楚雄市第二中学2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题

楚雄市第二中学 2018-2019 学年上学期高三数学 10 月月考试题 班级__________ 一、选择题
1. 已知双曲线 ﹣ =1 的一个焦点与抛物线 y2=4 )
2 2 ﹣y =1 C.x ﹣

座号_____

姓名__________

分数__________

x 的焦点重合,且双曲线的渐近线方程为 y=± x,则

该双曲线的方程为( A. ﹣ =1 B.

=1 D.



=1

2. P 是双曲线

=1(a>0,b>0)右支上一点,F1、F2 分别是左、右焦点,且焦距为 2c,则△ PF1F2 ) C.c C. (??,4) D.a+b﹣c ) D. (??,4]

的内切圆圆心的横坐标为( A.a A. (4,??) B.b B. [4,??)

3. 若关于 x 的不等式 | x ? 1 | ? | x ? 2 | ?m ? 7 ? 0 的解集为 R ,则参数 m 的取值范围为(

【命题意图】本题考查含绝对值的不等式含参性问题,强化了函数思想、化归思想、数形结合思想在本题中的 应用,属于中等难度. 4. 已知命题 p:?x∈(0,+∞),log2x<log3x.命题 q:?x∈R,x3=1﹣x2.则下列命题中为真命题的是( A.p∧q 5. B.¬p∧q C.p∧¬q D.¬p∧¬q )

某个几何体的三视图如图所示,该几何体的表面积为 92+14π,则该几何体的体积为( A.80+20π B.40+20π C.60+10π D.80+10π 6. 已知圆 C:x +y ﹣2x=1,直线 l:y=k(x﹣1)+1,则 l 与 C 的位置关系是(
2 2





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A.一定相离 B.一定相切 C.相交且一定不过圆心 D.相交且可能过圆心 7. Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,若 3a8-2a7=4,则下列结论正确的是( A.S18=72 C.S20=80 8. B.S19=76 D.S21=84 ) )

图 1 是由哪个平面图形旋转得到的(

A. A.7049 B.7052 C.14098

B.
+

C.

D. )

9. 在数列{an}中,a1=3,an+1an+2=2an+1+2an(n∈N ),则该数列的前 2015 项的和是( D.14101 +

10.已知正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,点 E 为上底面 A1C1 的中心,若 别为( ) D.x= ,y=1

,则 x、y 的值分

A.x=1,y=1 B.x=1,y= C.x= ,y=

11.给出下列各函数值:①sin100°;②cos(﹣100°);③tan(﹣100°);④ 负的是( A.① =( A.16 ) B.﹣16 C.8 D.﹣8 ) B.② C.③ D.④

.其中符号为

12.已知 f(x),g(x)分别是定义在 R 上的偶函数和奇函数,且 f(x)﹣g(x)=x3﹣2x2,则 f(2)+g(2)

二、填空题
13.设 f ( x ) ?

x ,在区间 [0,3] 上任取一个实数 x0 ,曲线 f ( x ) 在点 ? x0 , f ( x0 ) ? 处的切线斜率为 k ,则随机 ex
,若用表示不超过实数 m 的最大整数,则函数 的值域为 . ( 为自然对数的底数),若

事件“ k ? 0 ”的概率为_________. 14.设函数

15 . 【 徐 州 市 2018 届 高 三 上 学 期 期 中 】 已 知 函 数

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,则实数 的取值范围为______. 16.在△ABC 中, 17.设 α 为锐角, , , ,则 _____. ,则 sin(α+ )= .

=(cosα,sinα), =(1,﹣1)且 ? =

三、解答题
18.(本小题满分 12 分)如图所示,已知 AB ? 平面 ACD , DE ? 平面 ACD , ?ACD 为等边 三角形, AD ? DE ? 2 AB , F 为 CD 的中点. (1)求证: AF // 平面 BCE ; (2)平面 BCE ? 平面 CDE .

19.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,直线 PA 与圆 O 相切于点 A , PBC 是过点 O 的割线, ?APE ? ?CPE ,点 H 是线段 ED 的中 点. (1)证明: A、E、F、D 四点共圆; (2)证明: PF ? PB ? PC .
2

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20.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ?| x ? 2 | ? | x ? 1 | , g ( x) ? ? x . (1)解不等式 f ( x) ? g ( x) ; (2)对任意的实数,不等式 f ( x) ? 2 x ? 2 g ( x) ? m(m ? R) 恒成立,求实数 m 的最小值.111]

21.如图,正方形 ABCD 中,以 D 为圆心、DA 为半径的圆弧与以 BC 为直径的半圆 O 交于点 F,连接 CF 并 延长交 AB 于点 E. (Ⅰ)求证:AE=EB; (Ⅱ)若 EF?FC= ,求正方形 ABCD 的面积.

