《随堂优化训练》高中数学 第三章 章末整合提升课件 新人教A版必修1

章末整合提升 专题一 函数的零点与方程根的关系 1.方程 f(x)=0 有实数根? 函数 y=f(x)的图象与 x 轴有交 点? 函数 y=f(x)有零点. 2.函数变号零点具有的性质:对于任意函数 y=f(x),只要 它的图象是连续不断的,则有: (1)当它通过零点时,函数值变号. (2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号. 例 1:已知 a 是实数,函数 f(x)=2ax2+2x-3-a.如果函数 y=f(x)在区间[-1,1]上有零点,求 a 的取值范围. 思维突破:根据函数零点与方程根的关系,分有一个零点 和两个零点两种情况讨论. 解:当 a=0 时,f(x)=2x-3,显然在[-1,1]上没有零点, 所以 a≠0. 当 a≠0 时,函数 f(x)在区间[-1,1]分为两种情况: ①函数在区间[-1,1]上只有一个零点,此时 ?? ? 8a 2 ? 24a ? 4 ? 0 ? , ? 1 ??1 ? ? 2a ? 1 ? 或 f(1)· f(-1)=(a-1)(a-5)≤0, -3- 7 解得 1≤a≤5 或 a= . 2 ②当 y=f(x)在[-1,1]上有两个零点时,则 ?? ? 8a 2 ? 24a ? 4 ? 0 ? 1 ? , ?1 ??1 ? ? 2a ? ? ? f (1) ? f (?1) ? 0 -3+ 7 ? -3- 7 ?a< 2 或a> 2 ? 1 1 解得? a ≤ - 或 a ≥ ? 2 2 ? ?a<1或a>5 -3- 7 1 即 a< 或2≤a<1 或 a>5. 2 , 综上所述,如果函数在区间[-1,1]上有零点,实数 a 的取 -3- 7 1 值范围为 a≥2或 a≤ . 2 1-1.函数 f(x)=2log2x- x 的零点的大致区间为( A ) A.(1,2) C.(4,8) 1 2 1 2 B.(2,4) D.不能确定 解析: ∵f(1)=2log21-1 =-1<0, f(2)=2log22=2- 2>0, f(4)=2log24- 4 =2>0,f(8)=2log28-8 =6-2 的零点在(1,2)上,故选 A. 1 2 1 2 2>0,故 f(x) 1-2.对定义在实数集上的函数 f(x),若存在实数 x0,使得 f(x0)=x0,那么称 x0 为函数 f(x)的一个不动点. (1)已知函数 f(x)=ax2+bx-b(a≠0)有不动点(1,1), (-3,-3),求 a· b; (2)若对于任意实数 b,函数 f(x)=ax2+bx-b(a≠0)总有两 个相异的不动点,求实数 a 的取值范围. 解:(1)∵f(x)的不动点为(1,1),(-3,-3). ? ?a+b-b=1 ∴? ? ?9a-3b-b=-3 , ∴a=1,b=3. (2)∵函数总有两个相异的不动点, ∴ax2+(b-1)x-b=0,Δ>0, 即(b-1)2+4ab>0 对 b∈R 恒成立. Δ1<0 即(4a-2)2-4<0. ∴0<a<1. 专题二 函数模型的应用 例 2:某大学要招 A 学生代表大会,规定各班每 10 人推选 一名代表,当各班人数除以 10 的余数大于 6 时再增选一名代表, 那么,各班可推选代表人数 y 与该班人数 x 之间的函数关系, 用取整函数 y =[x]([x] 表示不大于 x 的最大整数) 可以表示为 ( B ) ?x? A.y=?10? ? ? ?x+4? ? C.y=? 10 ? ? ?x+3? ? B.y=? ? 10 ? ?x+5? ? D.y=? 10 ? ? 思维突破:方法一:特殊取值法,若 x=56,y=5,排除 C、D, 若 x=57,y=6,排除 A,所以选 B. 方法二:设 x=10m+a(0≤a≤9), 当 0≤a≤6 当 6<a≤9 ?x+3? ? ?x? a+3? ? ? ? ? 时, = m+ =m=?10?, 10 ? ? ? ? 10 ? ? ?x+3? ? ?x? a+3? ? ? ? ? 时, = m+ =m+1=?10?+1. 10 ? ? ? ? 10 ? ? ?0.1+15ln a ?x≤6? ? a-x 2-1.有时可用函数 f(x)=? ?x-4.4?x>6? ? x-4 :描述学 习某学科知识的掌握程度,其中 x 表示某学科知识的学习次数 (x∈N*),f(x)表示对该学科知识的掌握程度,正实数 a 与学科知 识有关. (1)证明:当 x≥7 时,掌握程度的增加量 f(x+1)-f(x)总是 下降; (2)根据经验,学科甲、乙、丙对应的 a 的取值区间分别为 (115,121],(121,127],(127,133].当学习某学科知识 6 次时,掌 握程度是 85%,请确定相应的学科. 解:(1)证明:当 x≥7 时, 0.4 f(x+1)-f(x)= , ?x-3??x-4? 当 x≥7 时,函数 y=(x-3)(x-4)单调递增, 且(x-3)(x-4)>0, 故 f(x+1)-f(x)单调递减. ∴当 x≥7 时,掌握程度的增长量 f(x+1)-f(x)总是下降. a (2)由题意可知 0.1+15ln =0.85, a- 6 a 整理得 =e0.05, a- 6 e0.05 解得 a= 0.05 ×6≈20.50×6=123.0. e -1 123.0∈(121,127],由此可知,该学科是乙学科.

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