2009届海南省高三联考数学理科


2008—2009 学年度高三年级联考试卷

数学试题(理)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的。 1.命题“ ? x∈Z,使 x2+2x+m≤0”的否定是 ( ) 2 2 A. ? x∈Z,使 x +2x+m>0 B.不存在 x∈Z,使 x +2x+m>0 2 C.对 ? x∈Z 使 x +2x+m≤0 D.对 ? x∈Z 使 x2+2x+m>0 2.已知集合 A ? {x | y ? lg(2x ? x 2 )}, B ? { y | y ? 2 x , x ? 0} ,R是实数集,则

(CR B) ? A =
A. ?0,1? B. ?0,1?
2 3

( C. ?? ?,0?
10



D.以上都不对 开 始

3.设 i 为虚数单位,则 1 ? i ? i ? i ? ? ? i A. i . C. 2i

?(



B. ? i D. ? 2i

A=1,B=1 A=A+1 A≤5? 否 输出 B 是 B=2B+1

4.若某程序框图如右图所示,则该程序运行后输出的 B 等 于 ( ) A. 7 B. 15 C. 31 D. 63

结 束 缚 5.已知直线 l ? 平面? ,直线 m ? 平面? ,给出下列命题: ①? ∥? ? l ? m ; ②? ? ? ? l ∥ m; ③l ∥m ? ? ? ? ; 其中正确命题的序号是( ) A.① ③ ② B.② ④ ③ ④l ? m ? ? ∥?

C.① ③

D.② ④

c 6. ?ABC 的三个内角 A 、B 、C 的对边分别为 a 、b 、 ,已知 sin B ? 1 ,向量 p ? (a,b) , 2 q ? ( 1, ) 。若 p // q ,则 ?C 角的大小为
A. ( )

? 6

B.

? 3

C.

? 2

D.

2? 3

7.下面是高考第一批录取的一份志愿表。现有 4 所重点院校,每所院校有 3 个专业是你较 为满意的选择,如果表格填满且规定学校没有重复,同一学校的专业也没有重复的话,
第 1 页 共 12 页

你将有( 志 愿 第一志愿 第二志愿 第三志愿

)种不同的填写方法. 学 校 A B C
2 B. 43 ? (C3 ) 3

专 业 第 1 专业 第 1 专业 第 1 专业
3 2 C. A4 ? (C3 ) 3 3 2 D. A4 ? (A3 ) 3

第 2 专业 第 2 专业 第 2 专业

2 A. 43 ? ( A3 ) 3

8.一个几何体按比例绘制的三视图如图所示(单位:m)





则该几何体的体积为( A.

)m .

3

7 3

B.

9 2

C.

7 2

D.

9 4
( )

? x ? 1,( ?1 ? x ? 0) ? 9.函数 f ( x) ? ? ? 的图象与 x 轴所围成的封闭图形的面积为 cos x, (0 ? x ? ) ? ? 2
A.

3 2

B. 1

C. 2

D.

1 2


10.若多项式 x 3 ? x10 ? a0 ? a1 ( x ? 1) ? ? ? a9 ( x ? 1) 9 ? a10 ( x ? 1)10 ,则 a9 ? ( A.9 B.10 C.-9 D.-10

x2 y2 11.已知双曲线 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) ,直线 l : y ? x ? t 交双曲线于A、B 两点, ?OAB 的面积 a b
为 S(O 为原点) ,则函数 S ? f (t ) 的奇偶性为 A.奇函数 C.不是奇函数也不是偶函数 12 . 定 义 一 种 运 算 a ? b ? ? B.偶函数 D.奇偶性与 a 、 b 有关 ( )

?a, a ? b 5 ? ?? 2 , 令 f ? x ? ? ?cos x ? sin x ? ? , 且 x ? ?0, ? , 则 函 数 4 ? 2? ?b, a ? b
( C. ? 1 D. ? )

?? ? f ? x ? ? 的最大值是 2? ?
A.

