承德县第二中学校2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析

承德县第二中学校 2018-2019 学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析 班级__________ 一、选择题
1. 在△ ABC 中,若 A=2B,则 a 等于( A.2bsinA B.2bcosA C.2bsinB ) D.2bcosB

座号_____

姓名__________

分数__________

2. 如图 F1、F2 是椭圆 C1:

+y2=1 与双曲线 C2 的公共焦点,A、B 分别是 C1、C2 在第二、四象限的公共 )

点,若四边形 AF1BF2 为矩形,则 C2 的离心率是(

A.

B.

C.

D. )

3. 已知球的半径和圆柱体的底面半径都为 1 且体积相同,则圆柱的高为( A.1 B. C.2 D.4

4. 函数 f ( x)( x ? R) 是周期为 4 的奇函数,且在 [0, 2] 上的解析式为 f ( x) = í

ì x(1 - x),0 #x 1 ? ,则 ? sin px,1 < x ? 2 ?

17 41 f ( )+ f ( ) =( 4 6 7 A. 16
力.

) B.

9 16

C.

11 16

D.

13 16

【命题意图】本题考查函数的奇偶性和周期性、分段函数等基础知识,意在考查转化和化归思想和基本运算能 5. 设 i 是虚数单位, 是复数 z 的共轭复数,若 z A.﹣1﹣i B.1+i C.﹣1+i D.1﹣i ) =2( +i),则 z=( )

6. 在空间中,下列命题正确的是(

A.如果直线 m∥平面 α,直线 n?α 内,那么 m∥n B.如果平面 α 内的两条直线都平行于平面 β,那么平面 α∥平面 β C.如果平面 α 外的一条直线 m 垂直于平面 α 内的两条相交直线,那么 m⊥α D.如果平面 α⊥平面 β,任取直线 m?α,那么必有 m⊥β

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7. 已知函数 f(x)=sin2(ωx)﹣ (ω>0)的周期为 π,若将其图象沿 x 轴向右平移 a 个单位(a>0),所 得图象关于原点对称,则实数 a 的最小值为( A.π B. C.
2



D. ) B.?x∈R,使得 x2>1 D.?x∈R,都有 x≤﹣1 或 x≥1
2

8. 命题“?x∈R,使得 x2<1”的否定是( A.?x∈R,都有 x <1 C.?x∈R,使得 x2≥1 9. 设函数 y= A.? B.N

的定义域为 M,集合 N={y|y=x ,x∈R},则 M∩N=( C.[1,+∞) D.M )



10.如图,AB 是半圆 O 的直径,AB=2,点 P 从 A 点沿半圆弧运动至 B 点,设∠AOP=x,将动点 P 到 A,B 两点的距离之和表示为 x 的函数 f(x),则 y=f(x)的图象大致为(

11. 在等比数列{an}中, 已知 a1=3, 公比 q=2, A.48 B.±48 C.96 ) B. ?1 C. ? 2 D.±96 12.函数 f ( x) ? 2cos(? x ? ? ) ( ? ? 0 , 的值为( A. ?

则 a2 和 a8 的等比中项为(



?? ? ? ? 0 ) 的部分图象如图所示, 则 f (0)
D. ? 3

3 2

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【命题意图】本题考查诱导公式,三角函数的图象和性质,数形结合思想的灵活应用.

二、填空题
13.为了预防流感,某学校对教室用药熏消毒法进行消毒.已知药物释放过程中,室内每立方米空气中的含药 量 y(毫克)与时间 t(小时)成正比;药物释放完毕后,y 与 t 的函数关系式为 y=( )t﹣a(a 为常数),

如图所示,据测定,当空气中每立方米的含药量降低到 0.25 毫克以下时,学生方可进教室,那从药物释放开 始,至少需要经过 小时后,学生才能回到教室.

x ? ?3 ? a ,x ? 1 14.设函数 f ? x ? ? ? ,若 f ? x ? 恰有 2 个零点,则实数的取值范围是 . ? ?? ? x ? 3a ?? x ? 2a ? ,x ? 1 15.直线 x ? 2 y ? t ? 0 与抛物线 y 2 ? 16 x 交于 A , B 两点,且与 x 轴负半轴相交,若 O 为坐标原点,则

?OAB 面积的最大值为
问题的能力.

