高中数学题库-三角函数与三角恒等变换、解三角形_图文

一、任意角
例 1 写出终边符合下列要求的角集: (1)在 x 轴上;_________________________________________. (2)在 y 轴上;_________________________________________. (3)在坐标轴上;_________________________________________. (4)在直线 y = x 上;_________________________________________. (5)在直线 y = x 或 y = ? x 上._________________________________. 例 2 写出终边符合下列要求的角集: (1)在第四象限;_________________________________________. (2)在第一、三象限;_________________________________________. 例 3 写出终边符合下列条件的两角的关系: (1) ? 与 ? 终边重合;_________________________________________. (2) ? 与 ? 终边在同一条直线上;_______________________________________. (3) ? 与 ? 终边关于 x 轴对称;_________________________________________. (4) ? 与 ? 终边关于 y 轴对称;_________________________________________. (5) ? 与 ? 终边关于原点对称;_________________________________________. (6) ? 与 ? 终边关于直线 y ? x 对称;____________________________________. (7) ? 与 ? 终边关于直线 y ? ? x 对称;___________________________________. 1. 已知角 ? 是小于 180 的正角,如果角 7? 的终边与角 ? 的终边重合,试求 ? 的值.
?

2. 扇形区域区域周期为 360 ,即每旋转一周恰好一次覆盖该区域;而对角形区域的周期 为 180 ,即每旋转一周恰好两次覆盖该区域. 3. 若 集 合 M ? ?? ? ? ?
?

?

? ?

?

? ? ? k ? ? k? , k ? Z ? , N ? ?? ? ? ?? 1? ? ? k? , k ? Z ? , 则 集 合 6 6 ? ? ?

M , N 的关系为___________. M ? N
4. 若将时钟拨慢 5 分钟,则时针转了__________度,分针转了_________度.

5. 已知 ? 与 ? 终边关于直线 y ? ? x 对称,若 ? ? ? 6. 已知点 P(sin

?
3

,则 ? ? _______

3 3 ? , cos ? ) 落在角 ? 的终边上,且 ? ? ?0,2? ? ,则 ? 的值为_______ 4 4 3 3 变:角 ? ( 0 ? ? ? 2? )的终边过点 P (sin ? , cos ? ) ,则 ? ? ______ 5 5

二、弧度制
1. 已知圆上的一段弧长等于等于该圆内接正三角形的边长, 则这段弧所对圆周角的弧度数 为__________.

3 2
2

2. 已知扇形的周长为 16 cm ,则其面积的最大值为________ 16cm 拓展: (通常用半径作为自变量构建函数模型)

(1)当扇形的周长为定值 C 时,当且仅当扇形所对应的圆心角为 2 rad 时,可取得扇形面

C2 积的最大值为 ; 16
(2)当扇形的面积为定值 S 时,当且仅当扇形所对应的圆心角为 2 rad 时,可取得周长的 最小值为 4 S ; 3.(旋转问题) (1)在直径为 10 cm 的轮子上有一长为 6cm 的弦, P 是弦的中点,轮子每秒转 5rad ,则 经过 5s 后点 P 转过的弧长为_________ 100 cm (2)已知相互齿合的两个齿轮,大轮有 50 齿,小轮有 20 齿. (1)当大轮转动一周时,求小轮转动的角的弧度数的大小(不考虑方向) ; (2)如果大轮的转速为 180 r / min(转/分) ,小轮的半径为 10 cm ,试求小轮圆周 上一点 1s 转过的弧长.

5? ; 小轮转速为 7.5 r / min ; 150? cm

(3)已知 x 轴的正半轴上一点 A 绕着原点依逆时针方向做匀速圆周运动,已知点 A 每分 钟转过 ? 角( 0 ? ? ? ? ) ,经过 2 分钟到达第三象限,经过 14 分钟回到原来的位置,那

么 ? 是多少弧度? 4. 若 ?

?
2

4 5 ?或 ? 7 7

?? ? ? ?

?

2
2

,则 ? ? ? 的取值范围是________

5. 扇形的面积为 1cm ,它的周长为 4cm ,求圆心角的弧度数和弧长. 6. 已知扇形的圆心角为 ? ,半径为 6,则扇形所含的弓形面积为_______ 7. 已知 1rad 的圆心角所对的弦长为 2,求 (1)这个圆心角所对的弦长;

2 3

1 sin 1 2
1 1 ? cos 1
?

(2)这个圆心角所在扇形的面积.

8. 如图,一长为 3dm ,宽为 1dm 的长方形木块在桌面上作无滑动翻滚,翻滚到第三面 时被一小木板挡住,使木块底面与桌面成 30 的角,则点 A 走过的弧的总长为 _

dm .

9?2 3 ? 6

三、任意角的三角函数
1. 当 sin ? ? sin ? 时,角 ? 的终边位于____________ 2. 已知角 ? 的终边经过点 P(?3, m)(m ? 0) ,且 sin ? ? 并求 cos ? 和 tan ? 的值.

