高中数学 必修二 第四章 圆与方程 4.2 4.2.1_图文

4.2 直线、圆的位置关系 4.2.1 直线与圆的位置关系 目标定位 1. 理解直线和圆的三种位置关系 .2. 会用代 数与几何两种方法判断直线和圆的位置关系. 课前自学 课堂互动 课堂达标 自 主 预 习 直线与圆的位置关系及判断 位置关系 公共点个数 几何法:设圆心到直线的距离 d= 判 |Aa+Bb+C| A2+B2 定 方 法 ?Ax+By+C=0 代数法: 由? 2 2 2 ?(x-a) +(y-b) =r 相交 2个 相切 1个 相离 0个 D___r < D= ___r D___r > Δ___0 > Δ___0 Δ___0 = < 消元得到一元二次方程的判别式 Δ 图形 课前自学 课堂互动 课堂达标 即 时 自 测 1.判断题 (1)直线与圆的位置关系有三种:相交、相切、相离.(√ ) (2)直线和圆相切,有且只有一个公共点.( √ ) (3)过圆外一点作圆的切线有两条.( √ ) (4)解决有关直线与圆的位置关系问题有两种思路:一是代数法, 二是几何法.( √ ) 课前自学 课堂互动 课堂达标 2. 直线 3x + 4y + 12 = 0 与圆 (x - 1)2 + (y + 1)2 = 9 的位置关系是 ( ) B.相切 D.相交但不过圆心 圆心 (1 ,- 1) 到直线 3x + 4y + 12 = 0 的距离 d = A.过圆心 C.相离 解析 |3×1+4×(-1)+12| 11 = 5 <r . 2 2 3 +4 答案 D 课前自学 课堂互动 课堂达标 3.(2016· 全国卷Ⅱ)圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+ y-1=0的距离为1,则a=( 4 A.- 3 C. 3 3 B.- 4 D.2 ) 解析 由圆的方程 x2+y2-2x-8y+13=0 得圆心坐标为 |1×a+4-1| (1,4),由点到直线的距离公式得 d= =1, 2 1+ a 4 解之得 a=-3. 答案 A 课前自学 课堂互动 课堂达标 4.由点P(1,3)引圆x2+y2=9的切线的长是________. 解析 点 P 到原点 O 的距离为|PO|= 10,∵r=3, ∴切线长为 10-9=1. 答案 1 课前自学 课堂互动 课堂达标 类型一 直线与圆的位置关系的判断 【例1】 已知直线方程 mx-y-m-1=0,圆的方程x2+y2- 4x-2y+1=0.当m为何值时,圆与直线 (1)有两个公共点; (2)只有一个公共点; (3)没有公共点. 课前自学 课堂互动 课堂达标 解 法一 将直线 mx-y-m-1=0 代入圆的方程化简整 理得,(1+m2)x2-2(m2+2m+2)x+m2+4m+4=0. 4 ∵Δ =4m(3m+4),∴当 Δ>0 时,即 m>0 或 m<- 时,直 3 线与圆相交,即直线与圆有两个公共点; 4 当Δ =0 时,即 m=0 或 m=-3时,直线与圆相切,即直 4 线与圆只有一个公共点;当 Δ<0 时,即- <m<0,直线与 3 圆相离,即直线与圆没有公共点. 课前自学 课堂互动 课堂达标 法二 已知圆的方程可化为(x-2)2+(y-1)2=4, 即圆心为 C(2,1),半径 r=2. 圆心 C(2 , 1) 到直线 mx - y - m - 1 = 0 的距离 d = |2m-1-m-1| |m-2| = 2 2. 1+m 1+m 课前自学 课堂互动 课堂达标 4 当 d<2 时,即 m>0 或 m<- 时,直线与圆相交,即直线与 3 圆有两个公共点; 4 当 d=2 时,即 m=0 或 m=- 时,直线与圆相切,即直线 3 与圆只有一个公共点; 4 当 d>2 时,即- <m<0 时,直线与圆相离,即直线与圆没 3 有公共点. 课前自学 课堂互动 课堂达标 规律方法 直线与圆位置关系判断的三种方法 (1)几何法:由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关 系判断. (2) 代数法:根据直线与圆的方程组成的方程组解的个 数来判断. (3) 直线系法:若直线恒过定点,可通过判断点与圆的 位置关系判断,但有一定的局限性,必须是过定点的直 线系. 课前自学 课堂互动 课堂达标 【训练1】 已知圆C:x2+y2-4x=0,l是过点P(3,0)的直线, 则( ) B.l与C相切 A.l与C相交 C.l与C相离 解析 -12=-3<0, ∴点P(3,0)在圆内. D.以上三个选项均有可能 将点P(3,0)代入圆的方程,得 32+ 02 - 4×3= 9 ∴过点P的直线l必与圆C相交. 答案 A 课前自学 课堂互动 课堂达标 类型二 圆的切线问题(互动探究) 【例 2 】 过点 A(4 ,- 3) 作圆 (x - 3)2 + (y - 1)2 = 1 的切线,求 此切线的方程. [思路探究] 探究点一 情况? 提示 有三种: 过定点 A 作已知圆的切线,有关切线条数有几种 ①当点A在圆内时,无切线; ②当点A在圆上时,有且只有一条切线; ③当点A在圆外时,有两条切线. 课前自学 课堂互动 课堂达标 探究点二 求经过一点的圆的切线方程的解题策略是什么? 提示 求经过一点的圆的切线方程,要先判断点和圆的位置 关系,若点在圆上,则切线只有一条,若点在圆外,则切线 方程有两条,应注意切线斜率不存在的情况. 解 因为(4-3)2+(-3-1)2=17>1,所以点 A 在圆外. (1)若所求直线的斜率存在,设切线斜率为 k, 则切线方程为 y+3=k(x-4).即 kx-y-3-4k=0, 因为圆心 C(3,1)到切线的距离等于半径 1, 课前自学 课堂互动 课堂达标 |3k-1-3-4k| 2 所以 = 1 ,即 | k + 4| = k +1, 2 k +1 15 所

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