2018-2019学年人教版A版高中数学必修一课件:第一章 1.1 1.1.2 集合间的基本关系_图文

1.1.2 集合间的基本关系
子集 [提出问题] 具有北京市东城区户口的人组成集合A,具有北京市户口 的人组成集合B. 问题1:集合A中元素与集合B有关系吗? 提示:有关系,集合A中每一个元素都属于集合B. 问题2:集合A与集合B有什么关系? 提示:集合B包含集合A.

[导入新知]

子集的概念

定义
记法与 读法

一般地,对于两个集合A,B,如果集合A中_任__意__一__个_ 元素都是集合B中的元素,我们就说这两个集合有 包__含__关系,称集合A为集合B的子集
记作A?B (或B?A ),读作“A含于B”(或“B包含A”)

图示

结论

(1)任何一个集合是它本身的子集,即A ? A. (2)对于集合A,B,C,若A?B,且B?C,则A ?C

[化解疑难] 对子集概念的理解
(1)集合 A 是集合 B 的子集的含义是:集合 A 中的任何一个 元素都是集合 B 中的元素,即由 x∈A 能推出 x∈B.例如{0,1}? {-1,0,1},则 0∈{0,1},0∈{-1,0,1}.
(2)如果集合 A 中存在着不是集合 B 的元素,那么集合 A 不 包含于 B,或 B 不包含 A,此时记作 A B 或 B?A.
(3)注意符号“∈”与“?”的区别:“?”只用于集合与集 合之间,如{0}?N,而不能写成{0}∈N;“∈”只能用于元素与 集合之间, 如 0∈N,而不能写成 0?N.

集合相等
[提出问题] 设A={x|x是有三条边相等的三角形},B={x|x是等边三角形}. 问题1:三边相等的三角形是何三角形? 提示:等边三角形. 问题2:两集合中的元素相同吗? 提示:相同. 问题3:A是B的子集吗?B是A的子集吗? 提示:是.是.

[导入新知] 集合相等的概念
如果集合A是集合B的子集(A?B),且集合B是集合A的 子集 (B?A),此时,集合A与集合B中的元素是一样的,因此,集合 A与集合B相等,记作 A=B .

[化解疑难] 对两集合相等的认识
(1)若A?B,且B?A,则A=B;反之,如果A=B,则A? B,且B?A.这就给出了证明两个集合相等的方法,即欲证A= B,只需证A?B与B?A同时成立即可.
(2)若两集合相等,则两集合所含元素完全相同,与元素排 列顺序无关.

真子集 [提出问题] 给出下列集合: A={a,b,c},B={a,b,c,d,e}. 问题1:集合A与集合B有什么关系? 提示:A?B. 问题2:集合B中的元素与集合A有什么关系? 提示:集合B中的元素a,b,c都在集合A中,但元素d,e不 在集合A中.

[导入新知]

真子集的概念

如果集合A?B,但存在元素 x∈B,且 x?A,我们称 定义
集合A是集合B的真子集 记法 记作A B(或B A)

图示

(1)A B且B C,则A C; 结论
(2)A?B且A≠B,则A B

[化解疑难] 对真子集概念的理解
(1)在真子集的定义中,A B首先要满足A?B,其次至少有
一个x∈B,但x?A. (2)若A不是B的子集,则A一定不是B的真子集.

空集 [提出问题] 一个月有32天的月份组成集合T. 问题1:含有32天的月份存在吗? 提示:不存在. 问题2:集合T存在吗?是什么集合? 提示:存在.是空集.

[导入新知] 空集的概念

定义

我们把 不含任何元素 的集合,叫做空集

记法 规定

? 空集是任何集合的 子集 ,即??A

(1)空集只有一个子集,即它的本身,??? 特性
(2)A≠?,则? A

[化解疑难] ?与{0}的区别
(1)?是不含任何元素的集合; (2){0}是含有一个元素0的集合,? {0}.

集合间关系的判断

[例1] (1)下列各式中,正确的个数是

()

①{0}∈{0,1,2};②{0,1,2}?{2,1,0};③??{0,1,2};④?={0};

⑤{0,1}={(0,1)};⑥0={0}.

A.1

B.2

C.3

D.4

(2)指出下列各组集合之间的关系:

①A={-1,1},B={(-1,-1),(-1,1),(1,-1),(1,1)};

②A={x|x是等边三角形},B={x|x是等腰三角形};

③M={x|x=2n-1,n∈N*},N={x|x=2n+1,n∈N*}.