2 m ,试判断角 ? 所在的象限, 4

m?? 5

3. 如果 2 rad 角的终边上一点 P 到坐标原点的距离为 1,则 P 点的坐标为_______ 4. 已知角 ? 的终边落在直线 y ? 3x 上,求 sin ? , tan? 的值.

5. 已知角 ? 的终边经过点 P(4a,3a)(a ? 0) ,则 2sin ? ? cos ? 的值为_______ 6. 已知点 M 在角 ? 的终边的反向延长线上,且 OM ? 1 ,则点 M 的坐标为_______ 7. 若点 P(3a ? 9, a ? 2) 在角 ? 的终边上,且 cos? ? 0, sin ? ? 0 ,则实数 a 的取值范围 是________. 8. 角 ? 的终边上有一点 P( x,?2) 且 cos ? ?

x ,则 sin ? ? _______ -1 或-2/3 3

9. 若 sin ? ? sin ? ,则 ? 和 ? 满足的条件是__________

? ? ?? 1?n ? ? n? (n ? Z )

10. 若 cos? ? cos ? ,则 ? 和 ? 满足的条件是__________ ? ? ? ? ? 2n? (n ? Z ) 11. 若 tan? ? tan? ,则 ? 和 ? 满足的条件是__________ 12. 利用单位圆中的三角函数线,完成下列问题: (1)确定下列各角的取值范围: sin ? ?

? ? ? ? n? (n ? Z )

1 3 ; cos? ? ; tan? ? 1 2 2

(2)已知 ? 为锐角,证明: 1 ? sin ? ? cos ? ?

?
2

(利用面积或周长都可以)

,sin (3)已知 ? 与 ? 均为第二象限角,且 tan ? ? tan ? ,则 sin ?
(4)作出符合下列条件的角的终边: cos ? ? ? ; tan ? ? (5)求函数的定义域: y ? lgsin x ? 1 ? 2cos x 变式 1、函数的定义域为 y ? lg(2sin x ?1) ? 1 ? 2cos x 变式 2、函数的定义域为 y ? sin x ? ? cos x 变式 3、集合 A ? ? x

? 的大小关系为______

1 4

1 2

? ? ? ? k? ? x ? ? ? k? , k ? Z ? , B ? x 4 ? x 2 ? 0 ,则 A ? B = ? 3 ?

?

?

变式 4、函数 y ? sin x ? 2 tan x 的定义域为 (6)若 ? 为锐角,试比较 ? ,sin ? , tan ? 之间的大小关系

13、函数 y ?

sin x sin x

?

tan x cos x 的值域为______ ? tan x cos x

3 1 ? cos2 ? 2cos ? tan ? 变式、函数 y ? 的值域为______ ? sin ? sin ?
14、若 cos ? ?

?1,5, ?5, ?1?

2x ? 3 ,又 ? 是第二、三象限角,则 x 的取值范围是______ 4? x ?

?B O A 15、 A,B 是单位圆上的两个质点, B 点的初始坐标为 (1, 0) ,

?

3

,质点 A 以1rad / s

的角速度按逆时针方向在单位圆上运动; 质点 B 以 1rad/s 的角速度按顺时针方向在单位圆 上运动,过点 A 作 AA1 ? y 轴于点 A 1 ,过点 B 作 BB 1 ? y 轴于点 B 1 (1)求经过 1s 后, ?BOA 的弧度数; ?BOA ?

?
3

?2
5 6

(2)求质点 A,B 在单位圆上第一次相遇所用的时间; ? s (3)设点 A 1与 B 1 间的距离为 y,请写出 y 关于时间 t 的函数关系式并求出最值

? ?? 3 sin ? t ? ? ? 6?
变式、若点 P 从(1,0)出发,沿单位圆 x 2 ? y 2 ? 1按逆时针方向匀速运动,且角速度是

??

?
6

rad/s,t s 钟运动到 Q 点

(1) 当 t=4,求 Q 点的坐标; (2)当 t ??0,6? 时,求弦 PQ 的长(用 t 表示) 解: (1) ? ?

? 1 3? ? 2, 2 ? ? ? ?

; (2) 2 sin

?
12

t

(余弦定理、两点间距离公式、垂径定理)

16、若角 ? 的终边上有一点 P(?4, a) ,且 sin ? ? cos ? ?

