广东省茂名市2009年第一次高考模拟考试--文科数学

知识就是力量,努力铸就成功
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广东省茂名市 2009 年第一次高考模拟考试 文科数学
本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分。考试用时 120 分钟。

第一部分 选择题(共 50 分)
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分) 1、已知集合 A ? {x | x ? 1 ? 0}, B ? {x | x 2 ? x ? 0}, 则 A ? B ? ( A、 {x | x ? ?1} B、 {x | ?1 ? x ? 1} C、 {x | 0 ? x ? 1} ) )

D、 {x | ?1 ? x ? 0}

2、角 ? 终边过点 (?1, 2) ,则 cos? =(

A、

5 5

B、

2 5 5

C、 ? )

5 5

D、 ?

2 5 5

3、设 a ? R ,则 a ? 1 是 A、充分但不必要条件 C、充要条件

1 ? 1 的( a

B、必要但不充分条件 D、既不充分也不必要条件 )

4、如图所示为一个简单几何体的三视图,则其对应的实物是(

主视图

左视图

俯视图

A

B

C

D

5、一个容量为 n 的样本,分成若干组,已知某组频数和频率分别是 36 和 0.25,则 n=( A、9 B、36 C、72 D、144



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6、已知函数 y ? x ln x ,则这个函数在点 x ? 1 处的切线方程是( A、 y ? 2 x ? 2 B、 y ? 2 x ? 2 C、 y ? x ? 1 ) D、 y ? x ? 1 ) D、-2 )

7、已知向量 a ? (2,1), a ? b ? (1, k ), 若a ? b, 则实数 k 等于( A、

?

? ?

?

?

1 2

B、3

C、-7

8、已知等差数列 {an } 的公差为 ?2 ,且 a2 , a4 , a5 成等比数列,则 a2 等于( A、-4 B、-6 C、-8 D、8 )

9、若函数 f ( x) ? x 2 ? 2 x ? 3a 没有零点,则实数 a 的取值范围是( A、 a ?

1 3

B、 a ?

1 3

C、 a ?

1 3

D、 a ?

1 3

10、已知 F1 , F2 是椭圆的两个焦点,过 F1 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于 A、B 两点,若

?ABF2 是等腰直角三角形,则这个椭圆的离心率是(
A、



3 2

B、

2 2

C、 2 ? 1

D、 2

第二部分 非选择题(共 100 分)
二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,满分 20 分,其中 11-13 题是必做题,14-15 题 是选做题,考生只能选做一题,两题都答的,只计算前一题得分) 11、若函数 y ? sin(? x ?

5? ? )(? ? 0) 的最小正周期是 ,则 ? ? 3 3

*



12、定义运算

a b

c d

? ad ? bc, 复数 z 满足

z

i

1 i

? 1 ? i, 则 z=

*



13、在长方形中,设一条对角线与其一顶点出发的两条边所成的角分别是 ? , ? ,则有

cos 2 ? ? cos 2 ? ?

*

。类比到空间,在长方体中,一条对角线与从某一顶点出 * 。

发的三条棱所成的角分别是 ? , ? , ? ,则有正确的式子是

以下 14-15 题中任选做一题作答: 14、 (极坐标与参数方程选做题)在极坐标系中, ? ? 4sin ? 是圆的极坐标方程,则点

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A (4,

?
6

) 到圆心 C 的距离是

*


P

15、 (几何证明选讲选做题) 如图, MN 是圆 O 的直径, MN 的延长线与圆 O 上过点 P 的切线 PA 相交于点 A, 若 ?M ? 300 , 切线 AP 长为 2 3 ,则圆 O 的直径长
A



*



N

O

M

三、解答题(本大题共 6 小题,满分 80 分,解答须出文字说明、证明过程和演算步骤) 16、 (本小题满分 12 分)设函数 f ( x) ? 2cos x(sin x ? cos x) ?1, 将函数 f ( x) 的图象向左 平移 ? 个单位,得到函数 y ? g ( x) 的图象。 (1)求函数 f ( x) 的最小正周期; (2)若 0 ? ? ?

