湖南省湘西州湘潭凤凰中学2014-2015学年高一上学期第一次月考数学试卷

湖南省湘西州湘潭凤凰中学 2014-2015 学年高一上学期第一次月 考数学试卷
一、选择题(共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分) 1. (5 分)如果 A={x|x>﹣1},那么() A.0?A B.{0}∈A C.?∈A 2. (5 分)设全集为 I,则表示右图中阴影部分的集合是()

D.{0}?A

A.A∪B

B.A∩B

C.(?IA)∪(?IB) D.(?IA)∩(?IB)

3. (5 分)下列函数中,在 R 上单调递增的是() A.y=﹣3x+4 B.y=log2x C.y=x
3

D.

4. (5 分)下列式中正确的个数是() (1)loga(b ﹣c )=2logab﹣2logac 2 (2) (loga3) =2loga3 (3) =lg5
2 2 2

(4)logax =2loga|x| A.0

B. 1

C. 2

D.3

5. (5 分)下列命题中正确的是() A.y=x +1 是奇函数 C. y= 是减函数
1.7 0.6 3

B. y=x ,x∈[﹣1,2]是偶函数 D.y= 的图象关于 y 轴对称

2

6. (5 分)已知 a=0.6 ,b=1.7 ,c=log1.70.6,则 a,b,c 的大小顺序是() A.a<b<c B.b<a<c C.c>b>a D.c<a<b 7. (5 分)下列各组函数中,是同一函数的是() A.y=2x+1 与 y= B. f(x)=x 与 g(x)=

C. y=

与 y=x﹣1

D.y=3x +2x+1 与 u=3y +2y+1

2

2

8. (5 分)已知集合 A= A.? B.{1} C.[0,+∞)

,则 A∩B 为() D.{(0,1)}

9. (5 分)某林场计划第一年造林 10000 亩,以后每年比前一年多造林 20%,则第四年造林() A.14400 亩 B.172800 亩 C.17280 亩 D.20736 亩 10. (5 分)已知 0<a<1,b<﹣1,则函数 y=a +b 的图象必定不经过() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
x

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 11. (5 分)函数 的定义域是.

12. (5 分)若函数

,则 f(f(0) )=.

13. (5 分)已知 log32=a,3 =5,用 a、b 表示 log3 14. (5 分)若 ,则 a 的取值范围是.

b

=.

三、解答题 15. (9 分)已知集合 A={x|4≤x<8},B={x|1<x<6},C={x|a﹣3<x≤a+2} (1)求 A∪B; (2)求(CRA)∩B; (3)若 A∩C=?,求实数 a 的取值范围. 16. (10 分)计算: (1)计算 ﹣2
log23

×log2 +log23×log34;
2 3

(2)计算(2a

b

) (﹣6a

b

)÷(﹣3a

b

).

17. (11 分)已知函数 f(x)=x+ ,且 f(1)=10. (1)求 a 的值; (2)判断 f(x)的奇偶性,并证明你的结论;

(3)函数在(3,+∞)上是增函数,还是减函数?并证明你的结论.

四、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 18. (5 分)设??A?{1,2,3,4},则符合条件的集合 A 的个数为. 19. (5 分)函数 y=( )
|x﹣1|

的单调递减区间是.

20. (5 分)已知 f(x)是偶函数,且在[0,+∞)上是减函数,若 f(lgx)>f(2) ,则 x 的取 值范围是.

21. (5 分)已知 f(x)=3﹣2|x|,g(x)=x ﹣2x,F(x)= 则 F(x)的最大值是.

2

五、解答题(须写出必要的推导过程) 22. (10 分)已知二次函数 f(x)满足 f(x+1)﹣f(x)=2x,f(0)=1. (1)求 f(x)的解析式; (2)求 y=f(x)在[﹣1,1]上的最大值. 23. (10 分)据气象中心观察和预测:发生于 M 地的沙尘暴一直向正南方向移动,其移动速 度 v(km/h)与时间 t(h)的函数图象如图所示,过线段 OC 上一点 T(t,0)作横轴的垂线 l,梯形 OABC 在直线 l 左侧部分的面积即为 t(h)内沙尘暴所经过的路程 s(km) . (1)当 t=4 时,求 s 的值; (2)将 s 随 t 变化的规律用数学关系式表示出来; (3)若 N 城位于 M 地正南方向,且距 M 地 650km,试判断这场沙尘暴是否会侵袭到 N 城, 如果会,在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到 N 城?如果不会,请说明理由.