3 ,则 a 的值为______ 4

17、 已知角 ? 的终边在直线 y ? kx 上, 若 sin ? ? ? 可利用斜率解决 得结果为 2

2 5 o s ?0 ? , , 且c 则实数 k ? ______ 5

18、若 tan x ? sin x ,则角 x 所在象限为 ______

二或四

19、已知点 P ? ? sin ? ? cos ? , tan ? ? 在第一象限,在 ?0, 2? ? 内角 ? 的取值范围是______ 20、若 ? , ? 是关于 x 的二次方程 x2 ? 2 ? cos? ? 1? x ? cos2 ? ? 0 两根,且 ? ? ? ? 2 2 , 则 ? 角的范围是______

2? ?? ? ? k? , ? k? ? ? k ? Z ? ? 3 ?3 ?
2 2

sin ? cos ? cos ? sin ? 10 ?? ? ? 21、 已知 x ,y 均为正数, 满足 , 2 ? ? ? ?? , ? , ? 2 2 x y x y 3( x ? y 2 ) ?4 2?


x 的值为_____________ y

3
sin ? cos ? cos 2 ? sin 2 ? 10 ? , , ? 2 ? 2 2 x y x y 3( x ? y 2 )

原题呈现:已知 x , y 为非零实数,且满足



x 的值为 y

_____

? 3 ,?

3 3

思考:命题意图何为?三角函数定义 从方法的角度,消参,两种方式: (1)引入新的参数对其消参; (2)直接内部消参,不引 入新的参数;

(n个5) 练习:若二次函数 y ? f ( x) 满足对任意的正整数 n ,当 x ? 555??55 , x ? 555??55 (2n个5) ,则 y ? f ( x) 的解析式为_______________
考点: 曲线的参数方程,x ?

5 5 9 (10 n ? 1), y ? ( 10 2 n ? 1) ,消去 n 后得: f ( x) ? x 2 ? 2 x 9 9 5

四、同角三角函数基本关系式
1、试用单位圆法和定义法证明同角三角函数的基本关系式; 2、化简下列三角函数式: tan ?

1 ?1 sin 2 ?

3、证明下列三角恒等式: (弦切互化,1 的代换) (1)

1 ? 2sin ? cos ? cos 2 ? ? sin 2 ? ? cos 2 ? ? sin 2 ? 1 ? 2sin ? cos ?

1 1 1 ? ? ? 2 ? tan 2 x 2 2 sin x cos x tan 2 x cos x sin x 2(cos x ? sin x) ? ? (3) 1 ? sin x 1 ? cos x 1 ? sin x ? cos x 1 4、已知 sin ? ? cos ? ? ,且 ? ? ? 0, ? ? ,求下列各式的值: 5
(2) (1) sin ? ? cos ? ; (2) sin ? ? cos ? ; (3) sin ? ? cos ?
3 3

12 7 91 ; ; 25 5 125



5、已知 sin ? ? cos ? ?

1 ?? ? ? , ? ? ? , ? ,则 cos ? ? sin ? ? 8 ?4 2?

?

3 2

变式 1、已知 ? ? ? ?

1 ? ? ? ,0 ? ,sin ? ? cos ? ? , 5 ? 2 ?
sin 2? ? 2sin 2 ? 的值 1 ? tan ?

(1)求 sin ? ? cos ? 的值; (2)求 变式 2、设 f ? n? ? sin (1)求 sin ? ? cos ? 变式 3、已知 ? ? ?
n

? ? cosn ? , n ? N ? ,且 f ?1? ? a, a ? 2
; (2)求 f ? 2? ; f ?3? ; f ? 4?

1 ?? ?? ? 1 ? ,? ? , ? ? 2 2 ,则 sin ? 2? ? ? ? 3? ? 2 ? sin ? cos ? ? ?? ? ? =______ ?6?

1 2

变式 4、设 f (sin x ? cos x) ? sin x cos x ,则 f ? 变式 5、已知 sin ? 5? ? ? ? ? sin ?

? 5? ? 1 ?? ? ? ? 2 ? 5
3 3

(1) 求 sin ? cos ? 的值; (2) ;求 sin ? ? cos ? 的值 (3)当 ?? ? ? ? 0 时,求 tan ?

sin x ? cos x ? 3 ,求 tan x 和 2sin 2 x ? (sin x ? cos x)2 的值 sin x ? cos x a sin x ? b cos x ; m sin 2 x ? n sin x cos x ? p cos 2 x 的值(齐次分式的求值问题) 变式: c sin x ? d cos x
6、已知 变: 已知 cos ?

n s i 3 ?? ? ? ? c o s ? ?? ? ? ? 的值为______ ?? ?? ? ? 则 ? ? ? ? 2sin ? ? ? ? , 2? ? 5? ? ? 7? ? ?2 ? ? 5cos ? ? ? ? ? 3sin ? ?? ? ? 2 ? ? 2 ?

7、若

1 ? sin x 1 ? sin x ? ? 2 tan x ,求角 x 的取值范围______ 1 ? sin x 1 ? sin x

? ? ? ? ? x x ? ? ? 2k? 或2k? ? ? x ? 2k? ? , k ? Z ? 2 2 ? ?
变式:化简 ?

? 1 ? sin x 1 ? sin x ? ? 1 ? sin x 1 ? sin x ?
2

? ? 1 ? cos x 1 ? cos x ? ?? ? ? ? ? ? 1 ? cos x 1 ? cos x ? ? ?

