宁夏石嘴山市第三中学2019届高三数学上学期第一次月考(开学)考试试题文(含解析)

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宁夏石嘴山市第三中学 2019 届高三上学期第一次月考考试 数学(文)试题
第I卷 一、单选题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。 1.设集合 A. 【答案】C 【解析】 试题分析:集合 考点:1.解不等式;2.集合的交集运算. 2.【2018 年理新课标 I 卷】设 A. B. C. D. ,则 , 。 B. , C. D. ,则 =( )

【答案】C 【解析】 分析:首先根据复数的运算法则,将其化简得到 选出正确结果. 详解:因为 ,所以 ,故选 C. ,根据复数模的公式,得到 ,从而

点睛: 该题考查的是有关复数的运算以及复数模的概念及求解公式, 利用复数的除法及加法 运算法则求得结果,属于简单题目. 3.若 A. B. ,则 C. D.

【答案】B 【解析】 【分析】 由公式 可得.

1

【详解】 故选:B.

,

【点睛】本题考查二倍角余弦函数公式,属于基础题. 4.函数 的图像大致为

A.

B.

C.

D.

【答案】D 【解析】 分析:根据函数图象的特殊点,利用函数的导数研究函数的单调性,由排除法可得结果. 详解:函数过定点 求得函数的导数 由 得 得 或 , ,此时函数单调递增,排除 ,故选 D. ,排除 , ,

点睛:本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质,属于中档题.这类题型也是近年 高考常见的命题方向,该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多,但是并不是无路 可循.解答这类题型可以从多方面入手,根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊 点以及 一一排除. 5.已知向量 满足 ,则
2

时函数图象的变化趋势,利用排除法,将不合题意的选项

A. 4

B. 3

C. 2

D. 0

【答案】B 【解析】 【分析】 把向量的数量积展开,再代入模与数量积即可求值。 【详解】由 = ,选 B.

【点睛】 本题考查向量的数量积运算, 同时运用了向量数量积的分配律和向量平方与向量模 的关系公式,属于基础题。 6.已知 A. 【答案】D 【解析】 分析:由题意结合指数函数、对数函数的性质确定 a,b,c 的范围,然后比较其大小即可. 详解:由指数函数的性质可知: , , , B. ,则 C. 的大小关系为 D.

且 综上可得:

, .

,据此可知:



本题选择 D 选项. 点睛:对于指数幂的大小的比较,我们通常都是运用指数函数的单调性,但很多时候,因幂 的底数或指数不相同, 不能直接利用函数的单调性进行比较. 这就必须掌握一些特殊方法. 在 进行指数幂的大小比较时,若底数不同,则首先考虑将其转化成同底数,然后再根据指数函 数的单调性进行判断.对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较,利用图象法求解,既快 捷,又准确. 7.已知等差数列 A. 【答案】B 【解析】
3

的前 项和为 , C. D.



,则数列

的前 项和为( )

B.

设等差数列 ∵ ∴ ∴ ∴ ∴数列 故选 B. ,则 ,

的首项为 ,公差为 .

的前 项和为

点睛:裂项相消法是最难把握的求和方法之一,其原因是有时很难找到裂项的方向,突破这 一难点的方法是根据式子的结构特点,常见的裂项技巧:(1) ; (3) ; (4) ; (2)

;此外,需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题, 导致计算结果错误. 8.执行如图所示的程序框图,则输出的 ( )

A.

B.

C.

D.

【答案】C 【解析】 第一次循环 第五次循环 ,第二次循环 ,第六次循环 ,第三次循环 ,第七次循环 ,第四次循环 ,第八次循环 , ,

4

第九次循环 9.在△ A. 【答案】A 【解析】 中,

满足题意,此时输出 k 为 9,故选 C. 为 B. 边上的中线, 为 C. 的中点,则 D.

分析:首先将图画出来,接着应用三角形中线向量的特征,求得 向 量 的 加 法 运 算 法 则 ------- 三 角 形 法 则 , 得 到 ,下一步应用相反向量,求得 详解:根据向量的运算法则,可得

,之后应用 ,之后将其合并,得到

,从而求得结果.

, 所以 ,故选 A.