24. (10 分)已知定义在 R 上的函数 f(x)对一切 x,y∈R,有 f(x+y)=f(x)+f(y) ,且当 x>0 时,f(x)<0,f(2)=﹣4. (1)求 f(0)的值,并判断 f(x)的奇偶性; (2)证明:函数 f(x)在 R 上是减函数; (3)解不等式:f(5x﹣7)+f(3﹣x)≤6.

湖南省湘西州湘潭凤凰中学 2014-2015 学年高一上学期第 一次月考数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题(共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分) 1. (5 分)如果 A={x|x>﹣1},那么() A.0?A B.{0}∈A C.?∈A

D.{0}?A

考点: 集合的包含关系判断及应用. 专题: 探究型. 分析: 利用元素和集合 A 的关系,以及集合 Φ,{0}中元素与集合 A 的元素关系进行判断. 解答: 解:A.0 为元素,而 A={x|x>﹣1},为集合,元素与集合应为属于关系,∴A 错误. B.{0}为集合,集合和集合之间应是包含关系,∴B 错误. C.?为集合,集合和集合之间应是包含关系,∴C 错误. D.{0}为集合,且 0∈A,∴{0}?A 成立. 故选 D. 点评: 本题考查了元素和集合以及集合与集合之间的关系.元素与集合之间应使用“∈,?”, 而集合和集合之间应使用包含号. 2. (5 分)设全集为 I,则表示右图中阴影部分的集合是()

A.A∪B

B.A∩B

C.(?IA)∪(?IB) D.(?IA)∩(?IB)

考点: Venn 图表达集合的关系及运算. 专题: 集合. 分析: 根据 Venn 图和集合之间的关系进行判断. 解答: 解:由 Venn 图可知,阴影部分的元素既不属于 A 也不属于 B 的元素构成,所以用集 合表示为?I(A∪B)=(?IA)∩(?IB) . 故选 D. 点评: 本题主要考查 Venn 图表达 集合的关系和运算,比较基础. 3. (5 分)下列函数中,在 R 上单调递增的是() A.y=﹣3x+4 B.y=log2x C.y=x
3

D.

考点: 专题: 分析: 解答:

幂函数的性质;对数函数的单调性与特殊点. 规律型. 先考虑函数的定义域,再判断函数的单调性,从而可得结论. 解:对于 A,y=﹣3x+4 为一次函数,在 R 上单调递减,故 A 不正确;

对于 B,函数的定义域为(0,+∞) ,在(0,+∞)上为单调增函数,故 B 不正确; 对于 C,函数的定义域为 R,在 R 上单调递增,故 C 正确; 对于 D,函数的定义域为 R,在 R 上单调递减,故 D 不正确; 故选 C, 点评: 本题考查函数的单调性,解题的关键是确定函数的定义域,再利用初等函数的单调 性. 4. (5 分)下列式中正确的个数是() 2 2 (1)loga(b ﹣c )=2logab﹣2logac 2 (2) (loga3) =2loga3 (3) =lg5
2

(4)logax =2loga|x| A.0

B. 1

C. 2

D.3

考点: 对数的运算性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 直接利用对数的运算法则化简判断即可. 2 2 解答: 解: (1)loga(b ﹣c )=2logab﹣2logac 不满足对数的运算法则,故不正确; 2 (2)∵2loga3=loga9,∴(loga3) =2loga3 不正确; (3) =log35≠lg5,故不正确;
2

(4)logax =2loga|x|,满足对数的运算法则,故正确. 故选:B. 点评: 本题考查对数的运算法则的应用,基本知识的考查. 5. (5 分)下列命题中正确的是() A.y=x +1 是奇函数 C. y= 是减函数
3

B. y=x ,x∈[﹣1,2]是偶函数 D.y= 的图象关于 y 轴对称

2

考点: 函数奇偶性的判断. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据函数奇偶性的定义进行判断即可. 解答: 解:A.∵f(﹣1)=﹣1+1=0,f(1)=1+1=2,∴f(﹣1)≠f(1) ,f(﹣1)≠﹣f(1) , 则函数 f(x)为非奇非偶函数.故 A 错误, B.函数的定义域为[﹣1,2],定义域关于原点不对称,则 f(x)为非奇非偶函数.故 B 错误, C.函数的定义域为(﹣∞,0)∪(0,+∞) ,则 y= 在定义域上不单调,故 C 错误, D.f(﹣x)= 正确. 故选:D = =f(x) ,则函数 f(x)为偶函数,图象关于 y 轴对称,故 D