5 4

B.1

5 4

第 2 页 共 12 页

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分)
第Ⅱ卷全部是非选择题,必须在答案卡非选择题答题区域内,用黑色字迹钢笔或签字笔作答, 不能答在试卷上,否则答案无效. 频率/组距 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分. 13.为了解一片经济林的生长情况,随机测量了其中 0.04 100 株树木的底部周长(单位:cm) .根据所得数 据画出样本的频率分布直方图(如右) ,那么在这 0.02 0.01 100 株树木中,底部周长小于 110cm 的株数是 80 90 100 110 120 130 . 周长(cm) 14. 从抛物线 y 2 ? 4 x 上一点 P 引抛物线准线的垂线,垂足为 M,且 PM ? 5 ,设抛物线的焦点 为 F,则△MPF 的面积为 .

?x 2 ? 4x ? 0 ? 2 2 15.若不等式组 ?? 1 ? y ? 2 表示的平面区域为 M, ( x ? 4) ? y ? 1 表示的平面区域为 N,现 ?x ? y ? 1 ? 0 ?
随机向区域M内抛一点,则该点落在平面区 域 N 内的概率是 . 16.某小朋友用手指按如图所示的规则练习数数,数到 2009 时对应的指头是 . 填出指头名称:各 ( 指头对应依次为大拇指、食指、中指、无名指、小 拇指) 三、解答题:本大题共5小题,共60分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分)
(

已知数列 {an } 为等差数列, a1 ? 1 . bn } 为等比数列, 且 数列 {an ? bn } 的前三项依次为 3, 13. 7, 求 { (1)数列 {an } , {bn } 的通项公式; (2)数列 {an ? bn } 的前 n 项和 S n .

18. (本小题满分 12 分) 如图,三棱柱 ABC? A1 B1C1 的底面是边长为 2 的正三角形且侧棱垂直于底面,侧棱长是 3, D 是 AC 的中点。 (1)求证: B1C // 平面 A1 BD ; (2)求二面角 A1 ? BD ? A 的大小; (3)求直线 AB1 与平面 A1 BD 所成的角的正弦值.

第 3 页 共 12 页

19. (本小题满分 12 分) 在一次食品卫生大检查中,执法人员从抽样中得知,目前投放我市的甲、乙两种食品的合格率 分别为 90 0 0 和 80 0 0 . (1) 今有三位同学聚会,若每人分别从两种食品中任意各取一件,求恰好有一人取到两件都是不合 格品的概率. (2)若某消费者从两种食品中任意各购一件,设 ? 表示购得不合格食品的件数,试写出 ? 的分布列,并求其数学期望. 20. (本小题满分 l2 分) 设椭圆
2 x2 y2 直线 l :x ? a 交 x 轴于点 A , ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的焦点分别为 F1 (?1,0) 、F2 (1, 0) , 2 a b

且 AF ? 2 AF2 . 1 (1)试求椭圆的方程; (2)过 F1 、 F2 分别作互相垂直的两直线与椭圆分别交于 D 、 E 、 M 、 N 四点(如图所示) , 试求四边形 DMEN 面积的最大值和最小值.

????

???? ?

21. (本小题满分 l2 分) 已知函数 f ( x) ?

sin x ? ? x(0 ? x ? ) . 3 2 cos x

' (1)求 f ( x ) 的导数 f ( x) ;

(2)求证:不等式 sin x ? x cos x在 ? 0, ? 上恒成立;
3 3

? ?? ? 2?

(3)求 g ( x) ?

1 1 ? ? 2 (0 ? x ? ) 的最大值. 2 sin x x 2

第 4 页 共 12 页

四、选考题(本题满分 10 分,请从所给的三道题中任选一题做答,并在答题卡上填写所选题目的题 号,如果多做,则按所做的第一题记分. ) 22. (本小题满分 10 分) 如图, AB 是⊙ O 的一条切线,切点为 B , ADE , CFD , CGE 都是⊙ O 的割线,已知
AC ? AB .