.

【命题意图】本题考查抛物线的几何性质,直线与抛物线的位置关系等基础知识,意在考查分析问题以及解决 16.设 a 抛掷一枚骰子得到的点数,则方程 x2+ax+a=0 有两个不等实数根的概率为 17.抛物线 y2=8x 上一点 P 到焦点的距离为 10,则 P 点的横坐标为 18.抛物线 y =8x 上到顶点和准线距离相等的点的坐标为
2



. .

三、解答题
19.(本题满分 15 分) 如图, 已知长方形 ABCD 中, 将 ?ADM 沿 AM 折起, 使得平面 ADM ? M 为 DC 的中点, AB ? 2 ,AD ? 1 ,

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平面 ABCM . (1)求证: AD ? BM ; (2)若 DE ? ? DB(0 ? ? ? 1) ,当二面角 E ? AM ? D 大小为

? 时,求 ? 的值. 3

【命题意图】 本题考查空间点、线、面位置关系,二面角等基础知识, 意在考查空间想象能力和运算求解能力.

20.(本小题满分 12 分) 中央电视台电视公开课《开讲了》需要现场观众,先邀请甲、乙、丙、丁四所大学的 40 名学生参加,各 大学邀请的学生如下表所示: 大学 人数 甲 8 乙 12 丙 8 丁 12

从这 40 名学生中按分层抽样的方式抽取 10 名学生在第一排发言席就座. (1)求各大学抽取的人数; (2)从(1)中抽取的乙大学和丁大学的学生中随机选出 2 名学生发言,求这 2 名学生来自同一所大学的 概率.

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2 21.设集合 A ? x | x ? 8 x ? 15 ? 0 , B ? ? x | ax ? 1 ? 0? .

?

?

1 ,判断集合 A 与 B 的关系; 5 (2)若 A B ? B ,求实数组成的集合 C .
(1)若 a ?

22.在平面直角坐标系 xoy 中,已知圆 C1:(x+3) +(y﹣1) =4 和圆 C2:(x﹣4) +(y﹣5) =4 (1)若直线 l 过点 A(4,0),且被圆 C1 截得的弦长为 2 ,求直线 l 的方程 (2)设 P 为平面上的点,满足:存在过点 P 的无穷多对互相垂直的直线 l1 和 l2,它们分别与圆 C1 和 C2 相交, 且直线 l1 被圆 C1 截得的弦长与直线 l2 被圆 C2 截得的弦长相等,求所有满足条件的点 P 的坐标.

2

2

2

2

23.在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 sinA﹣sinC(cosB+ (1)求角 C 的大小; (2)若 c=2,且△ABC 的面积为 ,求 a,b 的值.

sinB)=0.

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24.(本小题满分 12 分) 某超市销售一种蔬菜,根据以往情况,得到每天销售量的频率分布直方图如下:
频率 组距

a

0.025
0.02

0.015
0.005

O

50

60

70

80

90

100 销售量/千克

(Ⅰ)求频率分布直方图中的 a 的值,并估计每天销售量的中位数; (Ⅱ) 这种蔬菜每天进货当天必须销售, 否则只能作为垃圾处理. 每售出 1 千克蔬菜获利 4 元, 未售出的蔬菜, 每千克亏损 2 元.假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替,估计当超市每天的进货量为 75 千克 时获利的平均值.

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承德县第二中学校 2018-2019 学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析(参考答案) 一、选择题
1. 【答案】D 【解析】解:∵A=2B, ∴sinA=sin2B,又 sin2B=2sinBcosB, ∴sinA=2sinBcosB, 根据正弦定理 sinA= ,sinB= = , =2R 得:

代入 sinA=2sinBcosB 得:a=2bcosB. 故选 D 2. 【答案】 D 【解析】解:设|AF1|=x,|AF2|=y,∵点 A 为椭圆 C1: ∴2a=4,b=1,c= ; +y2=1 上的点,

∴|AF1|+|AF2|=2a=4,即 x+y=4;① 又四边形 AF1BF2 为矩形, ∴ + =
2 2 2 ,即 x +y =(2c) =

=12,②

由①②得:

,解得 x=2﹣ ,2n=2c=2 = .

