2018年高中数学必修一学案 人教版A版 第二单元 §2.3 幂函数 Word版含答案

§ 2.3 1 幂函数 学习目标 1.了解幂函数的概念, 会求幂函数的解析式(易错点).2.结合幂函数 y=x, y=x2, 1 y=x ,y= ,y=x2 的图象,掌握它们的性质(重点).3.能利用幂函数的单调性比较指数幂的大 x 3 小(重点). 预习教材 P77-P78,完成下面问题: 知识点 1 幂函数的概念 一般地,函数 y=xα 叫做幂函数,其中 x 是自变量,α 是常数. 【预习评价】 (正确的打“√”,错误的打“×”) (1)函数 y=x 5是幂函数.( (2)函数 y=2 x 是幂函数.( - - 4 ) ) ) 1 (3)函数 y=-x2 是幂函数.( 提示 (2)× (3)× (1)√ 4 5 函数 y=x 符合幂函数的定义,所以是幂函数; - - 幂函数中自变量 x 是底数,而不是指数,所以 y=2 x 不是幂函数; 1 幂函数中 xα 的系数必须为 1,所以 y=-x2 不是幂函数. 知识点 2 幂函数的图象和性质 (1)五个幂函数的图象: (2)幂函数的性质: 幂函数 y=x R R 奇 增 y=x2 R [0,+∞) 偶 x∈[0,+∞),增 y=x3 R R 奇 增 1 2 y=x y=x -1 定义域 值域 奇偶性 单调性 [0,+∞) [0,+∞) 非奇非偶 增 (-∞,0)∪ (0,+∞) {y|y∈R,且 y≠0} 奇 x∈(0,+∞),减 x∈(-∞,0],减 公共点 【预习评价】 5 3 (1)设函数 f(x)=x ,则 f(x)是( x∈(-∞,0),减 都经过点(1,1) ) A.奇函数 B.偶函数 C.既不是奇函数也不是偶函数 D.既是奇函数又是偶函数 (2)3.17 解析 -3 与 3.71 -3 的大小关系为________. (1)易知 f(x)的定义域为 R,又 f(-x)=-f(x),故 f(x)是奇函数. 1 - (2)易知 f(x)=x 3= 3在(0,+∞)上是减函数,又 3.17<3.71,所以 f(3.17)>f(3.71),即 3.17 x -3 >3.71 3. - 答案 (1)A (2)3.17 3>3.71 - -3 题型一 幂函数的概念 【例 1】 (1)在函数 y=x 2,y=2x2,y=(x+1)2,y=3x 中,幂函数的个数为( - ) A.0 B.1 C.2 D.3 (2)若 f(x)=(m2-4m-4)xm 是幂函数,则 m=________. 解析 (1)根据幂函数定义可知,只有 y=x -2 是幂函数,所以选 B. (2)因为 f(x)是幂函数,所以 m2-4m-4=1,即 m2-4m-5=0,解得 m=5 或 m=-1. 答案 (1)B (2)5 或-1 规律方法 判断函数为幂函数的方法 (1)只有形如 y=xα(其中 α 为任意实数,x 为自变量)的函数才是幂函数,否则就不是幂函 数. (2)判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为 y=xα(α 为常数)的形式,函数的解 析式为一个幂的形式,且:①指数为常数,②底数为自变量,③底数系数为 1.形如 y=(3x)α, y=2xα,y=xα+5?形式的函数都不是幂函数.反过来,若一个函数为幂函数,则该函数也必 具有这一形式. 1? 【训练 1】 若函数 f(x)是幂函数,且满足 f(4)=3f(2),则 f? ?2?的值等于________. 解析 设 f(x)=xα,因为 f(4)=3f(2),∴4α=3×2α,解得:α=log23, 1? ?1? 1 ∴f? ?2?=?2?log23=3. 答案 1 3 题型二 幂函数的图象及应用 1 【例 2】 (1)如图所示,图中的曲线是幂函数 y=xn 在第一象限的图象,已知 n 取± 2,± 2 四个值,则相应于 C1,C2,C3,C4 的 n 依次为( ) 1 1 A.-2,- , ,2 2 2 1 1 C.- ,-2,2, 2 2 1 1 B.2, ,- ,-2 2 2 1 1 D.2, ,-2,- 2 2 1? (2)点( 2,2)与点? ?-2,-2?分别在幂函数 f(x),g(x)的图象上,问当 x 为何值时,分别有: ①f(x)>g(x); ②f(x)=g(x);③f(x)<g(x). (1)解析 根据幂函数 y=xn 的性质,在第一象限内的图象当 n>0 时,n 越大,y=xn 递增 1 速度越快,故 C1 的 n=2,C2 的 n= ;当 n<0 时,|n|越大,曲线越陡峭,所以曲线 C3 的 n= 2 1 - ,曲线 C4 的 n=-2,故选 B. 2 答案 B 1 (2)解 设 f(x)=xα,g(x)=xβ.∵( 2)α=2,(-2)β=- ,∴α=2,β=-1,∴f(x)=x2,g(x) 2 =x 1.分别作出它们的图象,如图所示.由图象知: - ①当 x∈(-∞,0)∪(1,+∞)时,f(x)>g(x); ②当 x=1 时,f(x)=g(x); ③当 x∈(0,1)时,f(x)<g(x). 规律方法 解决幂函数图象问题应把握的两个原则 (1)依据图象高低判断幂指数大小,相关结论为: ①在(0,1)上,指数越大,幂函数图象越靠近 x 轴(简记为指大图低);②在(1,+∞)上,指 数越大,幂函数图象越远离 x 轴(简记为指大图高). (2)依据图象确定幂指数 α 与 0,1 的大小关系,即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于 1 y=x -1 或 y=x2 或 y=x3)来判断. m n 【训练 2】 如图是函数 y=x (m,n∈N*,m,n 互质)的图象,则( ) m A.m,n 是奇数,且 <1 n m B.m 是偶数,n 是奇数,且 >1 n m C.m 是偶数,n 是奇数,且 <1 n m D.m 是奇数,n 是偶数,且 >1 n m 解析 由图象可知 y=x n

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