8、若 sin ? sin ? ? cos ? cos ? ? ?1 ,则 ? 在第______ 象限;四

1 ? cos6 x ? sin 6 x 9、化简 1 ? cos 4 x ? sin 4 x
10、 已知 sin ? ,cos ? 是方程 8 x ? 6kx ? 2k ? 1 ? 0 的两个实数根, 则实数 k 的值为______
2

11. 求值:

1 ? 2 sin 10? cos10? sin 10? ? 1 ? cos2 10

? _________ -1

12. (1)已知 cos ? ? ? (2)已知 ? ? ? 0,

8 ,求 sin ? 和 tan ? 的值; 17

11 ? ?? ? ,且 sin ? ? 2 cos ? ? ,求 tan ? 的值; 5 ? 2?

(3)已知 tan ? ? m ,求 sin ? 和 tan ? 的值; 解:若 ? 角位于第一、四象限或 x 轴的正半轴时, sin ? ?

m 1? m
2

, cos? ?

1 1 ? m2

若 ? 角位于第二、三象限或 x 轴的负半轴时, sin ? ?

?m 1? m
2

, cos? ?

?1 1 ? m2

13. 已知 tan x ?

1 1 ? ?2 ,则 tan nx ? ? _________( n ? N * ) 2 或 ? 2 n tan x tan x

五、三角函数的诱导公式
1. 已知 sin(? ? ? ) ?
?

1 2 ?? ? 2 , ? ? ? ? ? ,? ? ,则 cos(? ? ? ) ? _______ 3 3 2? ?
1 3

2. cos( x ? 15 ) ? ? ,则 cos(x ? 165? ) ? _______ 3. 已知 tan( ? ? ? ) ? 4. 求下列各式的值 (1) 3 sin( ?1200 ) tan (2) cos
?

1 3

1 , ? ? ?? ? ,0? ,则 tan( ? ? ? ) ? _______; sin(?? ? ? ) ? ______ 2

11 37 ? ? cos 585 ? tan( ? ? ) 6 4
0

3? 2 2

?
5

? cos

2? 3? 4? ? cos ? cos 5 5 5

5. 化简:

sin[(k ? 1)? ? ? ] cos[(k ? 1)? ? ? ] sin(k? ? ? ) cos(k? ? ? )
?

-1

6. 已知 cos( x ? 75 ) ?

1 2 ? 2 , x 为第三象限角,则 sin(x ? 105 ) ? _______ 3 3

7. 在 ?ABC 中, 若 sin(2? ? A) ? ? 2 sin(? ? B) , 3 cos(2? ? A) ? ? 2 cos(? ? B) , 则 ?ABC 的三个内角分别是____________

? ? 7?
; ; 4 6 12

5? ? ? ) ? m ,则 8. tan(

sin(3? ? ? ) ? cos(? ? ? ) ? ________. sin(?? ) ? cos(? ? ? )

9. 化简:

1 ? 2 sin 470? cos110? =________ -1 sin 250? ? cos790?
?

1 ? a2 10. 已知 cos165 ? a ,则 tan195 ? _______ ? a
?

11. 若 sin(? ?

?
6

)?

3 ? ,则 cos( ? ? ) ? ______ 5 3

? 3? cos( ? ? ) ? cos(2 ? ? ?) ?sin( ?? ? ) 2 2 12. 已知 f (? ) ? 3? sin(?? ? ? ) ? sin( ? ? ) 2
(i)化简 f (? ) ;

3? 1 ) ? ,求 f (? ) 的值. 2 5 3? sin(? ? ? ) ? cos(2 ? ? ?) ?sin( ?? ? ) 2 13. 已知 f (? ) ? 3? cos(?? ? ? ) ? cos(?? ? ) 2 31? ) 的值; (1)求 f ( ? 3 3 (2)若 f (? ) ? ,求 sin ? , tan ? 的值. 5 ? sin ? ? cos ? ? cos 2? 的值; (3)若 2 f (? ? ? ) ? f ( ? ? ) ,求 2 sin ? ? cos ? ? 3 ? 14. 如果 sin(? ? ) ? ,则 cos( ? ? ) ? _________ 4 5 4
(ii)若 ? 是第三象限角,且 cos(? ? 15. 化简: (1) cos( ? ? (2) cos (
2

?
2

) ? tan(

?
2

? ? ) sin(

?
2

? ? ) =_______

?

? x) ? cos 2 ( ? x) 4 4 4n ? 1 4n ? 1 ? ? ? ) ? cos( ? ? ? )(? ? Z ) (3) cos( 4 4 C 2 A? B ? cos 2 ? 1 16. 在 ?ABC 中,求证: cos 2 2
总结 ?ABC 中的一些三角结论:正弦、余弦、正切关系?半角关系如何? 拓展:已知 A, B, C , D 顺次为圆内接四边形的四个内角,则 (1) cos

?

?

1 sin ?

