? 3x 2 ? 2ax ? 4. 在 ?? ?, x1 ?和 ?x2 ,??? 上非负. 由题意可知,当 x≤-2 或 x≥2 时, f ?(x) ≥0, 从而 x1≥-2, x2≤2, 解不等式组得: --2≤a≤2.

a ? a 2 ? 12 ( x1 ? x2 ) 3

? 即? a

?

2 ? 12 ? a ? 6

? a 2 ? 12 ? 6 ? a. ?

∴a 的取值范围是[--2,2].


相关文档

导数的应用 知识点与题型归纳
《导数及其应用》经典题型总结
导数及其应用经典题型总结
《高考数学题型全归纳》之 导数的应用
高中数学题型全面归纳 导数的应用15
2012届高三复习归纳导数应用的题型与方法
导数及其应用导学案(题型归纳、复习)
导数及其应用导教学案(题型归纳、复习)
导数及其应用导学案(题型归纳、复习)(印)
常见题型解决方法归纳、反馈训练及详细解析 专题46 导数的应用
电脑版