点评: 本题主要考查与函数性质有关的命题的真假判断,考查函数的奇偶性的判断,比较 基础. 6. (5 分)已知 a=0.6 ,b=1.7 ,c=log1.70.6,则 a,b,c 的大小顺序是() A.a<b<c B.b<a<c C.c>b>a D.c<a<b 考点: 对数值大小的比较;指数函数的图像与性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 求出三个数值的范围,然后比较大小. 1.7 0.6 解答: 解:a=0.6 ∈(0,1) ,b=1.7 >1,c=log1.70.6<0. 1.7 0.6 所以 a=0.6 ,b=1.7 ,c=log1.70.6, 则 a,b,c 的大小顺序是 c<a<b. 故选:D. 点评: 本题考查对数与指数的基本运算,基本知识的考查. 7. (5 分)下列各组函数中,是同一函数的是() A.y=2x+1 与 y= B. f(x)=x 与 g(x)=
1.7 0.6

C. y=

与 y=x﹣1

D.y=3x +2x+1 与 u=3y +2y+1

2

2

考点: 判断两个函数是否为同一函数. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 分别判断两个函数的定义域和对应法则是否一致,否则不是同一函数. 解答: 解:A.y= 同一函数. B.g(x)= =|x|,两个函数的对应法则不一样,不是同一函数. = =|2x+1|,两个函数的对应法则不一样,不是

C.函数 y=

=x﹣1, (x≠0) ,两个函数的定义域不相同,不是同一函数.

D.两个函数的对应法则和定义域都相同,是同一函数. 故选:D 点评: 本题主要考查判断两个函数是否为同一函数,判断的标准就是判断两个函数的定义 域和对应法则是否一致,否则不是同一函数. 8. (5 分)已知集合 A= A.? B.{1} C.[0,+∞) ,则 A∩B 为() D.{(0,1)}

考点: 交集及其运算. 专题: 计算题.

分析: 根据负数没有平方根, 得到 x 的范围, 在 x 的范围中找出 x 的整数解即可得到集合 A, 根据集合 B 中的函数值大于等于 1,又自变量属于集合 A,把集合 A 中的元素代入函数中判 断得到大于等于 1 的函数值即为集合 B 的元素,确定出集合 B,求出两集合的交集即可. 解答: 解:由集合 A 中的函数 y= 得到 1﹣x ≥0,解得:﹣1≤x≤1,又 x∈Z, 则集合 A={﹣1,0,1}; 由集合 B 中的函数 y=x +1≥1,且 x∈A,得到集合 B={1,2}, 则 A∩B={1}. 故选 B 点评: 此题属于以函数的定义域及值域为平台,考查了交集的运算,是一道基础题.学生 在求函数定义域时注意 x 属于整数,在求函数值域时注意自变量属于集合 A. 9. (5 分)某林场计划第一年造林 10000 亩,以后每年比前一年多造林 20%,则第四年造林() A.14400 亩 B.172800 亩 C.17280 亩 D.20736 亩 考点: 数列的应用. 专题: 综合题. 分析: 由题设知该林场第二年造林: 10000× (1+20%) =12000 亩, 该林场第二年造林: 12000× (1+20%)=14400 亩,该林场第二年造林:14400×(1+20%)=17280 亩. 解答: 解:由题设知该林场第二年造林:10000×(1+20%)=12000 亩, 该林场第三年造林:12000×(1+20%)=14400 亩, 该林场第四年造林:14400×(1+20%)=17280. 故选 C. 点评: 本题考查数列在实际生活中的应用,解题时要认真审题,注意等比数列通项公式的 灵活运用. 10. (5 分)已知 0<a<1,b<﹣1,则函数 y=a +b 的图象必定不经过() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 考点: 指数函数的图像变换. 专题: 计算题;函数的性质及应用. x x x 分析: 先考查 y=a 的图象特征, f (x) =a +b 的图象可看成把 y=a 的图象向下平移﹣b (﹣ x b>1)个单位得到的,即可得到 f(x)=a +b 的图象特征. 解答: 解:∵0<a<1,b<﹣1, ∴y=a 的图象过第一、第二象限,且是单调减函数,经过(0,1) , x x f(x)=a +b 的图象可看成把 y=a 的图象向下平移﹣b(﹣b>1)个单位得到的, x 故函数 f(x)=a +b 的图象 经过第二、第三、第四象限,不经过第一象限, 故选:A. 点评: 本题考查函数图象的变换,指数函数的图象特征,体现了转化的数学思想. 二、填空题(每小题 5 分,共 20 分)
x x 2 2



