高二文科数学周日强化练习11-27答案

高二文科数学周日强化练习

2011-11-27 姓名 成绩

一、填空题(每小题 5 分,共 70 分)
1.已知点 B 是点 A ? 2, ?3,5? 关于平面 xOy 的对称点,则 AB= 10

2.双曲线的渐近线为 y ? ?

2 x2 x ,且过点 M ? 2, ?1? ,则双曲线的方程为__ 2 -y2=1 2

3.若椭圆

x2 y2 x2 y2 3 5 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0) 的离心率为 ,则双曲线 2 ? 2 ? 1 的离心率为______ __. 2 2 2 a b a b

4.函数 f ( x) ? e x cos x ,则 f ?( x ) ? ________. 5.已知函数 y ? f ( x ) 的图象在点 M ?1, f (1) ? 处的切线方程是 y ?

1 x ? 2 ,则 f (1) ? f ?(1) ? _______3_. 2
-2

6.一光线从 A ? 3, 2 ? 发出,经 x 轴反射通过点 B ? ?1,6 ? ,则反射光线所在直线的斜率是 7.如果实数 x, y 满足等式 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 3 ,那么
2

y 的最大值是 x

8.已知抛物线 y ? ax 与直线 y ? 1 ? x 有惟一公共点,则该抛物线的焦点到准线的距离为_____2___. 9.椭圆对称轴在坐标轴上,短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形,焦点到椭圆上的点的最短距离为

3 ,则这个椭圆方程为_12+ 9 =1 或12+ 9 =1_______
10.过点 A ? ?1,10? 且被圆 x ? y ? 4 x ? 2 y ? 20 ? 0 截得的弦长为 8 的直线方程是
2 2

x2

y2

y2

x2

4x+3y-26=0 或 x=-1

11.以双曲线

x2 y2 ? ? 1 的右焦点为圆心,且与其渐近线相切的圆的方程是______ x2+y2-10x+9=0__ 9 16
3

12.已知函数 f ( x ) ? x ? ax 在区间 ?1, ?? ? 上单调递增,则实数 a 的取值范围是

1 0)对称,则b ? ____ 13.直线 x ? 2 y ? 3 ? 0与直线ax ? 4 y ? b ? 0关于点( ,
14.直线

x2 y 2 x y ? 1 相交于 A 、 B 两点,该椭圆上点 P 使 ?PAB 的面积等于 6,这样的点 P ? ? 1 与椭圆 ? 16 9 4 3
个.

共有

二、解答题(每小题 18 分,共 90 分) 15. 已知 f ( x ) ? ax ? bx ? c 的图象经过点(0,1),且在 x ? 1 处的切线方程是 y ? x ? 2 .(1)求 y ? f (x) 的
3 2

解析式;(2)求 y ? f (x) 的单调递增区间.

16.直线 y ? ax ? 1 与双曲线 3x ? y ? 1 相交于 A , B 两点。
2 2

(1)若 a ? 1 ,求线段 AB 的长;(2)若以 AB 为直径的圆经过坐标原点,求 a 的值。

17.已知抛物线关于 x 轴对称,它的顶点是坐标原点,且点 P ?1, 2 ? , A ? x1 , y1 ? , B( x2 , y2 ) 均在抛物线上。 (1)写出该抛物线的方程及准线方程; (2)当 PA 与 PB 的斜率存在且倾斜角互补时,求 y1 ? y 2 的值及直线 AB 的斜率。

