【数学】1.5.3 定积分的概念 课件(人教A版选修2-2)


第一章 导数及其应用 1.5.3 定积分的概念

定积分的定义
从求曲边梯形面积S的过程中可以看出,通过“四步
曲”:
n n 分割---近似代替----求和------取极限得到解决. b?a i ?1 i ?1

小矩形面积和S=? f (?i )?x ? ? f (?i ) ?

n

如果当n?∞时,S 的无限接近某个常数,

这个常数为函数f(x)在区间[a, b]上的定积分,记作

?a

b

b?a 即? ( x)dx lim ? f ? (? f (x)dx,即? ff(x)dx ?? lim ? (? i)??xfi。i ) aa ? ?n?? 0 n i ?1 i ?1
bb
n
n

定积分的定义: 即

?

b

a

b?a f ( x)dx ? lim ? ? f (?i ) n?? n i ?1
n

定积分的相关名称: ? ———叫做积分号, y f(x) ——叫做被积函数, f(x)dx —叫做被积表达式, x ———叫做积分变量, a ———叫做积分下限, O b ———叫做积分上限, [a, b] —叫做积分区间。

y ? f (x)

a

b

x

积分上限

?a f ( x )dx ? I ? lim ? f (? i )?xi ? ? 0 i ?1
b
积分下限

n

被 积 函 数

被 积 表 达 式

积 分 变 量

定积分的定义: 即

?

b

a

b?a f ( x)dx ? lim ? ? f (?i ) n?? n i ?1
n

按定积分的定义,有 (1) 由连续曲线y?f(x) (f(x)?0) ,直线x?a、x?b及x轴 所围成的曲边梯形的面积为

S? ? f (x)dx;
a

b

(2) 设物体运动的速度v?v(t),则此物体在时间区间 v ? v(t ) [a, b]内运动的距离s为 v

s? ? v(t)dt。
a

b

O

a

b

t

y

根据定积分的定义右边图形的面积为 1 1 1 2 S ? ? f ( x)dx ? ? x dx ? 0 0 3
v
2

f(x)=x2
S? 1 3
1

g gg

D S1 DS2 D S3 DS4

g

v(t ) = - t 2 + 2
D Sj

O
n

x

gD S

g

根据定积分的定义左边图形的面积为 1 1 5 2 S ? ? v(t )dt ? ? (?t ? 2)dt ? 0 0 3
t

O

1 1 2 3 j n - 1

n n n n

n

说明:
(1) 定积分是一个数值, 它只与被积函数及积分区间有关, 而与积分变量的记法无关,即

?a f(x)dx ? ?a f (t)dt ??a
(3)

b

b

b

f(u)du。

(2)定义中区间的分法和 ?i 的取法是任意的.

?a f(x)dx ? - ?b f (x)dx
b a

定积分的几何意义:
当 f(x)?0 时,积分? f ( x)dx 在几何上表示由 y=f (x)、 a x?a、x?b与 x轴所围成的曲边梯形的面积。
y y?f (x)
b

?a f (x)dx ? ?a f (x)dx? ?c
O a
b

b

c

b

f (x)dx。

b x

特别地,当 a?b 时,有? f (x)dx?0。
a

定积分的几何意义:
当f(x)?0时,由y?f (x)、x?a、x?b 与 x 轴所围成的曲 边梯形位于 x 轴的下方,

积分 ? f (x)dx 在几何上表示
a

b

y y??f (x)
b

上述曲边梯形面积的负值。
S ? ? [? f ( x)]dx
a b

S ? ? [? f ( x)]dx
a

??
b

?a

b

f ( x)dx . ,
c b

O a
b c

b x
?? ?a f (x)dx ??S f (x)dx? ?c a
b

f (x

?? ?a f (x)dx ??S f (x)dx? ?c a

f (x)dx。

y?f (x)

探究:
根据定积分的几何意义,如何用定积分表示图中阴影部分 y?f (x) 的面积? y

S ? S1 ? S2 ? ? f ( x)dx ? ? g ( x)dx
a a

b

b

S1 ? y ? f ( x) dx ? g )
b

S2 ? ? g ( x)dx
a

a

b

O

a a

b x

三:

定积分的基本性质

性质1.

?

b

a

kf ( x )dx ? k ? f ( x )dx
b a

性质2.

?

b

a

[ f ( x ) ? g( x )]dx ? ? f ( x )dx ? ? g( x )dx
b b a a

三:

定积分的基本性质

性质3.

定积分关于积分区间具有可加性
b

?

a

f ( x )dx ? ? f ( x )dx ? ? f ( x )dx
c b a c

y y?f (x)

O

a
c1 c2 a c1



b x
b c2

?

b

a

f ( x )dx ? ? f ( x )dx ? ? f ( x )dx ? ? f ( x )dx

性质 3 不论a,b,c的相对位置如何都有

?a f (x)dx ? ?a f (x)dx? ?c
y

b

c

b

f (x)dx。

y=f(x)

f (x)dx f (x)dx? ? (x)dx。 ?a f?a(x)dx ? ?a? f?a(x)dx?(x)dxf?(x)dx。 ?c ?a f ?c fc ?a f (x)dx?

b

b

c

c

b

b

b

c

b

f (x)dx。

O

a

c

b

x

理论迁移 例1 利用定积分定义,计算 ò x dx .
3 0 1

ò

1

0

i 3 1 3 x dx = lim 邋( ) ? n? n i= 1 n
1

n

1 lim 4 n? n
.

1 1 2 1 i = lim (1 + ) = n ? 4 n 4 i= 1
3

n

例2 计算 ò (2x - x 3 )dx .
0

蝌(2x 0

1

x )dx =
0

3

1

1

2xdx 0

1 3 x dx = 1 - = 4 4
3


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