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22.已知椭圆

+

=1(a>b>0)的离心率为

2 ,且 a =2b.

(1)求椭圆的方程;
2 2 (2)直线 l:x﹣y+m=0 与椭圆交于 A,B 两点,是否存在实数 m,使线段 AB 的中点在圆 x +y =5 上,若存

在,求出 m 的值;若不存在,说明理由.

23.已知不等式 ax2﹣3x+6>4 的解集为{x|x<1 或 x>b}, (1)求 a,b;
2 (2)解不等式 ax ﹣(ac+b)x+bc<0.

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楚雄市第二中学 2018-2019 学年上学期高三数学 10 月月考试题(参考答案) 一、选择题
1. 【答案】B
2 【解析】解:已知抛物线 y =4

x 的焦点和双曲线的焦点重合,

则双曲线的焦点坐标为( 即 c= ,

,0),

又因为双曲线的渐近线方程为 y=± x,
2 2 2 则有 a +b =c =10 和 = ,

解得 a=3,b=1. 所以双曲线的方程为: 故选 B. 【点评】本题主要考查的知识要点:双曲线方程的求法,渐近线的应用.属于基础题. 2. 【答案】A 【解析】解:如图设切点分别为 M,N,Q, 则△PF1F2 的内切圆的圆心的横坐标与 Q 横坐标相同. 由双曲线的定义,PF1﹣PF2=2a. 由圆的切线性质 PF1﹣PF2=FIM﹣F2N=F1Q﹣F2Q=2a, ∵F1Q+F2Q=F1F2=2c, ∴F2Q=c﹣a,OQ=a,Q 横坐标为 a. 故选 A.
2 ﹣y =1.

【点评】本题巧妙地借助于圆的切线的性质,强调了双曲线的定义. 3. 【答案】A
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4. 【答案】 B 【解析】解:命题 p:取 x∈[1,+∞),log2x≥log3x,因此 p 是假命题.
3 2 命题 q:令 f(x)=x ﹣(1﹣x ),则 f(0)=﹣1<0,f(1)=1>0,∴f(0)f(1)<0,∴?x0∈(0,1), 3 2 使得 f(x0)=0,即?x∈R,x =1﹣x .因此 q 是真命题.

可得¬p∧q 是真命题. 故选:B. 【点评】本题考查了对数函数的单调性、函数零点存在定理、复合命题的判定方法,考查了推理能力,属于基 础题. 5. 【答案】 【解析】解析:选 D.该几何体是在一个长方体的上面放置了半个圆柱. 1 依题意得(2r×2r+ πr2)×2+5×2r×2+5×2r+πr×5=92+14π, 2 即(8+π)r2+(30+5π)r-(92+14π)=0, 即(r-2)[(8+π)r+46+7π]=0, ∴r=2, 1 ∴该几何体的体积为(4×4+ π×22)×5=80+10π. 2 6. 【答案】C 【解析】 【分析】将圆 C 方程化为标准方程,找出圆心 C 坐标与半径 r,利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线的 距离 d,与 r 比较大小即可得到结果. 2 2 【解答】解:圆 C 方程化为标准方程得:(x﹣1) +y =2, ∴圆心 C(1,0),半径 r= , ∵ ≥ >1, ∴圆心到直线 l 的距离 d= < =r,且圆心(1,0)不在直线 l 上,

∴直线 l 与圆相交且一定不过圆心. 故选 C 7. 【答案】 【解析】选 B.∵3a8-2a7=4, ∴3(a1+7d)-2(a1+6d)=4, 18×17d 17 即 a1+9d=4,S18=18a1+ =18(a1+ d)不恒为常数. 2 2

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19×18d S19=19a1+ =19(a1+9d)=76, 2 同理 S20,S21 均不恒为常数,故选 B. 8. 【答案】A 【解析】 试题分析:由题意得,根据旋转体的概念,可知该几何体是由 A 选项的平面图形旋转一周得到的几何体故选 A. 考点:旋转体的概念. 9. 【答案】B
+ 【解析】解:∵an+1an+2=2an+1+2an(n∈N ),∴(an+1﹣2)(an﹣2)=2,当 n≥2 时,(an﹣2)(an﹣1﹣2)=2,



,可得 an+1=an﹣1,

因此数列{an}是周期为 2 的周期数列. a1=3,∴3a2+2=2a2+2×3,解得 a2=4, ∴S2015=1007(3+4)+3=7052. 【点评】本题考查了数列的周期性,考查了计算能力,属于中档题. 10.【答案】C 【解析】解:如图, + 故选 C. + ( ).