11. (5 分)函数

的定义域是[0,+∞) .

考点: 指数函数的定义、解析式、定义域和值域;函数的定义域及其求法. 专题: 计算题. 分析: 由题意可得 1﹣ 数的定义域. 解答: 解:由函数 可得,1﹣ ≥0,即 ≤ ,解得 ≥0,即 ≤ ,由此解得 x 的范围,即得函

x≥0,故函数

的定义域是[0, +∞) ,

故答案为[0,+∞) . 点评: 本题主要考查指数函数的单调性和特殊点,求函数的定义域,属于基础题.

12. (5 分)若函数

,则 f(f(0) )=3π ﹣4.

2

考点: 分段函数的解析式求法及其图象的作法. 专题: 计算题. 分析: 根据分段函数的解析式,把 x=0 代入求得 f(0)的值,再把 f(0)当成 x 继续代入 f (x)的解析式,从而求解;

解答: 解:∵函数



∴f(0)=π, 2 2 ∴f(f(0) )=f(π)=3×π ﹣4=3π ﹣4, 2 故答案为 3π ﹣4. 点评: 此题考查分段函数的解析式的性质,不同的定义域对应不同的函数解析式,是一道 比较基础的题.
b

13. (5 分)已知 log32=a,3 =5,用 a、b 表示 log3

=



考点: 专题: 分析: 解答:

对数的运算性质. 函数的性质及应用. 利用指数化为对数,通过对数的运算性质化简所求表达式,代入求解即可. b 解:3 =5,可得 b=log35.

log3

= log3(5×2×3)= (log35+log32+log33)= .



故答案为:

点评: 本题考查对数的运算法则的应用,基本知识的考查.

14. (5 分)若

,则 a 的取值范围是



考点: 对数函数的单调性与特殊点. 专题: 计算题. 分析: 当 a>1 时, 由 求得 a 的取值范围,然后把 这两个 a 的取值范围取并集. 解答: 解:当 a>1 时, 当 1>a>0 时,∵ 综上可得,a 的取值范围是 故答案为: . , 成立. , 可得原不等式成立. 当 1>a>0 时, 由 ,

,∴0<a< . .

点评: 本题主要考查对数函数的单调性和特殊点,体现了分类讨论的数学思想. 三、解答题 15. (9 分)已知集合 A={x|4≤x<8},B={x|1<x<6},C={x|a﹣3<x≤a+2} (1)求 A∪B; (2)求(CRA)∩B; (3)若 A∩C=?,求实数 a 的取值范围. 考点: 交、并、补集的混合运算;交集及其运算. 专题: 集合. 分析: (1)由题意和并集的运算求出 A∪B; (2)由题意和补集、交集的运算分别求出 CRA、 (CRA)∩B; (3)由题意和交集的运算列出不等式,再求出实数 a 的取值范围. 解答: 解:由题意得,集合 A={x|4≤x<8},B={x|1<x<6}, (1)A∪B={x|1<x<8}; (2)因为 CRA={x|x<4 或 x≥8},所以(CRA)∩B={x|1<x<4}; (3)因为 C={x|a﹣3<x≤a+2},且 A∩C=?, 所以 a﹣3≥8 或 a+2<4,解得 a<2 或 a≥11, 所以实数 a 的取值范围是(﹣∞,2)∪[11,+∞) . 点评: 本题考查交、并、补集的混合运算,属于基础题.

16. (10 分)计算: (1)计算 ﹣2
log23

×log2 +log23×log34;
2 3

(2)计算(2a

b

) (﹣6a

b

)÷(﹣3a

b

).