点睛: 该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题, 涉及到的知识点有三角形的中线向 量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题,在解题的过程中,需要 认真对待每一步运算. 10.在正项等比数列 A. 【答案】C 【解析】 分析: 为 、 的等比中项,则 ,由韦达定理,求出 , B. 中,若 , 是方程 C. D. 的两根,则 的值是( )

从而求出 ,因为数列为正项数列,则取正数. 详解:因为 、 为方程的两根,由韦达定理, 为 、 的等比中项,则 ,解得 , ,

5

因为数列为正项数列,所以 故选 C



点睛:本题主要考察等比中项的公式,当结果为两个时,需要进行分析,防止多解, 等比数列隔项符号相同. 11.如图, 六个边长为 1 的正方形排成一个大长方形, AB 是长方形的一条边, 是小正方形的其余各个顶点,则 的不同值的个数为

A. 10 【答案】C 【解析】 【分析】

B. 6

C. 4

D. 3

根据向量的数量积的几何意义可以快速判断几种情况,不需要一个个算出数量积。 【详解】由题意可得, ,即几何意义为向量 在向量 方向上投影

的 3 倍, 所以当点 取在



=0,

是一种情况,

是一种情况,



一种情况,总共是 4 种情况,所以选 C. 【点睛】 数量积 的几何意义为向量在向量 方向上的投影与 的乘积, 也可以认为是向量

在向量方向上的投影与 的乘积。 12.已知 则 A. 2 B. C. 2018 是定义域为 = D. 018 的奇函数,满足 ,若 ,

【答案】A 【解析】 【分析】
6

由题意可知函数对称轴为 x=1, 奇函数, 可得函数的周期为 T=4,通过赋值算出一个周期的值, 再根据周期性求和。 【详解】 由题意可得函数 f(x)的对称轴为 x=1, 又因为奇函数, 所以函数 f(x)的周期为 T=4, 由奇函数及 由 f(1)=2, ,得 f(2)=f(0)=0, ,得 f(3)=f(-1)=-f(1)=-2,

f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=0,即一个周期的值的和为 0. =f(1)+f(2)=2,选 A. 【点睛】本题考查函数的对称性与周期性的关系,同时考虑学生对赋值法的掌握,需要学生 对函数性质较熟悉。 第 II 卷 二、填空题:本题共 4 小题,每题 5 分,共 20 分。 13.曲线 在点 处的切线方程为__________.

【答案】y=2x–2 【解析】 分析:求导 详解:由 则曲线 在点 ,可得斜率 ,得 处的切线的斜率为 ,即 . , ,进而得出切线的点斜式方程.

则所求切线方程为

点睛:求曲线在某点处的切线方程的步骤:①求出函数在该点处的导数值即为切线斜率;② 写出切线的点斜式方程;③化简整理. 14. 【答案】 【解析】 因为 将 因为 15.若 , ,根据正弦定理, , ,所以 ,则 代入,解得 ,则 . =_________ , , 的内角 的对边分别为 ,已知 ,则 _________.

7

【答案】 【解析】 ∵ ,

∴f(x)+f(1﹣x)=

+

=

+

=

=1,

∴ =500×[ =500. 故答案为:500. 16. 下面有 5 个命题: ①函数 的最小正周期是 . . 的图象和函数 的图象有 3 个公共点. 的图象. + ]

②终边在 轴上的角的集合是 ③在同一坐标系中,函数 ④把函数 ⑤函数 在

的图象向右平移 得到 上是减函数.

其中,真命题的编号是___________(写出所有真命题的编号) 【答案】①④ 【解析】 ① ,正确;②错误;③ , 和 在第一象

限无交点,错误;④正确;⑤错误.故选. 三、解答题:共 70 分。解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.记 为等差数列 (1)求 的前 项和,已知 , .

的通项公式;
8

(2)求 ,并求 的最小值. 【答案】 (1) 【解析】 【分析】 (1)设{an}的公差为 d,由待定系数法求得 d,再求得通项。 (2)由二次函数的性质求得 的最小值。 【详解】 (1)设{an}的公差为 d,由题意得 3a1+3d=–15.由 a1=–7 得 d=2. 所以 的通项公式为
2

; (2)

.


2

(2)由(1)得 Sn=n –8n=(n–4) –16. 所以当 n=4 时,Sn 取得最小值,最小值为–16. 【点睛】本题考查等差数列五个基本量的求解,同时考查通过二次函数性质求等差数列前 n 项和的最值问题,属于基础题。 18.已知函数 (Ⅰ)求 . 的最小周期和最小值, 的图像上每一点的横坐标伸长到原来的两倍,纵坐标不变,得到函数

(Ⅱ)将函数 的图像. 当x

时,求

的值域. ; (2) .