A? B C?D A C ? sin ; (2) sin( ? D) ? cos( ? D) ; 4 4 2 2

17. 判断下列函数的奇偶性:

(1) f ( x) ?

sin 4x ? cos4x ? 1 3 3 sin( ? ? x) cos( ? ? x) 2 2

(2) f ( x) ? a cos(

?
2

? x) ? b tan( ? ? x)

18. 如果 f (sin x) ? cos2 x ,则 f (cosx) ? _______

? ? 1 ?cos x, x ? 1 19. 已知 f ( x) ? ? ,则 f ( ) ? ________ 2 3 ? ? f ( x ? 1) ? 1, x ? 1
20. 若 sin(? ?

?

3 ? ) ? ? , ? ? ? ? ? ,则 tan( ? ? ? ) =________ 2 4 2

21. 函数 f ( x) ? cos

?

3

x( x ? Z ) 的值域为________

22. 已知 tan ? ? 2 ,求

sin(? ? ? ) cos( 2? ? ? ) sin( ?? ? tan( ?? ? ? ) sin( ?? ? ? )
1 其中 , ? 3 1?8? 0? ? ?
?

3? ) 2 的值;

) 23. 已 知 c o s ( 7 5? ? ?
?

9 0 sin(105? ? ? ) ? cos(375? ? ? ) 的 ,求

值.

? 3? cos( ? ? ) ? cos(2 ? ? ?) ?sin( ?? ? ) 2 2 24. 已知 f (? ) ? 3? sin(?? ? ? ) ? sin( ? ? ) 2
(i)化简 f (? ) ; (ii)若 ? 是第三象限角,且 cos(? ? 25. 定义在 (0,

?
2

3? 1 ) ? ,求 f (? ) 的值. 2 5

) 上的函数 y ? 2 cos x 的图像与 y ? sin x 的图像的交点为 P ,则点 P 到

x 轴的距离是______________

六、三角函数的周期性
1. 若函数 f ( x) ? cos(? x ?

?
6

) (? ? 0) 的最小正周期是

? ,则 ? 的值为 5



2. 若 f ( x ) ? sin

?x
3

,则 f (1) ? f (2) ? f (3) ? ? ? f (2003) =_

3. 已知 f ( x) ? 3sin(2 x ? 立,则 ? =________

π ) ,若存在 ? ? (0, π ) ,使 f ( x ? ? ) ? f ( x ? ? ) 对一切实数 x 恒成 6

4. 已知函数 f ( x) ? sin( wx ?

?
4

)( x ? R, w ? 0) 的最小正周期为 ? , 将 y ? f ( x) 的图像向

左平移 | ? | 个单位长度,所得图像关于 y 轴对称,则 ? 的一个值是 5. 设 a ? 0 ,则函数 y ? cos(ax ? ? ) 的最小正周期为_________ 6. 定义在 R 上的函数 y ? f ( x) ,满足 f ( x ? 2) ? ?

1 ,则它的一个周期为_______ f ( x)

7. 已知 y ? f ( x) 是定义在 R 上的以 3 为周期的偶函数, 且 f (2) ? 0 , 则方程 f ( x) ? 0 在 区间 ?0,6? 内解的个数的最小值为________. 8. 已知函数 f ( x ) 满足: f ( x ? 1) ?

1 ? f ( x) ,求证: f ( x ) 是周期函数. 1 ? f ( x)

9. 已知函数 f ( x ) 是定义在 R 上的周期为 4 的奇函数. (1)求 f ( 4) 的值; (2)若 ? 2 ? x ? ?1 时, f ( x ) ? sin 的解析式. 10. 定义在 R 上的函数 f ( x ) 满足 f ( x ? 6) ? f ( x) , 当 x ? ?? 3. ? 1? 时,f ( x) ? ?( x ? 2)2 ,

?
2

x ? 1 ,求 2 ? x ? 3 时, f ( x)

) ? _____ 338 当 x ? ?? 1,3? 时, f ( x) ? x ,则 f (1) ? f (2) ? f (3) ? ? ? f (2012
11. 设函数 D( x) ? ?

?1, x ? Q ,则下列结论错误命题的序号为_______3 ?0, x ? Q

(1) D ( x ) 的值域为 ?0,1? ; (2) D ( x ) 为偶函数; (3) D ( x ) 不是周期函数 (4) D ( x ) 不是单调函数 12. 已知 g ( x) ? x(2 ? x) , 0 ? x ? 1 , g (1) ? 0 ,再设函数 y ? f ( x) , x ? R 是以 2 为周

期的奇函数, 且在 ?0,1? 上 f ( x) ? g ( x) , 画出 y ? f ( x) (?2 ? x ? 2) 的图象并求其解析式.