?
2

, 且 g ( x) 是偶函数,求 ? 的值。

17、 (本小题满分 12 分)已知集合 A ? {?2,0,1,3}, 在平面直角坐标系中,点 M(x,y)的坐标

x ? A, y ? A 。
(1)请列出点 M 的所有坐标; (2)求点 M 不在 x 轴上的概率;

?x ? y ? 5 ? 0 ? (3)求点 M 正好落在区域 ? x ? 0 上的概率。 ?y ? 0 ?
18、 (本小题满分 14 分)如图 1 所示,正 ?ABC 的边长为 2a,CD 是 AB 边上的高,E,F 分别是 AC, 的中点。 BC 现将 ?ABC 沿 CD 翻折, 使翻折后平面 ACD ? 平面 BCD(如图 2) (1)试判断翻折后直线 AB 与平面 DEF 的位置关系,并说明理由; (2)求三棱锥 C-DEF 的体积。
A E C A E D B F 图(2) C

D F B 图(1)

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19、 (本小题满分 14 分)已知椭圆的中心在原点,焦点在 x 轴上,离心率为 经过圆 C: x ? y ? 4 x ? 2 2 y ? 0 的圆心 C。
2 2

2 ,且椭圆 2

(1)求椭圆的方程; (2)设直线 l 过椭圆的焦点且与圆 C 相切,求直线 l 的方程。

1 ? ? x ? ln x ( x ? 2 ) ? 20、 (本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? ? ? x2 ? 2 x ? a ?1 ( x ? 1 ) ? ? 2
(1)求函数 f ( x) 的单调递增区间; (2)求函数 f ( x) 的零点。

21、 (本小题满分 14 分)设数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,已知 Sn ? (1)求数列 {an } 的通项公式;

n 2 ? 3n 。 2

? an ( n为奇数) ? (2)若 bn ? ? n ,数列 {bn } ?2 (n为偶数) ?
的前 n 项和为 Tn ,求 Tn ; (3)A 同学利用第(2)小题中的 Tn ,设计 了一个程序如图,但 B 同学认为这个程序如 果被执行会是一个“死循环” (即程序会永远 循环下去,而无法结束) 。你是否同意 B 同学 的观点?说明理由。

开始

n=0

n=n+1

P=n*n/4+24*n



Tn-P=2009?
是 打印 n

茂名市 2009 年第一次高考模拟考试
结束

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数学试题参考答案及评分标准(文科)
一、 二、 11、6 选择题: ACAAD;CBDBC 填空题: 12、 2 ? i 13、1; cos 2 ? ? cos 2 ? ? cos 2 ? ? 1 14、 2 3 15、4

三、解答题: 16.解:

(1) ? f ( x) ? 2sin x cos x ? 2 cos 2 x ? 1 ? sin 2 x ? cos 2 x..................................................................2分 ? 2 sin(2 x ? ).................................................................4分 4
? f ( x)的最小正周期T ? 2? ? ? .......................................................6分 2

?

(2) g ( x) ? f ( x ? ? ) ? 2 sin[2( x ? ? ) ? ] 4 ? 2 sin(2 x ? 2? ? )......................................................8分 4 g ( x)是偶函数,则g (0) ? ? 2 ? 2 sin(2? ? ) 4 ? 2? ?

?

?

?

?

?=

k? ? ? (k ? z ) 2 8

4

? k? ?

?

2

, k ? z..........................................................10分

?0 ? ? ?
17.解:

?
2

,?? ?

?
8

.............................................................12分

(1)?集合 A={-2,0,1,3},点 M(x,y)的坐标 x ? A, y ? A ,

?点 M 的坐标共有: 4 ? 4 ? 16 个,分别是:
(-2,-2)(-2,0)(-2,1)(-2,3)(0,-2)(0,0)(0,1)(0,3) , , , ; , , , ; (1,-2)(1,0)(1,1)(1,3)(3,-2)(3,0)(3,1)(3,3)…………………….4 分 , , , ; , , , (2)点 M 不在 x 轴上的坐标共有 12 种: (-2,-2)(-2,0)(-2,1)(-2,3)(1,-2)(1,0)(1,1)(1,3) , , , ; , , , ; (3,-2)(3,0)(3,1)(3,3) , , , 所以点 M 不在 x 轴上的概率是 P ? 1

12 3 ? ………………………………………..8 分 16 4

知识就是力量,努力铸就成功
?x ? y ? 5 ? 0 ? (3)点 M 正好落在区域 ? x ? 0 上的坐标共有 3 种: (1,1)(1,3)(3,1) , , ?y ? 0 ?
故 M 正好落在该区域上的概率为 P2 ?