(1)证明: AD ? AE ? AC 2 ; (2)证明: FG // AC .

C G F
O

A D

E B

23. (本小题满分 10 分) 已 知 曲 线 C1 的 参 数 方 程 为 ?

? x ? ?2 ? 10 cos? ? ( ? 为 参 数 ) 曲 线 C2 的 极 坐 标 方 程 为 , ? y ? 10 sin ? ?

? ? 2 cos? ? 6 sin ? .
(1)将曲线 C1 的参数方程化为普通方程,将曲线 C 2 的极坐标方程化为直角坐标方程; (2)曲线 C1 , C 2 是否相交,若相交请求出公共弦的长,若不相交,请说明理由.

24. (1)已知关于 x 的不等式 2 x ?

2 ? 7 在 x ? (a,??) 上恒成立,求实数 a 的最小值; x?a

(2)已知 x ? 1, y ? 1 ,求证: 1 ? xy ? x ? y .

第 5 页 共 12 页

参考答案
一、 题号 答案 1 D 2 B 3 A 4 D 5 C 6 B 7 D 8 C 9 A 10 D 11 B 12 A

1.答案:D 2.答案:B 由 2x ? x 2 ? 0, 得x( x ? 2) ? 0 ? 0 ? x ? 2, 故A ? ?x | 0 ? x ? 2? 由 x ? 0, 得2 x ? 1, 故B ? ?y | y ? 1? (CR B) ? ?y | y ? 1?| , , 则, (C R B) ? A ? ?x | 0 ? x ? 1?,即?0, 1? 由1 ? i ? i ? ? ? i
2 10

3.答案:A

1 ? (1 ? i 11 ) 1 ? i ? ? ? i .另该题也可直接用 i 的周期 1? i 1? i

性解答. 4.答案:D

5.答案:C 由垂直、平行可得.

6.答案:B 由 sin B ? 1 ? B ?

a , 2 b ? ? ? ? b 又由 p ? (a, b), q ? (1,2); p ∥ q ? 2a ? b ? 0 ? a ? , 2 1 ? 故 cos C ? ? C ? 7.答案:D 2 3 , 在?ABC 中cos C ?

?

8.答案:C

此几何体是由一个正方 体和一个直四棱柱组成 所以: ,
1 7 ? 1?1?1 ? 2 2

V ? 3 ? 1? 1 ? 1? 1? 1 ?

9.答案:D

1 1 3 S ? ? 1 ? 1 ? ? 2 cos xdx ? ? sin x |02 ? 2 2 2 0

?

?

10.答案:D

x 3 ? x10 ? x 3 ? [(x ? 1) ? 1]10 ,
10

题中 a9 ( x ? 1) 9 只是?( x ? 1) ? 1? 展开式中 x ? 1) 9的系数, (
1 故 a9 ? C10 (?1)1 ? ?10

11.答案:B f (?t )是直线l : y ? x ? t与
'

x2 y2 ? ? 1相交所得的面积, a2 b2
所以 S ? f (t )是偶函数.

注意到双曲线的对称性可知: f (?t ) ? f (t ) 12.答案:A 由于 cos x ? sin x ? ? sin x ? sin x ? 1
2 2

第 6 页 共 12 页

5 ? cos 2 x ? sin x , 4 ? ? ? 1 1 f ( x ? ) ? cos 2 ( x ? ) ? sin( x ? ) ? sin 2 x ? cos x ? ?(cos 2 x ? cos x ? ) ? 1 ? 2 2 2 4 4 1 5 5 ? ?(cos x ? ) 2 ? ? 2 4 4 ? f ( x) ? (cos 2 x ? sin x) ?
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分. 13.答案:70 由图可知:底部周长小于 110cm 的株树为:

1 5 5 ? ?(sin x ? ) 2 ? ? 2 4 4

100? (0.01? 10 ? 0.02 ? 10 ? 0.04 ? 10) ? 70
14.答案:10 准线 x=-1, PM ? PA ? 5 ,

? S ?MPF ?
15.答案:

? 如图所示: 15 1 ? ? ? 12 ? 2 P? ? 1 15 ? (1 ? 4) ? 3 2

1 ? 5 ? 4 ? 10 2

16.答案:从第二行起,周期为8得对应的指头是大拇指. 三、解答题:本大题共5小题,共60分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本题12分) 解:①设公差为 d ,公比为 q

?

? a1 ? b1 ? 3 ? ? ? ? b1 ? 2, d ? 2, q ? 2 a 2 ? b2 ? 7 ? a3 ? b3 ? 13? ?

a1 ? 1

?

an ? 2n ? 1, bn ? 2 n …????????…………(6分)
A1

C1

② S n ? (a1 ? a2 ? ? ? an ) ? (b1 ? b2 ? ? ? bn )

B1

?

1 ? 2n ? 1 2(1 ? 2 n ) n? 2 1? 2
…????????…………(12分)
A

M

P C D B

? n 2 ? 2 n?1 ? 2
18. (本题12分)

解法一: (1)设 AB1 与 A1 B 相交于点 P,连接 PD,则 P 为 AB1 中点,

? D 为 AC 中点,? PD// B1C 。 ? B1C //平面 A1B D

又? PD ? 平面 A1 B D,

????????(4分)
第 7 页 共 12 页

(2)? 正三棱住 ABC? A1B1C1 ,

? AA1 ? 底面 ABC。 ? A1 D ? BD
? AA1 = 3 ,AD= ? ?A1DA =

又? BD ? AC

? ?A1DA 就是二面角 A1 ? BD ? A 的平面角。
1 AC=1 2

? tan ?A1DA =

A1 A ? 3 AD

? ? , 即二面角 A1 ? BD ? A 的大小是 …????……(8分) 3 3

(3)由(2)作 AM ? A1 D ,M 为垂足。

? BD ? AC,平面 A1ACC1 ? 平面 ABC,平面 A1ACC1 ? 平面 ABC=AC ? BD ? 平面 A1ACC1 , ? BD ? AM ? A1 D ? BD = D ? AM ? 平面 A1ACC1 ,

? AM ? 平面 A1 DB ,连接 MP,则 ?APM 就是直线 A1B 与平面 A1B D 所成的角。
? AA1 = 3 ,AD=1,? 在 Rt ? AA1 D 中, ?A1DA =

? , 3

? AM ? 1 ? sin60? ?

3 1 7 , AP ? AB1 ? 。 2 2 2

3 AM 21 ? 2 ? . ? sin?AP M ? AP 7 7 2

? 直线 AB1 与平面 A1B D 所成的角的正弦值为
解法二: (1)同解法一

21 …??…………(12分) 7

(2)如图建立空间直角坐标系,

则 D(0,0,0) ,A(1,0,0) A1 (1,0, 3 ) , ,B(0, 3 ,0) B1 (0, 3 , 3 ) ,
z

, ? A1B =(-1, 3 ,- 3 ) A1D =(-1,0,- 3 ) 设平面 A1 BD 的法向量为 n=(x,y,z) 则 n ? A1B ? ?x ? 3y ? 3z ? 0 n ? A1D ? ?x ? 3z ? 0
D A1

C1

B1

C

第 8 页 共 12 页
x

A

B

y

则有 ?

?x ? ? 3z ,得 n=( ? 3 ,0,1) ? y?0

由题意,知 AA1 =(0,0, 3 )是平面 ABD 的一个法向量。 则 cos? ? 设 n 与 AA1 所成角为 ? ,

n ? AA1 n ? AA1

?

1 , 2

?? ?