[解] (1)选B 对于①,是集合与集合的关系,应为{0}
{0,1,2};对于②,实际为同一集合,任何一个集合是它本身的子 集;对于③,空集是任何集合的子集;对于④,{0}是含有单元 素0的集合,空集不含任何元素,并且空集是任何非空集合的真 子集,所以? {0};对于⑤,{0,1}是含有两个元素0与1的集合,
而{(0,1)}是以有序数组(0,1)为元素的单元素集合,所以{0,1}与 {(0,1)}不相等;对于⑥,0与{0}是“属于与否”的关系,所以0∈ {0}.故②③是正确的.

(2)①集合A的代表元素是数,集合B的代表元素是有序实数 对,故A与B之间无包含关系.
②等边三角形是三边相等的三角形,等腰三角形是两边相等 的三角形,故A B.
③法一:两个集合都表示正奇数组成的集合,但由于n∈ N*,因此集合M含有元素“1”,而集合N不含元素“1”,故N M.
法二:由列举法知M={1,3,5,7,…},N={3,5,7,9,…},所 以N M.

[类题通法] 判断集合间关系的方法
(1)用定义判断 首先,判断一个集合A中的任意元素是否属于另一集合B, 若是,则A?B,否则A不是B的子集; 其次,判断另一个集合B中的任意元素是否属于第一个集合 A,若是,则B?A,否则B不是A的子集; 若既有A?B,又有B?A,则A=B. (2)数形结合判断 对于不等式表示的数集,可在数轴上标出集合的元素,直观 地进行判断,但要注意端点值的取舍.

[活学活用]

已知集合M={x|x=1+a2,a∈N*},P={x|x=a2-4a+5,a∈N*},

则M与P的关系为

()

A.M=P

B.M?P

C.P?M

D.M P

解析:①对于任意x∈M,x=1+a2=(a+2)2-4(a+2)+5,

∵a∈N*,∴a+2∈N*,∴x∈P,由子集定义知M?P.

②∵1∈P,此时a2-4a+5=1,即a=2∈N*,而1?M,

∴1+a2=1在a∈N*时无解.综合①②知,M P.

答案:D

有限集合子集的确定

[例2] (1)已知集合A={x|0≤x<3且x∈N},则A的真子集的

个数是

()

A.16

B.8

C.7

D.4

(2)满足{1,2} M?{1,2,3,4,5}的集合M有________个.

[解析] (1)∵A={x|0≤x<3且x∈N}={0,1,2},∴集合A的真 子集的个数为23-1=7.
(2)由题意可得{1,2} M?{1,2,3,4,5},可以确定集合M必含有
元素1,2,且含有元素3,4,5中的至少一个,因此依据集合M的元素 个数分类如下:
含有三个元素:{1,2,3},{1,2,4},{1,2,5}; 含有四个元素:{1,2,3,4},{1,2,3,5},{1,2,4,5}; 含有五个元素:{1,2,3,4,5}. 故满足题意的集合M共有7个. [答案] (1)C (2)7

[类题通法] 公式法求有限集合的子集个数
(1)含n个元素的集合有2n个子集. (2)含n个元素的集合有(2n-1)个真子集. (3)含n个元素的集合有(2n-1)个非空子集. (4)含有n个元素的集合有(2n-2)个非空真子集. (5)若集合A有n(n≥1)个元素,集合C有m(m≥1)个元素,且A ?B?C,则符合条件的集合B有2m-n个.

[活学活用] 已知集合A {x∈N|-1<x<3},且A中至少有一个元素为奇数,
则这样的集合A共有多少个?并用恰当的方法表示这些集合. 解:这样的集合共有3个. ∵{x∈N|-1<x<3}={0,1,2},A {0,1,2}且A中至少有一个元
素为奇数, ∴当A中含有1个元素时,A可以为{1};当A中含有2个元素时, A可以为{0,1},{1,2}.

集合间关系的应用 [例3] 已知集合A={x|x<-1或x>4},B={x|2a≤x≤a+3}.若 B?A,求实数a的取值范围. [解] 当B=?时,只需2a>a+3,即a>3; 当B≠?时,根据题意作出如图所示的数轴,
可得?????aa++33<≥-2a1, 或?????a2+ a>34≥,2a, 解得a<-4或2<a≤3. 综上可得,实数a的取值范围为{a|a<-4或a>2}.

[类题通法] 利用集合关系求参数应关注三点
(1)分析集合关系时,首先要分析、简化每个集合. (2)此类问题通常借助数轴,利用数轴分析法,将各个集 合在数轴上表示出来,以形定数,还要注意验证端点值,做到 准确无误.一般含“=”用实心点表示,不含“=”用空心点 表示. (3)此类问题还要注意“空集”的情况,因为空集是任何 集合的子集.