?? x( x ? 2),?2 ? x ? ?2, ?0, x ? ?1, ? ? ? x( x ? 2),?1 ? x ? 0, 解: f ( x) ? ? ? x(2 ? x),0 ? x ? 1, ?0, x ? 1, ? ? ? x( x ? 2),1 ? x ? 2.
? 1≤ x ? 0 , ? ax ? 1, ? 1] 上, f ( x ) ? ? bx ? 2 13. f ( x) 是定义在 R 上且周期为 2 的函数,在区间 [?1, , 0 ≤ x ≤ 1, ? ? x ?1
?1? ?3? b ? R .若 f ? ? ? f ? ? ,则 a ? 3b 的值为 其中 a , ?2? ?2?
______ -10

14. 函数 y=f(x)是定义在 R 上的周期函数,周期 T=5,函数 y=f(x)(-1≤x≤1)是奇函数, 又知 y=f(x)在[0,1]上是一次函数,在[1,4]上是二次函数,且在 x=2 时函数取得最小值-5. (1)证明:f(1)+f(4)=0;(2)求 y=f(x),x∈[1,4]的解析式;(3)求 y=f(x)在[4,9]上的解析式. 解: (2) f ( x) ? 2( x ? 2)2 ? 5,1 ? x ? 4 (3) f ( x) ? ?

?? 3x ? 15,4 ? x ? 6,
2 ?2( x ? 7) ? 7,6 ? x ? 9

15. 已知函数 f ( x) ? cos

?
3

x, x ? R

(1)求函数的最小正周期;

) 的值. (2)求 1 f (1) ? 2 f (2) ? 3 f (3) ? ? ? 2012f (2012

2009 2

x 16. 定义在 R 上的奇函数 f ( x ) 满足 f (3 ? x) ? f (3 ? x) ,若当 x ? ?0,3? 时, f ( x) ? 2 , x ?6 则当 x ? ?? 6,?3? 时,则 f ( x ) 的解析式为________ f ( x) ? ?2

17. 已知函数 f ( x ) 在区间 ?1,2? 上的表达式为 f ( x) ? x ,若对于任意 x ? R ,

3 ?9? f (2 ? x) ? f (2 ? x) ,且 f ( x ? 3) ? f (1 ? x) ,则 f ? ? ? ______. 2 ? 2?

18. 函数 f ( x) ? 2 sin(

?
2

x?

?
5

) ,对任意 x ? R 都有 f ( x1 ) ? f ( x) ? f ( x2 ) 成立,则

x1 ? x2 的最小值为________. 2
19. 求函数 f ( x) ? sin x ? cos x ? sin 4 2x 的最大值和最小值. 研究周期: f ( x ?

?

? ?? ) ? f ( x) ,故可只考虑函数在 ?0, ? 上的情形. 2 ? 2?

最小值为 1,最大值为 2 ? 1

七、三角函数的图象与性质
1. 已知函数 f ( x) ? ? sin 2x ? sin x ? a ,若 1 ? f ( x) ? 4 对一切实数 x ? R 恒成立,则实 数 a 的取值范围是________. 2. 函数 tan( 2 x ? 变:使 tan x ?

? 15? 3, ? ? 4? ?

?
6

) ? 1 ,则 x 的取值范围是________

3 成立的角 x 的范围是__________ 3

3. 已知函数 f ( x) ? 2 sin(?x ? ? )(? ? 0) 图像与直线 y ? 1 的交点中距离最近的两点间的 距离为

? , 则 ? ? _______ 2 3
? ?

4. 对于函数 f ? x ? ? 2sin ? 2 x ? 关于直线 x ?

??

? 给出下列结论:①图象关于原点成中心对称;②图象 3?

?
12

成轴对称;③图象可由函数 y ? 2sin 2 x 的图象向左平移

④图象向左平移

? 个单位,即得到函数 y ? 2cos 2 x 的图象。其中正确结论是_______ 12

? 个单位得到; 3

5. 函数 f ( x) ? 2 sin ?x 在 ?0, 值为__________

? ?? 上为增函数,且在这个区间上的最大值为 3 , 则正数 ? ? 4? ?

6. 已知 k 为正实数, f ( x) ? 2 sin kx 在 ??

? ? ?? 上为增函数,则 k 的取值范围为_____ , ? 3 4? ? ? ? ?? 上的最小值为-3,则 k 的最小值 , ? 4 3? ?

变式 1:已知函数 f ( x) ? 3sin kx(k ? 0) 在区间 ?? 等于_________. 2

变式 2:已知函数 f ( x) ? 2 sin kx(k ? 0) 在区间 ?? 大值等于_________. 1 变式 3:已知函数 f ( x) ? 2 sin kx(k ? 0) 在区间 ?? 等于_________. -2 7. 函数 y ? 2 sin 3 x ( 面积是____________

? ? ?? 上的最小值为 ? 2 ,则 k 的最 , ? 4 3? ?

? ? ?? 上的最小值为-2,则 k 的最大值 , ? 3 4? ?

?
6

?x?

5? ) 与函数 y=2 的图象围成一个封闭图形,这个封闭图形的 6

? ? ],若关于 x 的方程 3 sin( 2 x ? ) ? a 有两解,则 a 的取值范围是_______ 2 3 ? 9. 关于函数 f ( x) ? 4 sin( 2 x ? )( x ? R), ,有下列命题: 3
8. 设 x∈[0, (1) 由 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,得 x1 ? x2 必是 π 的整数倍; (2) y=f(x)的表达式可改写成 y ? 4 cos( 2 x ? (3) y=f(x)的图象关于点 (

?
6

);

?
6

,0) 对称;

(4) y=f(x)的图象关于直线 x ? ?