,y=2+ ,

,设双曲线 C2 的实轴长为 2m,焦距为 2n,

则 2m=|AF2|﹣|AF1|=y﹣x=2 ∴双曲线 C2 的离心率 e= = 故选 D.

【点评】本题考查椭圆与双曲线的简单性质,求得|AF1|与|AF2|是关键,考查分析与运算能力,属于中档题.

3. 【答案】B 【解析】解:设圆柱的高为 h,则 V 圆柱=π×12×h=h,V 球= ∴h= . = ,

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故选:B. 4. 【答案】C

5. 【答案】B 【解析】解:设 z=a+bi(a,b∈R),则 =a﹣bi, 由z =2( +i),得(a+bi)(a﹣bi)=2[a+(b﹣1)i],
2 2 整理得 a +b =2a+2(b﹣1)i.

则 所以 z=1+i. 故选 B.

,解得



【点评】本题考查了复数代数形式的混合运算,考查了复数相等的条件,两个复数相等,当且仅当实部等于实 部,虚部等于虚部,是基础题. 6. 【答案】 C 【解析】解:对于 A,直线 m∥平面 α,直线 n?α 内,则 m 与 n 可能平行,可能异面,故不正确; 对于 B,如果平面 α 内的两条相交直线都平行于平面 β,那么平面 α∥平面 β,故不正确; 对于 C,根据线面垂直的判定定理可得正确; 对于 D,如果平面 α⊥平面 β,任取直线 m?α,那么可能 m⊥β,也可能 m 和 β 斜交,; 故选:C. 【点评】本题主要考查命题的真假判断与应用,考查了空间中直线与平面之间的位置关系、平面与平面之间的 位置关系,同时考查了推理能力,属于中档题. 7. 【答案】D
2 【解析】解:由函数 f(x)=sin (ωx)﹣ =﹣ cos2ωx (ω>0)的周期为

=π,可得 ω=1,

故 f(x)=﹣ cos2x. 若将其图象沿 x 轴向右平移 a 个单位(a>0),可得 y=﹣ cos2(x﹣a)=﹣ cos(2x﹣2a)的图象; 再根据所得图象关于原点对称,可得 2a=kπ+ ,a= + ,k∈Z.

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则实数 a 的最小值为 故选:D



【点评】本题主要考查三角恒等变换,余弦函数的周期性,函数 y=Acos(ωx+φ)的图象变换规律,正弦函数、 余弦函数的奇偶性,属于基础题. 8. 【答案】D 【解析】解:命题是特称命题,则命题的否定是?x∈R,都有 x≤﹣1 或 x≥1, 故选:D. 【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定,比较基础. 9. 【答案】B 【解析】解:根据题意得:x+1≥0,解得 x≥﹣1, ∴函数的定义域 M={x|x≥﹣1};
2 ∵集合 N 中的函数 y=x ≥0,

∴集合 N={y|y≥0}, 则 M∩N={y|y≥0}=N. 故选 B 10.【答案】 【解析】选 B.取 AP 的中点 M, 则 PA=2AM=2OAsin∠AOM x =2sin , 2 x PB=2OM=2OA· cos∠AOM=2cos , 2 x x x π ∴y=f(x)=PA+PB=2sin +2cos =2 2sin( + ),x∈[0,π],根据解析式可知,只有 B 选项符合要求, 2 2 2 4 故选 B. 11.【答案】B 【解析】解:∵在等比数列{an}中,a1=3,公比 q=2, ∴a2=3×2=6, =384, ∴a2 和 a8 的等比中项为 故选:B. =±48.

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12.【答案】D

2? 11? ?? 5? 5? ? 2 .由 2 ? ? ? ? 2k ? ( k ? ? ),得 ? ? ? ? 2k? ? ) ? ? ,∴ ? ? T 12 12 12 6 5? 5? 5? ) ,则 f (0) ? 2 cos(? ) ? ? 3 ,故选 D. ( k ? Z ),可得 ? ? ? ,所以 f ( x) ? 2 cos(2 x ? 6 6 6
【解析】易知周期 T ? 2(

二、填空题
13.【答案】0.6 【解析】解:当 t>0.1 时,可得 1=( ∴0.1﹣a=0 a=0.1 由题意可得 y≤0.25= , 即( )t﹣0.1≤ , )0.1﹣a

即 t﹣0.1≥ 解得 t≥0.6, 由题意至少需要经过 0.6 小时后,学生才能回到教室. 故答案为:0.6 【点评】本题考查函数、不等式的实际应用,以及识图和理解能力.易错点:只单纯解不等式,而忽略题意, 得到其他错误答案.
?1 1 ? 14.【答案】 ? , ? ?3 2? [3 ,? ?)