考点: 对数的运算性质;有理数指数幂的化简求值. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)直接利用指数与对数的运算法则化简求解即可. (2)利用有理指数幂的运算法则化简求解即可. 解答: (本题满分 10 分) 解: (1) ﹣2
log23

×log2 +log23×log34=9﹣3×(﹣3)+2=20.

(2) (2a

b

) (﹣6a

2

b

) ÷ (﹣3a

b

)=

3

=



点评: 本题考查有理指数幂的运算,对数的运算法则的应用,是基础题.

17. (11 分)已知函数 f(x)=x+ ,且 f(1)=10. (1)求 a 的值; (2)判断 f(x)的奇偶性,并证明你的结论; (3)函数在(3,+∞)上是增函数,还是减函数?并证明你的结论. 考点: 函数的值;奇偶性与单调性的综合. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: (1)由 f(x)=x+ ,且 f(1)=10,知 f(1)=1+a=10,由此能求出 a. (2)由 f(x)=x+ ,知 f(﹣x)=﹣f(x) ,由此能得到 f(x)是奇函数. (3)设 x2>x1>3,利用定义法能推导出 f(x)=x+ 在(3,+∞)上为增函数. 解答: 解: (1)∵f(x)=x+ ,且 f(1)=10, ∴f(1)=1+a=10,解得 a=9. (2)∵f(x)=x+ , ∴f(﹣x)=﹣x+ =﹣(x+ )=﹣f(x) ,

∴f(x)是奇函数. (3)函数在(3,+∞)上是增函数.

证明如下:设 x2>x1>3,f(x2)﹣f(x1)=x2+ =(x2﹣x1)+ =

﹣x1﹣ ,

=(x2﹣x1)+(





∵x2>x1>3,∴x2﹣x1>0,x1x2>9, ∴f(x2)﹣f(x1)>0, ∴f(x2)>f(x1) , ∴f(x)=x+ 在(3,+∞)上为增函数. 点评: 本题考查函数值的求法,考查函数的奇偶性和单调性的判断,解题时要认真审题, 仔细解答,注意定义法的合理运用. 四、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 18. (5 分)设??A?{1,2,3,4},则符合条件的集合 A 的个数为 15. 考点: 元素与集合关系的判断. 专题: 集合. 分析: 根据空集的概念可知,A 非空;再根据 A?{1,2,3,4}可知,集合 A 是{1,2,3, 4}的非空子集.以此可判断集合 A 的个数. 解答: 解:由已知得集合 A 是集合{1,2,3,4}的非空子集. 因为集合{1,2,3,4}中有四个元素,故其非空子集的个数为 2 ﹣1=15 个. 故答案为 15. 点评: 本题考查了子集的概念、以及集合子集个数的判断方法.
|x﹣1| 4

19. (5 分)函数 y=( )

的单调递减区间是[1,+∞) .

考点: 复合函数的单调性;指数函数的图像变换. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用指数函数的单调性的性质,结合分段函数的单调性的性质即可得到结论. 解答: 解:当 x≥1 时,y=( ) 当 x<1 时,y=( )
|x﹣1| |x﹣1|

=( ) =2
x﹣1

x﹣1

,此时函数单调递减,

=( )

﹣(x﹣1)

,此时函数单调递增,

故函数的递减区间为[1,+∞) , 故答案为:[1,+∞) . 点评: 本题主要考查函数单调区间的求解,根据指数函数的性质结合复合函数单调性之间 是关系是解决本题的关键. 20. (5 分)已知 f(x)是偶函数,且在[0,+∞)上是减函数,若 f(lgx)>f(2) ,则 x 的取 值范围是( ,10) .

考点: 奇偶性与单调性的综合.

专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据函数奇偶性和单调性之间的关系将不等式进行转化即可得到结论. 解答: 解:∵f(x)是偶函数,且在[0,+∞)上是减函数, ∴不等式 f(lgx)>f(2)等价为 f(|lgx|)>f(2) , 即|lgx|<2, 即﹣2<lgx<2, 解得 <x<10, ,10) ,

故不等式的解集为( 故答案为: ( ,10)

点评: 本题主要考查不等式的求解,利用奇偶性和单调性之间的关系将不等式进行转化是 解决本题的关键.

21. (5 分)已知 f(x)=3﹣2|x|,g(x)=x ﹣2x,F(x)= 则 F(x)的最大值是 7﹣2 .