?
6

对称

其中正确命题的序号是_____________(注:把你认为正确的命题的序号都填上) 10. 已知函数 f ( x) ? sin(? x ? 最大值,无最小值,则 ? ?

? ? ? ? ? ) (? ? 0) ,若 f ( ) ? f ( ) , 且 f ( x ) 在区间 ( , ) 内有 6 4 3 6 4 4 52 , ,20 . 5 5

11. 已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? )(A ? 0,? ? 0, 0? ? ? ? )在 x ?

?

12

时取得最大值 4 ,

在同一周期中,在 x ?

5? 时取得最小值 ?4 . 12

(1)求函数 f ( x ) 的解析式; (2)求函数 f ( x ) 的单调增区间; (3)若 f ( ? ?

2 3

?
12

) ? 2 , ? ? (0, ? ) ,求 ? 的值.

解: (1)依题意, A ? 4 ;---------------------------------------------1 分

?

T ? 5? ? ? 2? 2? ? , ∴T ? ? ? ,∴ ? ,∴ ? ? 3 ;-----------------4 分 2 3 12 12 3 ? 3

将(

?

12

, 4) 代入 f ( x) ? 4sin(3x ? ? ) ,得 sin(

?

∴ f ( x) ? 4sin(3 x ? (2)由 2k? ?

?
4

4

? ? ) ? 1 ,? 0 ? ? ? ? ,∴ ? ?

?
4



) .-------------------------------------------------6 分

?
2

≤ 3x ?

?
4

≤ 2k ? ?

?
2

?

2 k ? ? 2 k? ? ? , ? ] , k ? Z .-------------------10 分 3 4 3 12 2 ? ? 1 (2) 由 f ( ? ? ) ? 2 ? 4sin(2? ? ) ? 2 ? cos 2? ? ,--------------13 分 3 12 2 2 ? 5? ? 5? ,∴ ? ? 或 ? ? .------------------15 分 ? ? ? (0, ? ) ,∴ 2? ? 或 2? ? 3 3 6 6
即函数 f ( x ) 的单调增区间为 [

2 k? ? 2 k? ? ? ≤x≤ ? ,---------9 分 3 4 3 12

12. 函数 f ?x? ? sin x ? 2 sin x , x ? ?0,2? ?的图象与直线 y ? k 有且仅有两个不同的交点, 则 k 的取值范围是 13. 若 f ( x) ? sin(x ? 则 x1 ? x 2 值为 14. (2009 全国卷Ⅰ理)如果函数 y=3 cos ? 2x+? ? 的图 像关于点 ? 。

?
4

), x ? (0,2? ) ,并且关于 x 的方程 f ( x) ? m 有两个不等实根 x1 , x 2 ,

y

? 4? ? ,0 ? 中心对称,那么 | ? | 的最小值为 ? 3 ?

O

? 7? 3 12

x

15. (2009 湖北卷理)函数 y ? cos(2x ?

?
6

) ? 2 的图象 F 按

? 2

向量 a 平移到 F , F 的函数解析式为 y ? f ( x), 当 y ? f ( x) 为奇函数时,向量 a 可以等于
' '

16. 函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) ( A , ? , ? 是常数, A ? 0 , ? ? 0 )的部分图象如图 所示, f (0) 的值是 _____

17. 函数 f ( x) ? A sin(?x ? ? )( A ? 0, ? ? 0, ? ? ?0,2? ? ) 的图像如图所示,则 ? ? ______

18. 将函数 y ? 2sin π x 的图象上每一点向右平移 1 个单位,再将所得图象上每一点的横坐 3 标扩大为原来的 π 倍(纵坐标保持不变) ,得函数 y ? f ( x) 的图象,则 f ( x) 的解析式为 3 _______ 19. 要得到函数 y ? cos( x ? ? ) 的图象,只需把函数 y ? sin
2 4

x 的图象向_ _平移_ _个单位; 2

? 7? ) ? 1 图像,按向量 a 平移后得到的函数图像关于原点对称,这 3 ? 样的向量是否唯一?若唯一,求出 a ;若不唯一,求出模最小的向量
20. 将函数 y ? 2sin(2 x ? 21. (2009 全国卷Ⅱ理)若将函数 y ? tan ? ? x ? 度后,与函数 y ? tan ? ??x ?

? ?

??

? ?? ? 0 ? 的图像向右平移 6 个单位长 4?

?

?

?? ? 的图像重合,则 ? 的最小值为
6?

变式: (2011 全国卷)设函数 f ( x) ? cos?x(? ? 0) ,将 y ? f ( x) 的图象向右平移 位长度后,与原图象重合,则 ? 的最小值为 称,则 ? 的最小值为 22. y ? ? sin( 2 x ?