【答案】 (1)最小正周期为 ,最小值为 【解析】

试题分析: (Ⅰ)借助题设和二倍角公式将其化为 件和正弦函数的最大值最小值求解. 试题解析: (1) , 因此 的最小正周期为 ,单调递增区间为 .

求解; (Ⅱ)借助题设条

(2)由条件可知:

9

当 从而 那么 故

时,有 的值域为 的值域为 在区间 ,



. .

上的值域是

考点:三角函数的图象和性质等有关知识的综合运用. 19.已知数列 的前 项和 满足 的通项公式; ,求数列 ; (2) 的前 项和 . . .

(1)求数列 (2)设 【答案】 (1) 【解析】 【分析】 (1)应用公式 前 项和 。 【详解】 (1)当 当 时, .

可求的通项 的表达式(2)由错位相减法求得数列



时, ,符合上式.



综上, (2)

.则

由(1)-(2)得



. 可求的通项 的

【点睛】知道 的表达式求数列通项时,我们常应用公式 表达式。

10

20.设

的内角

所对的边分别是

,且





的等差中项.

(Ⅰ)求角 ; (Ⅱ)设 ,求 周长的最大值.

【答案】(1)60°;(2)6. 【解析】 分析: (1)法一:由题意,利用正弦定理,化简得 ,即可求解角 的大小;

法二:由题意,利用余弦定理化简得到

,即

,即可求解角 的大小;

(2)法一:由余弦定理及基本不等式,得 正弦定理和三角恒等变换的公式化简整理得 长的最大值. 详解: (1)法一:由题, 由正弦定理, , ,

,进而得

周长的最大值;法二:由 ,进而求解 周



,解得

,所以



法二:由题,由余弦定理得:



解得

,所以



(2)法一:由余弦定理及基本不等式,

, 得 故 ,当且仅当 周长 时等号成立, 的最大值为 .

法二:由正弦定理,



故周长

11



,∴当

时,周长 至 使得 ,则

的最大值为 . ,

法三:如图,延长

于是,在

中,由正弦定理:







故周长 ∵ ,∴当

, 时,周长 的最大值为 .

点睛: 在解有关三角形的题目时, 要有意识地考虑用哪个定理更合适, 或是两个定理都要用, 要抓住能够利用某个定理的信息.一般地,如果式子中含有角的余弦或边的二次式时,要考 虑用余弦定理;如果式子中含有角的正弦或边的一次式时,则考虑用正弦定理;以上特征都 不明显时,则要考虑两个定理都有可能用到. 21.已知函数 (1)当 (2)若 ,求 . 的最值;

有两个不同的极值点,求的取值范围. ,无最大值; (2) .

【答案】 (1)最小值为 【解析】 【分析】 (1)求导可得 价于

,所以

,无最大值。 (2)

有两个极值点等

有两个不等实根,再用分离能数法可知 ,用导数可求得范围。

有两个不等的实根,令

【详解】 (1)当 则 则 (2) 有两个极值点 在

时,

, 单调递增,





单调递减,在 ,无最大值. . 有两个不等实根

有两个不等的实根.

12

记 所以 则 在

,则 ,

. . 上单调递减, , 如图所示: ,

上单调递增, ,且当 时,





. 。 有两个不等实根,合理等价转化条件是为处理难题找到

综上,的取值范围是 【点睛】 方向。

有两个极值点

22.已知直线过点 P(2,1) ,倾斜角为 135 ,以原点 O 为极点, 轴正半轴为极轴(长度单 位与直角坐标系 的长度单位相同)建立极坐标系,圆 C 的方程为 ,

0

(1)分别写出圆 C 的直角坐标方程和直线的参数方程; (2)设圆 C 与直线交于点 A,B,求|PA|+|PB|. 【答案】 (1) 【解析】 【分析】 (1)由直线过定点与倾斜角可写出直线参数方程,由直角坐标与极坐标互换公式 可写出圆 C 的直角坐标方程。 (2)直线的参数方程代入圆的方程,由韦达定理 ; (2) .



可求解。

【详解】 (1)直线的参方为:



圆 C 的直角坐标方程为:
13

(2)将直线的参数方程代入圆 C 的直角坐标方程中得: 化简得: 故 由参数的几何意义得: , , .

【点睛】由直角坐标与极坐标互换公式 坐标的相互转化。

,利用这个公式可以实现直角坐标与极

14


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