考 点:1、分段函数;2、函数的零点.

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【方法点晴】本题考查分段函数,函数的零点,以及逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力、分类讨论 的思想、数形结合思想和转化化归思想,综合性强,属于较难题型.首先利用分类讨论思想结合数学结合思想, 对 g ? x ? ? 3x ? a 于轴的交点个数进行分情况讨论,特别注意: 1.在 x ? 1 时也轴有一个交点式,还需 3a ? 1 且
2 a ? 1 ;2. 当 g ?1? ? 3 ? a ? 0 时, g ? x ? 与轴无交点,但 h ? x ? 中 x ? 3a 和 x ? 2a ,两交点横坐标均满足 x ? 1 .

15.【答案】 【

512 3 9
解 析 】

16.【答案】



【解析】解:∵a 是甲抛掷一枚骰子得到的点数, ∴试验发生包含的事件数 6,
2 ∵方程 x +ax+a=0 有两个不等实根, 2 ∴a ﹣4a>0,

解得 a>4, ∵a 是正整数, ∴a=5,6, 即满足条件的事件有 2 种结果, ∴所求的概率是 = , 故答案为: 【点评】本题考查等可能事件的概率,在解题过程中应用列举法来列举出所有的满足条件的事件数,是解题的 关键.

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17.【答案】 8 .

2 【解析】解:∵抛物线 y =8x=2px,

∴p=4, 由抛物线定义可知,抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离是相等的, ∴|MF|=x+ =x+2=10, ∴x=8, 故答案为:8. 【点评】活用抛物线的定义是解决抛物线问题最基本的方法.抛物线上的点到焦点的距离,叫焦半径.到焦点 的距离常转化为到准线的距离求解. 18.【答案】 ( 1,±2 ) .

2 【解析】解:设点 P 坐标为( a ,a)

依题意可知抛物线的准线方程为 x=﹣2 a2+2= ,求得 a=±2 )

∴点 P 的坐标为( 1,±2 故答案为:( 1,±2 ).

【点评】本题主要考查了两点间的距离公式、抛物线的简单性质,属基础题.

三、解答题
19.【答案】(1)详见解析;(2) ? ? 2 3 ? 3 . 【解析】(1)由于 AB ? 2 , AM ? BM ? 2 ,则 BM ? AM , 又∵平面 ADM ? 平面 ABCM ,平面 ADM ? 平面 ABCM = AM , BM ? 平面 ABCM , ∴ BM ? 平面 ADM ,…………3 分 又∵ AD ? 平面 ADM ,∴有 AD ? BM ;……………6 分

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20.【答案】(1)甲,乙,丙,丁;(2) P ? 【解析】

2 . 5

试题分析:(1)从这 40 名学生中按照分层抽样的方式抽取 10 名学生,则各大学人数分别为甲,乙,丙,丁; (2)利用列举出从参加问卷调查的 40 名学生中随机抽取两名学生的方法共有 15 种,这来自同一所大学的取 法共有种,再利用古典慨型的概率计算公式即可得出. 试题解析: (1)从这 40 名学生中按照分层抽样的方式抽取 10 名学生,则各大学人数分别为甲 2,乙 3,丙 2, 丁 3. (2) 设乙中 3 人为 a1 , a2 , a3 , 丁中 3 人为 b1 , b2 , b3 , 从这 6 名学生中随机选出 2 名学生发言的结果为 {a1 , a2 } ,

{a1 , a3} ,{a1 , b1} ,{a1 , b2 } ,{a1 , b3} ,{a3 , a2 } ,{b1 , a2 } ,{b2 , a2 } ,{b3 , a2 } ,{a3 , b1} ,{a3 , b2 } ,{a3 , b3} ,
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{b1 , b2 } , {b1 , b3} , {b2 , b3} ,共 15 种,
这 2 名同学来自同一所大学的结果共 6 种,所以所求概率为 P ? 考点:1、分层抽样方法的应用;2、古典概型概率公式. 21.【答案】(1) B ? A ;(2) C ? ?0,3,5? . 【解析】