11.【答案】B 【解析】解::①sin100°>0,②cos(﹣100°)=cos100°<0,③tan(﹣100°)=﹣tan100>0, ④∵sin >0,cosπ =﹣1,tan <0,



>0,

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其中符号为负的是②, 故选:B. 【点评】本题主要考查三角函数值的符号的判断,判断角所在的象限是解决本题的关键,比较基础.

12.【答案】B 【解析】解:∵f(x),g(x)分别是定义在 R 上的偶函数和奇函数,且 f(x)﹣g(x)=x ﹣2x ,
3 2 ∴f(﹣2)﹣g(﹣2)=(﹣2) ﹣2×(﹣2) =﹣16. 3 2

即 f(2)+g(2)=f(﹣2)﹣g(﹣2)=﹣16. 故选:B. 【点评】本题考查函数的奇函数的性质函数值的求法,考查计算能力.

二、填空题
13.【答案】

3 5

【解析】解析:本题考查几何概率的计算与切线斜率的计算.

k ? f ?( x0 ) ?

1 ? x0 2 ,由 f ?( x0 ) ? 0 得, x0 ? 1 ,∴随机事件“ k ? 0 ”的概率为 . x0 3 e

14.【答案】 {0,1} . 【解析】解: =[ =[ ﹣ ∵0< ﹣ ]+[ ]+[ <1, < , < < 时, < , < + <1, + < , + ] + ],

∴﹣ < ﹣ ①当 0< 0< ﹣ 故 y=0; ②当 = 时,

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﹣ 故 y=1; ③ <

=0,

+ =1,

<1 时, <0,1< + < ,

﹣ < ﹣ 故 y=﹣1+1=0; 故函数

的值域为{0,1}.

故答案为:{0,1}. 【点评】本题考查了学生的化简运算能力及分类讨论的思想应用. 15.【答案】 【解析】令 所以 即 点睛:解函数不等式:首先根据函数的性质把不等式转化为 去掉“ ”,转化为具体的不等式(组),此时要注意 16.【答案】2 【解析】【知识点】余弦定理同角三角函数的基本关系式 与 的形式,然后根据函数的单调性 的取值应在外层函数的定义域内 ,则 为奇函数且单调递增,因此

【试题解析】因为 又因为 再由余弦定理得: 故答案为:2 17.【答案】: . 解得:

所以

【解析】解:∵ ? =cosα﹣sinα= ∴1﹣sin2α= ,得 sin2α= , ∵α 为锐角,cosα﹣sinα=



?α∈(0,

),从而 cos2α 取正值,

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∴cos2α= ∵α 为锐角,sin(α+ ∴sin(α+ )

=



)>0,

= . 故答案为: .

=

=

=

三、解答题
18.【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析. 【解析】 试题分析:(1)推导出 AC ? BC , AC ? CC1 ,从而 AC ? 平面 BCC1B1 ,连接 CA1 , NA1 ,则 B, A1 , N 三点 共线,推导出 CN ? BA 1 , CN ? MN ,由线面垂直的判定定理得 CN ? 平面 BNM ;(2)连接 AC 1 交 CA1 于 点 H ,推导出 AH ? BA 1 , HQ ? BA 1 ,则 ?AQH 是二面角 A ? BA 1 ? C 的平面角.由此能求出二面角

C ? BN ? B1 的余弦值.
试题解析:(1)如图,取 CE 的中点 G ,连接 FG, BG . ∵ F 为 CD 的中点,∴ GF // DE 且 GF ? ∵ AB ? 平面 ACD , DE ? 平面 ACD , 又 AB ? ∴ AB // DE , ∴ GF // AB .

1 DE . 2

1 DE ,∴ GF ? AB . ∴四边形 GFAB 为平行四边形,则 AF // BG . (4 分) 2 ∵ AF ? 平面 BCE , BG ? 平面 BCE , ∴ AF // 平面 BCE (6 分)

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考点:直线与平面平行和垂直的判定. 19.【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析. 【 解 析 】

11 11] 试题解析:解:(1)∵ PA 是切线, AB 是弦,∴ ?BAP ? ?C , ?APD ? ?CPE , ∴ ?BAP ? ?APD ? ?C ? ?CPE , ∵ ?ADE ? ?BAP ? ?APD, ?AED ? ?C ? ?CPE ∴ ?ADE ? ?AED ,即 ?ADE 是等腰三角形 又点 H 是线段 ED 的中点,∴ AH 是线段 ED 垂直平分线,即 AH ? ED 又由 ?APE ? ?CPE 可知 PH 是线段 AF 的垂直平分线,∴ AF 与 ED 互相垂直且平分, ∴四边形 AEFD 是正方形,则 A、E、F、D 四点共圆.
2 2 ∴ PA ? PF ,从而 PF ? PB ? PC

(5 分)

(2 由割线定理得 PA ? PB ? PC ,由(1)知 PH 是线段 AF 的垂直平分线, (10 分) 考点:与圆有关的比例线段. 20.【答案】(1) {x | ?3 ? x ? 1 或 x ? 3} ;(2).