[活学活用]

已知集合A={x|1<ax<2},B={x|-1<x<1},求满足A?B的实数a

的取值范围. 解:①当a=0时,A=?,满足A?B.

②当a>0时,A=?????x???1a<x<2a

??
?.
??

又∵B={x|-1<x<1}且A?B,如图作出满足题意的数轴:

??a>0, ∴??1a≥-1,
???2a≤1,

∴a≥2.

③当a<0时,A=?????x???2a<x<1a

??
?.
??

∵A?B,如图所示,

? a<0, ? ∴??2a≥-1, ???1a≤1,
∴a≤-2.
综上所述,a的取值范围是{a|a=0或a≥2或a≤-2}.

2.利用集合的包含关系求参数

[典例] 已知集合A={x|-2≤x≤5},B={x|m-6≤x≤2m-

1},若A?B,求实数m的取值范围.

[解] ∵A?B,

∴???2mm--61≤>-m-2,6, ??2m-1≥5,

解得???mm>≤-4,5, ??m≥3,

故3≤m≤4.∴m的取值范围是{m|3≤m≤4}.

[多维探究] 1.本例中,若B?A,求实数m的取值范围.

解:①当B=?时,m-6>2m-1,即m<-5;

??m-6≤2m-1, ②当B≠?时,?m-6≥-2,
??2m-1≤5,

??m≥-5, 解得?m≥4,
??m≤3,

即m∈?. 故实数m的取值范围是{m|m<-5}.

2.在本例中,若将“A?B”改为“A B”,求实数m的取 值范围.
解:∵A≠B, ∴两不等式端点不可能同时成立,但最终答案与本例一致.

3.若将本例中的不等式变为方程,试解决如下问题: 已知集合A={x|x2+4x=0},B={x|x2+2(a+1)x+a2-1= 0,a∈R},若B?A,求实数a的取值范围.
解:A={x|x2+4x=0}={0,-4}, ∵B?A, ∴B=?或B={0}或B={-4}或B={0,-4}. ①当B=?时,方程x2+2(a+1)x+a2-1=0无实数根, 则Δ<0,即4(a+1)2-4(a2-1)<0. ∴a<-1.

②当B={0}时,有?????Δa2=-01,=0, ∴a=-1. ③当B={-4}时,有?????Δa2=-08,a+7=0, 无解. ④当B={0,-4}时,由一元二次方程的根与系数的关系 可得a=1. 综上所述,实数a的取值范围是{a|a=1或a≤-1}.

[随堂即时演练]

1.下列六个关系式:①{a,b}={b,a};②{a,b}?{b,a}; ③?={?};④{0}=?;⑤? {0};⑥0∈{0}.其中正确的个数

是 A.1 C.4

B.3 D.6

()

解析:①正确,集合中元素具有无序性;②正确,任何集合是 自身的子集;③错误,?表示空集,而{?}表示的是含?这个元 素的集合,是元素与集合的关系,应改为?∈{?};④错误,? 表示空集,而{0}表示含有一个元素0的集合,并非空集,应改 为? {0};⑤正确,空集是任何非空集合的真子集;⑥正确,
是元素与集合的关系. 答案:C

2.已知A={x|x是菱形},B={x|x是正方形},C={x|x是平行四

边形},那么A,B,C之间的关系是

()

A.A?B?C

B.B?A?C

C.A B?C

D.A=B?C

解析:集合A,B,C关系如图.

答案:B

3.已知集合A={-1,3,m},B={3,4},若B?A,则实数m= ________. 解析:∵B?A,B={3,4},A={-1,3,m}, ∴m∈A,∴m=4. 答案:4

4.已知A={1,2,3},B={1,2},定义某种运算:A*B={x|x=x1+ x2,x1∈A,x2∈B},则A*B中最大的元素是________,集合 A*B的所有子集的个数为________. 解析:由题意知A*B={2,3,4,5},∴A*B中最大的元素是5, 集合A*B有4个元素,∴所有子集个数为24=16. 答案:5 16

5.已知集合A={x|1≤x≤2},B={x|1≤x≤a}. (1)若A是B的真子集,求a的取值范围; (2)若B是A的子集,求a的取值范围; (3)若A=B,求a的取值范围. 解:(1)若A是B的真子集,即A B,则a>2,即a的取值范围
是{a|a>2}. (2)若B是A的子集,即B?A,则a≤2,即a的取值范围是 {a|a≤2}. (3)若A=B,则必有a=2.

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