?
3

? 二面角 A1 ? BD ? A 的大小是

? 3

(3)由已知,得 AB1 =(-1, 3 , 3 ) ,n=( ? 3 ,0,1) 则 cos? ?

AB1 ? n AB1 n

?

21 7
21 7

? 直线 AB1 与平面 A1B D 所成的角的正弦值为
19. (本题12分)

1? (1) P(? ? 2) ? 0. 0.2 ? 0.02
因为每人从两种食品中各取一件,两件恰好都是不合格食品的概率为 0.02,所以三人分别从 中各取一件,恰好有一人取到两件都是不合格品的事件,可看做三次独立重复试验问题。
1 ? P ? C3 (1 ? 0.02) 2 ? 0.02 ? 0.0576…????????…………(6分)

(2) ? ? 0,1,2, P(? ? 0) ? 90 0 0 ? 80 0 0 ? 0.72

P(? ? 1) ? (1 ? 90 0 0 ) ? 80 0 0 ? 90 0 0 ? (1 ? 80 0 0 ) ? 0.26 P(? ? 2) ? 1 ? 0.72 ? 0.26 ? 0.02
所 ? 求的分布列为:

?
P

0 0.72

1 0.26

2 0.02

E ? = 0 ? 0.72 ? 1 ? 0.26 ? 2 ? 0.02 ? 0.30 …??????………(12分) 20. (本题 12 分)
?????? ? 解: (1)由题意, | F1F2 | ? 2c ? 2,? A(a2 ,0),

? AF1 ? 2AF2

? F2 为 AF1 的中点
第 9 页 共 12 页

? a 2 ? 3, b 2 ? 2

即:椭圆方程为

x2 y2 ? ? 1. …????……(5分) 3 2
a 3

2 (2) 方法一: 当直线 DE 与 x 轴垂直时,| DE |? 2 b ? 4 , 此时 | MN |? 2a ? 2 3 , 四边形 DMEN

的 面 积 S ? | D E | ? | M N |? 4 . 同 理 当 MN 与 x 轴 垂 直 时 , 也 有 四 边 形 DMEN 的 面 积
2
S? | D E |? | M N | . ?4 2

当直线 DE , MN 均与 x 轴不垂直时,设 DE : y ? k ( x ? 1) ,代入消去 y 得:
? ? 6k 2 , ? x1 ? x 2 ? ? 2 ? 3k 2 D( x1 , y1 ), E ( x 2 , y 2 ),则? 2 ? x x ? 3k ? 6 , 1 2 ? 2 ? 3k 2 ?

(2 ? 3k ) x ? 6k x ? (3k ? 6) ? 0.
2 2 2 2









| x1 ? x2 |? ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ?





4 3 ? k 2 ? 1 , 所以, | DE |? k 2 ? 1 | x ? x |? 4 3 (k ? 1) , 1 2 2 ? 3k 2 3k 2 ? 2 1 1 4 3[(? ) 2 ? 1] 4 3( 2 ? 1) 所 以 四 边 形 的 面 积 k k | MN |? ? . 1 2 3 2 ? 3(? ) 2? 2 k k
2

| DE | ? | MN | 1 4 3 (k 2 ? 1) S? ? ? ? 2 2 2 ? 3k 2

4 3(

1 ? 1) k2 3 2? 2 k

1 ? 2) k2 ? 1 6(k 2 ? 2 ) ? 13 k 24(k 2 ?



u ? k2 ?

1 24(2 ? u ) 4 因为 u , 得S ? ? 4? 13 ? 6u 13 ? 6u k2

? k2 ?