3 …………………………………………………12 分 16

18、解: (1)判断:AB//平面 DEF………………………………………………..2 分 证明: A 因在 ?ABC 中,E,F 分别是 A AC,BC 的中点,有 E EF//AB………………..5 分 又因 C AB ? 平面 DEF, D D EF ? 平面 DEF…………..6 分 所以 F F B AB//平面 DEF……………..7 分 B 图(2) 图(1) (2)过点 E 作 EM ? DC 于点 M, 面 ACD ? 面 BCD,面 ACD ? 面 BCD=CD,而 EM ? 面 ACD 故 EM ? 平面 BCD 于是 EM 是三棱锥 E-CDF 的高……………………………..9 分

E C

M

S ? 又 ? CDF 的面积为 ?CDF

1 1 1 1 3 2 S?BCD ? ? CD ? BD ? (2a) 2 ? a 2 ? a ? a 2 2 2 4 4

EM=

1 1 AD ? a ……………………………………………………………………11 分 2 2

故三棱锥 C-DEF 的体积为

1 1 3 2 1 3 3 VC ? DEF ? VE ?CDF ? ? S?CDF ? EM ? ? a ? a? a ........................14分 3 3 4 2 24
19、解: (1)圆 C 方程化为: ( x ? 2) ? ( y ? 2) ? 6 ,
2 2

圆心 C (2, ? 2), 半径r ?

6 ………………………………………………………1 分

设椭圆的方程为

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) ,则……………………………………..2 分 a 2 b2

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?4 2 ? a 2 ? b2 ? 1 ?a 2 ? 8 ? ? ?? 2 .............................................................5分 ? ?b ? 4 ? ?1 ? ( b ) 2 ? ( 2 ) 2 ? a 2 ?
所以所求的椭圆的方程是:

x2 y2 ? ? 1 ………………………………………….6 分 8 4

(2)由(1)得到椭圆的左右焦点分别是 F1 (?2, 0), F2 (2, 0) ,

| F2C |? (2 ? 2) 2 ? (0 ? 2) 2 ? 2 ? r ? 6
F2 在 C 内,故过 F2 没有圆 C 的切线……………………………………………….8 分
设 l 的方程为 y ? k ( x ? 2),即kx ? y ? 2k ? 0 ……………………………………….9 分 点 C (2, ? 2) 到直线 l 的距离为 d ?

| 2k ? 2 ? 2k | 1? k 2

,

由d ?

6, 得
2

| 2k ? 2 ? 2k | 1? k 2

= 6 …………………………………………….11 分

化简得: 5k ? 4 2k ? 2 ? 0 解得: k ?

2 或k ? ? 2 …………………………………………………………13 分 5

故 l 的方程为 2 x ? 5 y ? 2 2 ? 0或 2 x +y ? 2 2=0 ……………………………14 分 20、解: (1)○ 当x ? 1
`

1 1 x ?1 时,f ` ( x) ? 1 ? ? .................................................1分 2 x x

由 f ( x) ? 0, 得x ? 1,? f ( x)在( ?)上是增函数..............................4分 1,+ 2 ○

1 当x ? 时,f ( x)=x2 ? 2 x ? a ? 1 ? ( x ? 1) 2 ? a ? 2 2 ? 1? ? f ( x)在 ? -1, ? 上是增函数 ? 2? ? 1? ? f ( x)的递增区间是 ? -1, ? 和( ?)........................6分 1,+ ? 2?