18.已知 ?ABC 的顶点 A(0, 1) , AB 边上的中线 CD 所在的直线方程为 2 x ? 2 y ? 1 ? 0 , AC 边上的高 BH 所 在直线的方程为 y ? 0 . (1)求 ?ABC 的顶点 B 、 C 的坐标; (2)若圆 M 经过不同的三点 A 、 B 、 P(m, 0) ,且斜率为 1 的直线与圆 M 相切于点 P ,求圆 M 的方程. 18.解:(1) AC 边上的高 BH 所在直线的方程为 y ? 0 ,所以, AC : x ? 0 , 又 CD : 2 x ? 2 y ? 1 ? 0 ,所以, C (0, ? ) , 设 B(b,0) ,则 AB 的中点 D( , ) ,代入方程 2 x ? 2 y ? 1 ? 0 , 解得 b ? 2 ,所以 B(2,0) . (2)由 A(0, 1) , B(2,0) 可得,圆 M 的弦 AB 的中垂线方程为 4 x ? 2 y ? 3 ? 0 , 注意到 BP 也是圆 M 的弦,所以,圆心在直线 x ? 设圆心 M 坐标为 (

1 2

b 1 2 2

m?2 , n) , 2

m?2 上, 2

因为圆心 M 在直线 4 x ? 2 y ? 3 ? 0 上,所以 2m ? 2n ? 1 ? 0 …………①, 又因为斜率为 1 的直线与圆 M 相切于点 P ,所以 kMP ? ?1 ,

n ? ?1 ,整理得 m ? 2n ? 2 ? 0 …………②, m?2 ?m 2 5 由①②解得 m ? ?3 , n ? ? , 2
即 所以, M (? , ? ) ,半径 MA ?
2 2

1 2

5 2

1 49 50 ? ? , 4 4 2

所以所求圆方程为 x ? y ? x ? 5 y ? 6 ? 0 。

x2 y2 1 19.已知椭圆 E 的方程是 2+ 2=1(a>b>0),其左顶点为(-2,0),离心率 e= . a b 2 (1)求椭圆 E 的方程; → → → (2)已知倾斜角为 45° 且过右焦点的直线 l 交椭圆 E 于 A、B 两点,若椭圆上存在一点 P,使OP=λ(OA+OB),试 求 λ 的值. c 1 解:(1)由已知得 a=2,e= = , a 2 ∴c=1,b= 3, x2 y2 故椭圆的方程为 + =1. 4 3 (2)由(1)得右焦点 F(1,0), 因此直线 l 的方程为 y=x-1. 代入椭圆方程并整理得 7x2-8x-8=0. 设 A(x1,y1),B(x2,y2), 8 则 x1+x2= , 7 ∴y1+y2=(x1-1)+(x2-1) 6 =(x1+x2)-2=- . 7 → → → ∴OP=λ(OA+OB)=λ(x1+x2,y1+y2) 8 6 =λ( ,- ), 7 7 8λ 6λ ∴P 点坐标为( ,- ),代入椭圆方程得: 7 7 1 64λ2 1 36λ2 × + × =1. 4 49 3 49 7 7 ∴λ2= ,∴λ=± . 4 2

x2 y 2 3 18. 已知椭圆 2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 的两准线间距离为 6,离心率 e ? .过椭圆上任意一点 P,作右准线的 3 a b
F 垂线 PH H 为垂足)并延长 PH 到 Q, ( , 使得 PH ? ? HQ ( ? ? 0 ). 2 为该椭圆的右焦点, 设点 P 的坐标为 ( x0 , y0 ) .
(1)求椭圆方程;(2)求证: PF2 ?

????

????

3 ? x0 3

;(3)当点 P 在椭圆上运动时,试探究是否存在实数 ? ,使得

点 Q 在同一个定圆上,若存在,求出 ? 的值及定圆方程;否则,请说明理由.

19. 已知函数 y ? x ? 3 px ? 3 px ? 1
3 2

(1)试问该函数能否在 x ? ?1 处取到极值?若有可能,求实数 p 的值;否则说明理由; (2)若该函数在区间 (?1,??) 上为增函数,求实数 p 的取值范围.