2

考点: 分段函数的应用. 专题: 计算题;数形结合;函数的性质及应用. 分析: 根据 F(x)的定义求出函数 F(x)的表达式,利用数形结合即可求出函数的最值. 2 解答: 解:由 f(x)=g(x)得 3﹣2|x|=x ﹣2x, 2 2 若 x≥0 时,3﹣2|x|=x ﹣2x 等价为 3﹣2x=x ﹣2x, 2 即 x =3,解得 x= . 2 2 若 x<0 时,3﹣2|x|=x ﹣2x 等价为 3+2x=x ﹣2x, 2 即 x ﹣4x﹣3=0, 解得 x=2 或 x=2 (舍去) . 即当 x≤2﹣ 时,F(x)=f(x)=3+2x 2 当 2﹣ <x< 时,F(x)=g(x)=x ﹣2x, 当x 时,F(x)=f(x)=3﹣2x, 则由图象可知当 x=2﹣ 时,F(x)取得最大值 F(2﹣ ﹣2 . 故答案为:7﹣2 .

)=f(2﹣

)=3+2(2﹣

)=7

点评: 本题考查分段函数的表达式,主要考查函数最值的求法,利用数形结合是解决本题 的基本数学思想. 五、解答题(须写出必要的推导过程) 22. (10 分)已知二次函数 f(x)满足 f(x+1)﹣f(x)=2x,f(0)=1. (1)求 f(x)的解析式; (2)求 y=f(x)在[﹣1,1]上的最大值. 考点: 函数的表示方法;函数的最值及其几何意义. 专题: 计算题. 分析: (1)由于已知函数类型为二次函数,故可以使用待定系数法求函数 f(x)的解析式; (2)根据(1)的结论,分析二次函数的开口方向及对称轴与区间[﹣1,1]的关系,易得 y=f (x)在[﹣1,1]上的最大值. 解答: 解: (1)设 f(x)=ax +bx+c ∵f(x+1)﹣f(x)=2x, 2 2 ∴a(x+1) +b(x+1)+c﹣(ax +bx+c)=2x 即: 即 a=1,b=﹣1 又由 f(0)=1. 得:c=1 2 ∴f(x)=x ﹣x+1 2 (2)由(1)知,函数 f(x)=x ﹣x+1 的图象为 开口方向朝上,以 x= 为对称轴的抛物线 故在区间[﹣1,1]上,当 x=﹣1 时, 函数取最大值 f(﹣1)=3 点评: 求解析式的几种常见方法:①代入法:即已知 f(x) ,g(x) ,求 f(g(x) )用代入 法,只需将 g(x)替换 f(x)中的 x 即得;②换元法:已知 f(g(x) ) ,g(x) ,求 f(x)用 换元法,令 g(x)=t,解得 x=g﹣1(t) ,然后代入 f(g(x) )中即得 f(t) ,从而求得 f(x) .当 f(g(x) )的表达式较简单时,可用“配凑法”;③待定系数法:当函数 f(x)类型确定时, 可用待定系数法.④方程组法:方程组法求解析式的实质是用了对称的思想.一般来说,当
2

自变量互为相反数、互为倒数或是函数具有奇偶性时,均可用此法.在解关于 f(x)的方程 时,可作恰当的变量代换,列出 f(x)的方程组,求得 f(x) . 23. (10 分)据气象中心观察和预测:发生于 M 地的沙尘暴一直向正南方向移动,其移动速 度 v(km/h)与时间 t(h)的函数图象如图所示,过线段 OC 上一点 T(t,0)作横轴的垂线 l,梯形 OABC 在直线 l 左侧部分的面积即为 t(h)内沙尘暴所经过的路程 s(km) . (1)当 t=4 时,求 s 的值; (2)将 s 随 t 变化的规律用数学关系式表示出来; (3)若 N 城位于 M 地正南方向,且距 M 地 650km,试判断这场沙尘暴是否会侵袭到 N 城, 如果会,在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到 N 城?如果不会,请说明理由.