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(2)○ 1

1 1 当x ? 时,由()知f ( x)在( , 1 1 )递减,在( ?)递增 1,+ 2 2 且f ` (1) ? 0,? f ( x)有极小值f (1) ? 1 ? 0 1 ? f ( x)在x ? 时无零点....................................8分 2
2 ○

1 当x ? 时,f ( x)=x2 ? 2 x ? a ? 1 2 ? ? 4 ? 4(a ? 1) ? 8 ? 4a 当? ? 0, 即a ? 2时,f ( x)无零点........................................................10分 当?=0,即a ? 2时,f ( x)有一个零点-1......................11分 1 当?>0且f ( ) ? 0时, 2 ?8 ? 4a ? 0 1 ? 即? 1 ? ? ? a ? 2时 4 ? 4 ?1? a ?1 ? 0 ? f ( x)有两个零点:x ? ?2 ? 8 ? 4 a ? ?1 ? 2 ? a .............................12分 2

1 当? ? 0且f ( ) ? 0 2 ?8 ? 4a ? 0 1 ? 即? 1 ?a?? 时 4 ? 4 ?1? a ?1 ? 0 ? f ( x)仅有一个零点-1- 2-a .................................................................13分 综上所述,当a>2时,f ( x)无零点; 当a ? 2时,f ( x)有一个零点 ? 1; 1 ? a ? 2时,f ( x)有两个零点:x ? ?1 ? 2 ? a ; 4 1 当a ? ? 时,f ( x )有一个零点-1- 2-a ..........................................14分 4 当?

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21.解: (1) 当n ? 1时,a1 ? S1 ? 2 ;

当n ? 2时,an ? Sn ? Sn ?1 ?

n 2 ? 3n (n ? 1) 2 ? 3(n ? 1) ? ? n ?1 2 2

所以数列 {an } 有通项公式 an ? n ? 1 (n ? N *) ……………………………………….4 分

(2)由(1)知 bn ? ? 当 n 为偶数时,

? n ? 1 ( n为奇数)
n ?2 (n为偶数)

Tn ? 2 ? 22 ? 4 ? 24 ? 6 ? 26 ? ... ? n ? 2 n............................................5分 =(2+4+6+...+n)+(22 ? 24 ? 26 ? ... ? 2n ) n (2 ? n) 22 ? 2n ? 4 n 2 ? 2n 1 n ? 2 4 ? 2 ? ? ? ? 2 ? ...............................7分 2 1? 4 4 3 3
当 n 为奇数时,

Tn ? 2 ? 22 ? 4 ? 2 4 ? 6 ? 26 ? ... ? ( n ? 1) ? 2 n ?1 ? ( n ? 1)..........................5分 =[2+4+6+...+(n+1)]+(22 ? 24 ? 26 ? ... ? 2 n ?1 ) n ?1 (2 ? n ? 1) 22 ? 2 n ?1 ? 4 n 2 ? 4n ? 3 1 n ?1 4 2 ? ? ? ? ? 2 ? .....................7分 2 1? 4 4 3 3 2 ? n ? 2n 1 n ? 2 4 ? ? 2 ? ,(n为偶数) ? ? 4 3 3 ? Tn ? ? 2 .........................................9分 n ? 4n ? 3 1 n ?1 4 ? ? ? 2 ? , ( n为奇数) ? 4 3 3 ?

(3)由图知 P ? 当 n 为奇数时,

n2 ? 24n,设d n ? Tn ? P(n ? N *) 4

n 2 ? 4n ? 3 1 n ?1 4 n 2 1 7 dn ? ? ? 2 ? ? ? 24n ? ? 2n ?1 ? 23n ? 4 3 3 4 3 12 n ?1 若d n ? 2 ? d n ? 2 ? 46 ? 0, 则n ? 5, ? 从第5项开始{d n }的奇数项递增,而d1,d3,...,d11均小于2009, 且d13 >2009,? d n ? 2009..................................................................12分

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当 n 为偶数时,

n 2 ? 2n 1 n ? 2 4 n 2 2 47 4 ? ? 2 ? ? ? 24n ? ? 2n ?1 ? n ? 4 3 3 4 3 2 3 n?2 若d n ? 2 ? d n ? 2 ? 47 ? 0, 则n ? 4,........................................................13分 dn ? ? 从第4项开始{d n }的偶数项递增,而d 2,d 4,...,d10均小于2009, 且d12 >2009, ? d n ? 2009
因此d n ? 2009(n ? N *), 即Tn ? P ? 2009(n ? N *) 因此B同学的观点正解。....................................14分


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