人教版2017高中数学(选修4-4)1.1平面直角坐标系PPT课件_图文

第一讲 坐 一 标 系 平面直角坐标系 【自主预习】 1.直角坐标系 (1)数轴. ①定义:规定了原点、正方向和_________的直线. 单位长度 ②对应关系:数轴上的点与_____之间一一对应. 实数 (2)直角坐标系. ①定义:在同一个平面上相互垂直且有公共原点的两条 数轴构成平面直角坐标系,简称直角坐标系. ②相关概念: 数轴的正方向:水平放置的数轴_____的方向、竖直放 向右 置的数轴_____的方向分别是数轴的正方向 . 向上 x轴或横轴:坐标轴_____ 水平 的数轴. y轴或纵轴:坐标轴_____的数轴. 竖直 坐标原点:坐标轴的__________. 公共原点O ③对应关系:平面直角坐标系内的点与___________ ______之间一一对应. (x,y) 有序实数对 ④公式: 设平面直角坐标系中,点P1(x1,y1),P2(x2,y2),线段P1P2 的中点为P,填表: 两点间的距离公式 |P1P2|=_________________ (x -x ) ? (y -y ) 2 2 1 2 1 2 中点P的坐标公式 x1 ? x 2 y1 ? y 2 ( , ) _______________ 2 2 2.平面直角坐标系中的伸缩变换 设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换 (? ? 0), ?x? ? ??x, φ:____________ 的作用下,点P(x,y)对应到点P′(x′, ? (? ? 0) ? y? ? ??y, y′),称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称 伸缩变换. 【即时小测】 1.函数y=ln|x|的图象为 ( ) 【解析】选D.函数y=ln|x|是偶函数,图象关于y轴对称, 又y=lnx在(0,+∞)上为增函数,故选D. 1 ? 2.曲线C经过伸缩变换 ? x? ? x, 后,对应曲线的方程 2 ? ? ? y? ? 3y 2 2 为:x +y =1,则曲线C的方程为 ( ) x2 2 A. ? 9y ? 1 4 x 2 y2 C. ? ? 1 4 9 2 y 2 B.4x ? ? 1 9 D.4x 2 ? 9y2 ? 1 1 ? 【解析】选A.曲线C经过伸缩变换 ? x? ? x, ①后,对应 2 ? ? 2 2 ? y? ? 3y 曲线的方程为x′ +y′ =1②, 把①代入②得到: x 4 2 +9y2=1. 【知识探究】 探究点 平面直角坐标系中点的位置 1.平面直角坐标系中点的坐标的符号有什么特点? 提示:平面直角坐标系内的点,第一象限符号全正,第二 象限横坐标为负,纵坐标为正,第三象限全负,第四象限 横坐标为正,纵坐标为负,即一三同号,二四异号. 2.伸缩变换一定会改变点的坐标和位置吗? 提示:不一定.伸缩变换对原点的位置没有影响.但是会 改变除原点外的点的坐标和位置,但是象限内的点伸缩 变换后仍在原来的象限. 【归纳总结】 1.平面直角坐标系的作用与建立 平面直角坐标系是确定点的位置、刻画方程的曲线形 状和位置的平台.建立平面直角坐标系,常常利用垂直 直线为坐标轴,充分利用图形的对称性等特征. 2.伸缩变换的类型与特点 伸缩变换包括点的伸缩变换,以及曲线的伸缩变换,曲 线经过伸缩变换对应的曲线方程就会变化,通过伸缩变 换可以领会曲线与方程之间的数形转化与联系. 特别提醒:实数与数轴上的点是一一对应的,所以一个 实数就能确定数轴上一个点的位置. 类型一 坐标法求轨迹方程 【典例】已知△ABC的边AB长为2a,若BC的中线为定长m, 求顶点C的轨迹方程. 【解题探究】求轨迹方程的一般步骤是什么? 提示:建系-设点-列条件-得方程、整理. 【解析】由题意,以线段AB的中点为原点,AB边所在的 直线为x轴建立直角坐标系,如图所示, 则A(-a,0),B(a,0). 设C(x,y), 则线段BC的中点为 x?a y 因为|AE|=m,所以 E( , ). 2 2 x?a y 2 2 ( ? a) ? ( ) ? m, 2 2 化简得(x+3a)2+y2=4m2. 由于点C在直线AB上时,不能构成三角形,故去掉曲线与 x轴的两个交点,从而所求的轨迹方程是(x+3a)2+y2 =4m2(y≠0).(建系不同,轨迹方程不同) 【方法技巧】 1.建立平面直角坐标系的技巧 (1)如果平面几何图形有对称中心,可以选对称中心为 坐标原点. (2)如果平面几何图形有对称轴,可以选择对称轴为坐 标轴. 特别提醒:建系时尽量使平面几何图形上的特殊点在坐 标轴上. 2.运用解析法解决实际问题的步骤 (1)建系——建立平面直角坐标系.建系原则是利于运 用已知条件,使表达式简明,运算简便.因此,要充分利 用已知点和已知直线作为原点和坐标轴. (2)建模——选取一组基本量,用字母表示出题目涉及 的点的坐标和曲线的方程. (3)运算——通过运算,得到所需要的结果. (4)回归——回归到实际问题作答. 【变式训练】1.已知点(5-m,3-2m)不在第四象限,求实 数m的取值范围. 【解析】若点(5-m,3-2m)在第四象限, 则5-m>0,且3-2m<0,解得 3 <m<5, 2 故点(5-m,3-2m)不在第四象限时, 实数m的取值范围是m≤ 或m≥5. 3 2 2.四边形ABCD为矩形,P为矩形ABCD所在平面内的任意 一点,求证:PA2+PC2=PB2+PD2. 【证明】如图所示, 以A为原点,AB所在直线为x轴,AD所在 直线为y轴,建立平面直角坐标系,设 A(0,0),B(a,0),C(a,b),D(0,b),P(x,y), 则PA2=x2+y2,PB2=(x-a)2+y2, PC2=(x-a)2+(y-b)2,PD2=x2+(y-b)2. 所以PA2+PC2=2x2+2y2-2ax-2by+a

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