6 2 ? . 15 5

考 点:1、集合的表示;2、子集的性质. 22.【答案】 【解析】 【分析】(1)因为直线 l 过点 A(4,0),故可以设出直线 l 的点斜式方程,又由直线被圆 C1 截得的弦长为 2 ,根据半弦长、半径、弦心距满足勾股定理,我们可以求出弦心距,即圆心到直线的距离,得到一个关于 直线斜率 k 的方程,解方程求出 k 值,代入即得直线 l 的方程. (2)与(1)相同,我们可以设出过 P 点的直线 l1 与 l2 的点斜式方程,由于两直线斜率为 1,且直线 l1 被圆 C1 截得的弦长与直线 l2 被圆 C2 截得的弦长相等,故我们可以得到一个关于直线斜率 k 的方程,解方程求出 k 值,代入即得直线 l1 与 l2 的方程. 【解答】解:(1)由于直线 x=4 与圆 C1 不相交; ∴直线 l 的斜率存在,设 l 方程为:y=k(x﹣4)(1 分) 圆 C1 的圆心到直线 l 的距离为 d,∵l 被⊙C1 截得的弦长为 2 ∴d= =1(2 分) d= 从而 k(24k+7)=0 即 k=0 或 k=﹣

∴直线 l 的方程为:y=0 或 7x+24y﹣28=0(5 分) (2)设点 P(a,b)满足条件, 由题意分析可得直线 l1、l2 的斜率均存在且不为 0, 不妨设直线 l1 的方程为 y﹣b=k(x﹣a),k≠0

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则直线 l2 方程为:y﹣b=﹣ (x﹣a)(6 分) ∵⊙C1 和⊙C2 的半径相等,及直线 l1 被圆 C1 截得的弦长与直线 l2 被圆 C2 截得的弦长相等, ∴⊙C1 的圆心到直线 l1 的距离和圆 C2 的圆心到直线 l2 的距离相等 即 = (8 分)

整理得|1+3k+ak﹣b|=|5k+4﹣a﹣bk| ∴1+3k+ak﹣b=±(5k+4﹣a﹣bk)即(a+b﹣2)k=b﹣a+3 或(a﹣b+8)k=a+b﹣5 因 k 的取值有无穷多个,所以 或 (10 分)

解得



这样的点只可能是点 P1( ,﹣ )或点 P2(﹣ , 23.【答案】 【解析】(本题满分为 12 分) 解:(1)∵由题意得,sinA=sin(B+C), ∴sinBcosC+sinCcosB﹣sinCcosB﹣ 即 sinB(cosC﹣ ∵sinB≠0, ∴tanC= ,故 C= = .…(6 分) , sinC)=0,

)(12 分)

sinBsinC=0,…(2 分)

(2)∵ ab× ∴ab=4,①

又 c=2,…(8 分)
2 2 ∴a +b ﹣2ab× =4,

∴a2+b2=8.② ∴由①②,解得 a=2,b=2.…(12 分) 【点评】本题主要考查了三角形内角和定理,三角函数恒等变换的应用,三角形面积公式,余弦定理在解三角 形中的综合应用,考查了转化思想,属于基础题. 24.【答案】(本小题满分 12 分)

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解:本题考查频率分布直方图,以及根据频率分布直方图估计中位数与平均数. (Ⅰ)由 (0.005 ? 0.015 ? 0.02 ? 0.025 ? a) ?10 ? 1 得 a ? 0.035 (3 分)

0.15 ? 10 ? 74.3 千克 (6 分) 0.35 (Ⅱ)若当天的销售量为 [50,60) ,则超市获利 55 ? 4 ? 20 ? 2 ? 180 元;
每天销售量的中位数为 70 ? 若当天的销售量为 [60,70) ,则超市获利 65 ? 4 ?10 ? 2 ? 240 元; 若当天的销售量为 [70,100) ,则超市获利 75 ? 4 ? 300 元, (10 分) ∴获利的平均值为 0.15 ?180 ? 0.2 ? 240 ? 0.65 ? 300 ? 270 元. (12 分)

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