20. 设函数 f ( x) ? ax ? bx ? k (k ? 0) 在 x ? 0 处取得极值,且曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线垂直于直
2

线 x ? 2 y ? 1 ? 0 .(Ⅰ)求 a, b 的值;(Ⅱ)若函数 g ( x) ?

ex ,讨论 g ( x) 的单调性. f ( x)

2 17.解:(1)由题 f (0) ? 1, f ?(1) ? 1,得 c=1①;又∵ f ?( x ) ? 3ax ? 2bx ∴ f ?(1) ? 3a ? 2b ? 1 ②;∵x=1 处

的切线方程为 y=x-2 有 y=1-2=-1,切点坐标为(1,-1),∴ f (1) ? a ? b ? c ? ?1 ③;由①②③得

a ? 5, b ? ?7, c ? 1 ;∴ f ( x ) ? 5x 3 ? 7 x 2 ? 1 。(2)∵ f ?( x ) ? 15 x 2 ?14 x ? x(15 x ?14) ;当 f ?( x) ? 0 时有
x ? 0或x ?
3 2

14 14 ∴ y ? f (x) 的增区间为 ( ??,0) ? ( , ??) 15 15
2

19.解:(1)、 y ? x ? 3 px ? 3 px ? 1 , y ? ? 3x ? 6 px ? 3 p , 若该函数能在 x ? ?1 处取到极值,则 y ? | x ??1 ? 3 ? 6 p ? 3 p ? 0 即 p ? 1 ,此时, y ? ? 3x ? 6 x ? 3 ? 3( x ? 1) ? 0 ,函数为单调函数,这与该函数能在 x ? ?1 处取到极值矛
2 2

盾,则该函数不能在 x ? ?1 处取到极值; (2)、若该函数在区间 (?1,??) 上为增函数, 则在区间 (?1,??) 上, y ? ? 3x ? 6 px ? 3 p ? 0 恒成立,
2

①、 ?

?

? p ? ?1

? f ?(?1) ? 3 ? 6 p ? 3 p ? 0 ? p ? ?1

? p ? 1;

②、 ?

?

2 ? f ?(? p) ? 3 p ? 3 p ? 0

? 0 ? p ? 1,

综上, 0 ? p ? 1 。 20.解(Ⅰ)因 f ( x) ? ax ? bx ? k (k ? 0), 故f ?( x) ? 2ax ? b
2

又 f ( x) 在 x=0 处取得极限值,故 f ?( x) ? 0, 从而 b ? 0 由曲线 y= f ( x) 在(1,f(1))处的切线与直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 相互垂直可知 该切线斜率为 2,即 f ?(1) ? 2, 有2a=2,从而a=1

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,

g ( x) ?

ex (k ? 0) x2 ? k
令 g ?( x) ? 0, 有x ? 2 x ? k ? 0
2

g ?( x) ?

ex ( x2 ? 2x ? k ) (k ? 0) ( x 2 ? k )2

(1)当 ? ? 4 ? 4k ? 0, 即当k>1时,g?(x)>0在R上恒成立,

故函数g(x)在R上为增函数
g (2)当 ? ? 4 ? 4k ? 0, 即当k=1时, ?( x) ?
K=1 时,g(x)在 R 上为增函数 (3) ? ? 4 ? 4k ? 0,即当0<k<1时, 方程 x ? 2 x ? k ? 0 有两个不相等实根
2

e x ( x ? 1) 2 ? 0( x ? 0) ( x 2 ? k )2

x1 ? 1 ? 1 ? k , x2 ? 1 ? 1 ? k
当 x ? (??,1 ? 1 ? k )是g ?( x) ? 0, 故g ( x)在(? ?,1 ? 1 ? k )上为增 函数

( 1 当 x ? 1 ? 1 ? k ,1 ? 1 ? k) 时, g ?( x) ? 0, 故 g ( x)在( ? 1 ? k ,1 ? 1 ? k) 上为减函数

x ? 1 ? 1 ? k,+?) ( 1 时, g ?( x) ? 0, 故 g ( x)在( ? 1 ? k,+?) 上为增函数


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