考点: 函数解析式的求解及常用方法. 专题: 压轴题. 分析: (1)设直线 l 交 v 与 t 的函数图象于 D 点.由图象知,点 A 的坐标为(10,30) , 故直线 OA 的解析式为 v=3t,当 t=4 时,D 点坐标为(4,12) ,OT=4,TD=12,S= ×4×12=24 (km) ; (2)分类讨论:当 0≤t≤10 时;当 10<t≤20 时;当 20<t≤35 时; (3)根据 t 的值对应求 S,然后解答. 解答: 解:设直线 l 交 v 与 t 的函数图象于 D 点, (1)由图象知,点 A 的坐标为(10,30) ,故直线 OA 的解析式为 v=3t, 当 t=4 时,D 点坐标为(4,12) , ∴OT=4,TD=12, ∴S= ×4×12=24(km) ; (2 分)

(2)当 0≤t≤10 时,此时 OT=t,TD=3t(如图 1) ∴S= ?t?3t= (4 分)

当 10<t≤20 时,此时 OT=t,AD=ET=t﹣10,TD=30(如图 2)

∴S=S△ AOE+S 矩形 ADTE= ×10×30+30(t﹣10)=30t﹣150(5 分) 当 20<t≤35 时,∵B,C 的坐标分别为, (35,0) ∴直线 BC 的解析式为 v=﹣2t+70 ∴D 点坐标为(t,﹣2t+70) ∴TC=35﹣t,TD=﹣2t+70(如图 3) ∴S=S 梯形 OABC﹣S△ DCT= (10+35)×30﹣ (35﹣t) (﹣2t+70)=﹣(35﹣t) +675; (7 分) (3)∵当 t=20 时,S=30×20﹣150=450(km) , 2 当 t=35 时,S=﹣(35﹣35) +675=675(km) ,而 450<650<675, ∴N 城会受到侵袭,且侵袭时间 t 应在 20h 至 35h 之间, (8 分) 由﹣(35﹣t) +675=650,解得 t=30 或 t=40(不合题意,舍去) . ∴在沙尘暴发生后 30h 它将侵袭到 N 城. 点评: 本题考查的是一次函数在实际生活中的运用,比较复杂,解答此题的关键是根据图 形反映的数据进行分段计算,难度适中. 24. (10 分)已知定义在 R 上的函数 f(x)对一切 x,y∈R,有 f(x+y)=f(x)+f(y) ,且当 x>0 时,f(x)<0,f(2)=﹣4. (1)求 f(0)的值,并判断 f(x)的奇偶性; (2)证明:函数 f(x)在 R 上是减函数; (3)解不等式:f(5x﹣7)+f(3﹣x)≤6. 考点: 抽象函数及其应用. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)利用赋值法即可求 f(0)的值,结合函数奇偶性的定义即可判断 f(x)的奇偶 性; (2)利用函数单调性的定义即可证明函数 f(x)在 R 上是减函数; (3)根据函数奇偶性和单调性的性质将不等式进行转化即可解不等式:f(5x﹣7)+f(3﹣x) ≤6. 解答: 解: (1)令 x=0,y=0,则 f(0)=f(0)+f(0) , 即 f(0)=0, 令 y=﹣x, 则 f(x﹣x)=f(x)+f(﹣x)=f(0)=0, 即 f(﹣x)=﹣f(x) ,则 f(x)是奇函数; (2)设 x1<x2,则 x2﹣x1>0, 由已知 f(x2﹣x1)<0, 则 f(x2﹣x1)=f[x2﹣(﹣x1)]=f(x2)+f(﹣x1)=f(x2)﹣f(x1)<0, 即 f(x2)<f(x1) , 则函数 f(x)在 R 上是减函数; (3)∵f(2)=﹣4. ∴f(2)=f(1)+f(1)=2f(1)=﹣4. 即 f(1)=﹣2, ∴f(3)=f(1+2)=f(1)+f(2)=﹣2﹣4=﹣6, 即 f(﹣3)=﹣f(3)=6,
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即不等式:f(5x﹣7)+f(3﹣x)≤6. 等价为 f(5x﹣7)+f(3﹣x)≤f(﹣3) . 即 f[(5x﹣7)+(3﹣x)]≤f(﹣3) . 则 f(4x﹣4)≤f(﹣3) . ∵函数 f(x)在 R 上是减函数; ∴4x﹣4≥﹣3. 解得 x≥ , 即不等式的解集为[ ,+∞) . 点评: 本题主要考查抽象函数的应用,以及函数单调性和奇偶性的判断和应用,利用赋值 法是解决本题的关键.


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