对数函数及其性质22

河北武邑中学课堂教学设计
备课人 课题 教 学 目 标 重点 难点 授课时间
§2.2.2 对数函数及其性质(2)

知识与技能 过程与方法

掌握对数函数单调性掌握比较同底数对数大小的方法 启发引导,充分发挥学生的主体作用

情感态度价值观 培养学生数学应用意识
函数单调性、奇偶性的证明通法 对数运算性质、对数函数性质的应用

教学内容
(1)复习回顾 定义

教学环节与活动设计

师:上节课,我们学习 了对数函数的概念、图 函数 y ? log a x ( a ? 0 , a ? 1) 叫指数函数. 象和性质,大家一起来 且 回顾一下基本内容. 0 ? a ?1 a ?1 生:回忆并回答

图象

教 学 设 计
定义域 值域
(0, ? ? )

R 图象过定点 (1, 0) ,即当 x ? 1 时, y ? 0

性质

在 (0, ? ? ) 上是减

函数 (Ⅱ)讲授新课 例 4.判断下列函数的奇偶性: (1) f ( x ) ? lg ,
1? x 1? x

在 (0, ? ? ) 上是增函数

师:同学们回忆函数奇 偶性的证明方法 生:判断及证明函数奇 偶性的基本步骤: (1)考查函数定义域是 否关于原点对称; ( 2 ) 比 较 f (? x) 与
f ( x ) 的关系;

; (2) f ( x ) ? ln( 1 ? x ? x )
2

(3)根据函数奇偶性定 义得出结论。 师:注意考查函数定义 域。

教学内容
解: (1)由
1? x 1? x ? 0 可得 ? 1 ? x ? 1

教学环节与活动设计

所 以 函 数 的 定 义 域 为 : ? 1,1 ) 关 于 原 点 对 称 , (
f ( ? x ) ? lg 1? x 1? x ? lg ( 1? x 1? x )
?1

? ? lg

1? x 1? x 1? x 1? x

? ? f ( x) , 即

f ( ? x ) ? ? f ( x ) ,所以函数 f ( x ) ? lg

奇函数。

评述:此题确定定义域即解简单分式不等式,函数解析 式恒等变形需利用对数的运算性质。说明判断对数形式的复 合函数的奇偶性,不能轻易直接下结论,而应注意对数式的 恒等变形。 (2)由 1 ? x ? x ? 0 可得 x ? R ,所以函数的定义域为 R 关于原点对称,又
2

f ( ? x ) ? ln(
2

1? x

2

? x)

? ln

( 1 ? x ? x )( 1 ? x ? x )
2

教 学 设 计

1? x ? x
2

? ln

1 1? x ? x
2

? ? ln( 1 ? x ? x ? ? f ( x )
2

即 f (? x) ? ? f ( x) , 所以函数 f ( x ) ? ln( 1 ? x ? x ) 是奇函 数。 评述:此题定义域的确定可能稍有困难,可以讲解此点, 而函数解析式的变形用到了分子有理化的技巧,应要求学生 掌握。
2

例 5. (1)证明函数 f ( x ) ? log 2 ( x ? 1) 在 ( 0 , ?? ) 上
2

是增函数。 (2)问:函数 f ( x ) ? log 2 ( x ? 1) 在 ( ?? , 0 ) 上是 减函数还是增函数? 分析:此题目的在于让学生熟悉函数单调性证明通法,同时 熟悉上一节利用对数函数单调性比较同底数对数大小的方 法。 证明:设 x 1 , x 2 ? ( 0 , ?? ) ,且 x 1 ? x 2 ,则
2

f ( x 1 ) ? f ( x 2 ) ? log 2 ( x 1
2

2

? 1) ? log 2 ( x 2 ? 1)
2

2

师:回顾一下函数单调性 证明方法。 生:判断及证明函数单调 性的基本步骤:取值—作 差—变形—定号—结论 师:注意变形目的是为了 易于判断 f ( x 1 ) ? f ( x 2 ) 的符号

? 0 ? x 1 ? x 2 ? x 1 ? 1 ? x 2 ? 1 ,又? y ? log

2

x

在 ( 0 , ?? ) 上是增函数,∴
log 2 ( x 1
2

? 1) ? log 2 ( x 2 ? 1) ,即 f ( x 1 ) ? f ( x 2 ) ∴函数
2

2

f ( x ) ? log 2 ( x ? 1) 在 ( ?? , 0 ) 上是增函数(2)题证明可以

依照上述证明过程给出 评述:此题可引导学生总结函数 f ( x ) ? log 2 ( x ? 1) 的
2

增减性与函数 y ? x ? 1 的增减性的关系,并可在课堂练习 之后得出一般性的结论。
2

教学内容
阅读课本 P7 3 ,思考下列问题: ⑴在指数函数 y ? a 中, x 是 y 的函数吗?如果是,那么对
x

教学环节与活动设计
师:阅读课本 P7 2 ? P7 3 生:讨论并总结规律

应关系是什么?如果不是,请说明理由. ⑵对数函数
y ? log a x ( a ? 0 ,且 a ? 1) 和指数函数 y ? a ( a ? 0 ,且
x

a ? 1) 之间有什么关系?

⑶对数函数
y ? log a x ( a ? 0 ,且 a ? 1) 和指数函数 y ? a ( a ? 0 ,且
x

教 ⑷观察对数函数 学 设

a ? 1) 的图象有什么关系?

y ? log a x ( a ? 0 ,且 a ? 1) 和指数函数 y ? a ( a ? 0 ,且
x

a ? 1) 的图象,你还能够得到它们的什么性质?

(Ⅲ)课堂练习 (1)证明函数 y ? log (IV)课后作业 1.求 y ? log
0 .3 1 2

( x ? 1) 在 ( ?? , 0 ) 上是减函数;
2

学生独立完成 并板演

2 计 (2)判断函数 y ? log 1 ( x ? 1) 在 ( ?? , 0 ) 上的增减性。 2

( x ? 2 x ) 的单调递减区间;
2

2.求 y ? log 2 ( x ? 4 x ) 的单调递增区间;
2

教 通过本节学习,大家能进一步熟悉对数函数的性质应用,并掌握证明函数单调性、 学 小 奇偶性的通法,提高数学应用的能力。 结 课 后 反 思


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