1 ? 2, 当 k ? ?1时, u ? 2, S ? 96 ,且 S k2 25

是以 u 为自变量的增函数,所以 96 ? S ? 4 .
25

综上可知, 96 ? S ? 4 .故四边形 DMEN 面积的最大值为 4,最小值为 96 .?(12 分)
25 25

方法二:用直线的参数方程中 t 的几何意义. 21. (本题 12 分) 解: (1) f ( x) ? cos 3 x ?
' 2 2 4 ? 2 2 sin x cos 3 x ? 1 ………………………………………(2 分) 3 4 ? 2 2 sin x cos 3 x ? 1 ,其中 f (0) ? 0 3

(2)由(1)知 f ( x) ? cos 3 x ?
'

令 f ( x) ? G( x) ,对 G ( x) 求导数得 G ( x)
' '

1 4 7 ? ? 2 1? 4 G ' ( x) ? cos x ? 3 (? sin x) ? ?2sin x cos x cos 3 x ? sin 2 x(? ) cos 3 x(? sin x) ? 3 3? 3 ?

第 10 页 共 12 页

=

7 ? 4 3 sin x cos 3 x ? 0 在 x ? (0, ) 上恒成立. 2 9

故 G ( x) 即 f ( x ) 的导函数在 (0, 进而知 f ( x ) 在 (0, 当x?

?
2

) 上为增函数,故 f ' ( x) ? f ' (0) ? 0

?
2

) 上为增函数,故 f ( x) ? f (0) ? 0
3

?
2

时, sin x ? x cos x 显然成立.
3 3 3

于是有 sin x ? x cos x ? 0 在 (0,
3 3

?
2

] 上恒成立.……????…………(9分)

(3) ? 由(2)可知 sin x ? x cos x ? 0 在 (0, 则 g ( x) ?
'

?
2

] 上恒成立.

? ? 2(sin 3 x ? x3 cos x) ? 0 在 (0, ] 上恒成立.即 g ( x) 在 (0, ] 单增 3 3 2 2 x sin x

于是 g ( x) ? g ( ) ?

?

4

2

?2

????????(12 分)
C G F
O

22. (本题 10 分)证明: (1) ? AB为切线,AE为割线

? AB2 ? AD ? AE
又 ?

A D

AB ? AC
2

E B

?

AD ? AE ? AC ????????(5 分)

(2) 由(1)有

AD AC ? AC AE 又? ?EAC ? ?DAC
?ADC ~ ?ACE ?A D C? ?E G F
? ?

?
又?

?ADC ? ?ACE ?EGF ? ?ACE

?

GF // AC …????????…………(10分)

23. (本题 10 分)解: (1)由 ?

? x ? ?2 ? 10 cos? ? 得 ? y ? 10 sin ? ?

( x ? 2)2 ? y 2 ? 10 ∴曲线 C1 的普通方程为 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 10
∵ ? ? 2 cos? ? 6 sin ? ∵ ? ? x ? y , x ? ? cos? , y ? ? sin ?
2 2 2

∴ ? ? 2? cos? ? 6? sin ?
2

∴ x ? y ? 2x ? 6 y ,即 ( x ? 1) ? ( y ? 3) ? 10
2 2 2 2

第 11 页 共 12 页

∴曲线 C 2 的直角坐标方程为

( x ? 1) 2 ? ( y ? 3) 2 ? 10 …????????…………(5分)
(2)∵圆 C1 的圆心为 (?2,0) ,圆 C 2 的圆心为 (1,3) ∴ C1C 2 ? ∴两圆相交 设相交弦长为 d ,因为两圆半径相等,所以公共弦平分线段 C1C2 ∴( ) ? (
2

(?2 ? 1) 2 ? (0 ? 3) 2 ? 3 2 ? 2 10

d 2

3 2 2 ) ? ( 10) 2 2

∴d ?

22

∴公共弦长为 22 ????????(10 分) 24. (本题10 分)解: (1)? 2 x ?

2 2 ? 7 ,? 2( x ? a) ? ? 7 ? 2a ? 7 ? 2a ? 4 x?a x?a

?a ?

3 ???????(5 分) 2
2

(2)因为 1 ? xy

? x ? y ? (1 ? a 2 )(1 ? b 2 ) ? 0, 所以 1 ? xy ? x ? y ??(10 分)
2

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