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试 题解析:(1)由题意不等式 f ( x) ? g ( x) 可化为 | x ? 2 | ? x ?| x ? 1 | , 当 x ? ?1 时, ? ( x ? 2) ? x ? ?( x ? 1) ,解得 x ? ?3 ,即 ? 3 ? x ? ?1 ; 当 ? 1 ? x ? 2 时, ? ( x ? 2) ? x ? x ? 1 ,解得 x ? 1 ,即 ? 1 ? x ? 1 ; 当 x ? 2 时, x ? 2 ? x ? x ? 1,解得 x ? 3 ,即 x ? 3 (4 分) (5 分) 综上所述,不等式 f ( x) ? g ( x) 的解集为 {x | ?3 ? x ? 1 或 x ? 3} .

(2)由不等式 f ( x) ? 2 x ? 2 g ( x) ? m 可得 | x ? 2 |?| x ? 1 | ?m , 分离参数 m ,得 m ?| x ? 2 | ? | x ? 1 | ,∴ m ? (| x ? 2 | ? | x ? 1 |) max ∵ | x ? 2 | ? | x ? 1 |?| x ? 2 ? ( x ? 1) |? 3 ,∴ m ? 3 ,故实数 m 的最小值是. 考点:绝对值三角不等式;绝对值不等式的解法.1 21.【答案】 【解析】证明:(Ⅰ)∵以 D 为圆心、DA 为半径的圆弧与以 BC 为直径半圆交于点 F, 且四边形 ABCD 为正方形, ∴EA 为圆 D 的切线,且 EB 是圆 O 的切线,
2 由切割线定理得 EA =EF?EC,

(10 分)

故 AE=EB. (Ⅱ)设正方形的边长为 a,连结 BF, ∵BC 为圆 O 的直径,∴BF⊥EC,
2 在 Rt△BCE 中,由射影定理得 EF?FC=BF = ,

∴BF=

=

,解得 a=2,

∴正方形 ABCD 的面积为 4.

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【点评】本题考查两线段相等的证明,考查正方形面积的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意空间思维 能力的培养.

22.【答案】 【解析】解:(1)由题意得 e= 解得 a= ,b=c=1 =1; =
2 2 2 2 ,a =2b,a ﹣b =c ,

2 故椭圆的方程为 x +

(2)设 A(x1,y1),B(x2,y2), 线段 AB 的中点为 M(x0,y0). 联立直线 y=x+m 与椭圆的方程得,
2 2 即 3x +2mx+m ﹣2=0, 2 2 2 △=(2m) ﹣4×3×(m ﹣2)>0,即 m <3,

x1+x2=﹣ 所以 x0= 即 M(﹣ 可得(﹣

, =﹣ ,
)2+( 2

,y0=x0+m=



2 2 ).又因为 M 点在圆 x +y =5 上, 2 ) =5,

解得 m=±3 与 m <3 矛盾. 故实数 m 不存在. 【点评】本题考查椭圆的方程的求法,注意运用离心率公式,考查直线和椭圆方程联立,运用韦达定理和中点 坐标公式,考查存在性问题的解法,属于中档题. 23.【答案】 【解析】解: (1)因为不等式 ax ﹣3x+6>4 的解集为{x|x<1 或 x>b},所以 x1=1 与 x2=b 是方程 ax ﹣3x+2=0 的两个实数根,
2 2

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且 b>1.由根与系的关系得

,解得

,所以得



2 (2)由于 a=1 且 b=2,所以不等式 ax ﹣(ac+b)x+bc<0, 2 即 x ﹣(2+c)x+2c<0,即(x﹣2)(x﹣c)<0.

①当 c>2 时,不等式(x﹣2)(x﹣c)<0 的解集为{x|2<x<c}; ②当 c<2 时,不等式(x﹣2)(x﹣c)<0 的解集为{x|c<x<2}; ③当 c=2 时,不等式(x﹣2)(x﹣c)<0 的解集为?.
2 综上所述:当 c>2 时,不等式 ax ﹣(ac+b)x+bc<0 的解集为{x|2<x<c};

当 c<2 时,不等式 ax ﹣(ac+b)x+bc<0 的解集为{x|c<x<2};
2 当 c=2 时,不等式 ax ﹣(ac+b)x+bc<0 的解集为?.

2

【点评】本题考查一元二次不等式的解法,一元二次不等式与一元二次方程的关系,属于基础题.

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