? 个单 3

;若所得图象与原图象关于 x 轴对

;若所得图象为偶函数,则 ? 的最小值为

?
3

) 的递减区间是______;y ? log 1 cos(
2

x ? ? ) 的递减区间是_______ 3 4

23. ? ? 0 ,函数 f ( x) ? sin(? x ?

?

) 在 ( , ? ) 上单调递减, ? 的取值范围是_________ 2 4

?

24. 若关于 x 的方程满足 2 cos( ? ? x) ? m,?? ? x ? ? ,则方程有两个不同实数解的

3 4

m 的取值范围是_________
25. 有一种波,其波形为函数 y ? sin

?
2

x 的图象,若在区间 ?0, t ? 上至少有 2 个波峰(图象

的最高点) ,则正整数 t 的最小值为_________

?? ? 26. 已知函数 f ? x ? ? 3sin ? ? x ? ? ?? ? 0 ? 和 g ? x ? ? 2cos ? 2x ? ? ?? 0 ? ? ? ? ? 的图 6? ?
象的对称轴完全相同,则 g ?

?? ? ? 的值是 ?3?
?
2 ?? ?

27. 函数 f ( x) ? 2sin(? x ? ? ) (其中 ? ? 0 , ?

?
2

)的图象

如图所示,若点 A 是函数 f ( x) 的图象与 x 轴的交点,点 B、D 分 别是函数 f ( x) 的图象的最高点和最低点,点 C ( , 0) 是点 B 在 12 ??? ? ??? ? x 轴上的射影,则 AB ? BD =
π π? 28. 函数 y ? 2 sin ? ? x ? ? 的部分图象如右图所示,则 ?4 2?

?

y 1
O

B A
x

?

??? ? ??? ? ??? ? OA ? OB ? AB ?

?



29. 函数 f ( x) ? tan?x 在 ? ?

? ? ?? , ? 内是减函数,那么 ? 的取值范围是_____ ?? 1,0? ? 2 2?

30. 函数 y ? sin x 的对称轴方程是__________ 31. 已知函数 y ? sin

a? x( a ? 0) 在区间 ?0,1? 内至少取得两次最小值, 且至多取得三次最 2

大值,则 a 的取值范围是______________ 32. 定义在 ? 0,

?7,13?

? ?? ? 上的函数 y ? 2 cos x 的图象与 y ? sin x 的图象的交点为 P ,则点 P 到 ? 2?

x 轴的距离为________.

2 5 5

33. 求下列函数的定义域: (1) y ? 2 sin x ? 1 ; (2) y ? 16 ? x 2 ? ? cos x (3) y ? sin x ? cos x ; (4) y ?

1 ?? ? 1 ? tan? 2 x ? ? 4? ?

(5) y ? (7) y ?

3 tan x ? 3 ; (6) y ? lg(1 ? tan x) ;

? ?? 2 ? log 1 x ? tan x ; ? 0, ? ? ?? ,4? ? 2? 2

(8) y ? lg(2 sin x ? 1) ? 1 ? 2 cos x (9) y ?

1 sin x ? 1

; (10) y ?

25 ? x2 ? lgsin x

34. 画出下列函数的图象,并根据图象判断函数的周期性 (1) y ? sin x ; (2) y ?

1 1 (cos x ? cos x ) ; (3) f ( x) ? sin x ? ; 2 2 1 (tan x ? tan x ) (单调递增区间) 2

(4) y ? tan x (写出单调区间) ; (5) y ? 35. 判断下列函数的奇偶性: (1) f ( x) ? sin( x ?

?
4

) ? cos( x ?

?
4

)

(2) g ( x) ? 2 sin x ? 1 ? 2 sin x ? 1

5 ? x ? ? ) 的值域为________ 4 6 3 7 37. (1)比较 cos 与 ? cos 的大小; 2 4
36. 函数 y ? cos 2 x( (2)在锐角三角形 ABC 中,比较 cos A 与 sin B 的大小关系; 38. 求下列函数的值域

?

(1) y ? cos2x ? sin x ? 1, x ? ? (3) y ?

cos x ? 3 ? ? 3? ? (2) y ? ; , ?; cos x ? 3 ?4 4 ?

(4) y ? 3sin x ? 1 ? 2 sin x 2c0s 2x ? 5 sin x ? 1 ;

39. 已知函数 f ( x) ? 2 sin x ? 1 ? 2sin x (1)作出函数 y ? f ( x) 的图象; (2)由函数 f ( x) 的图象求出 f ( x) 的最小正周期、值域和单调递增区间. 40. 已知函数 y ? tan x 在区间 ? ?

? a a ? ? , ? ? 上单调递增,则实数 a 的取值范围是_______ ? 3 2 ?

?0,1?
π 41. 给定性质:a 最小正周期为 π;b 图象关于直线 x= 对称.则下列四个函数中,同时具 3 有性质 ab 的是________. x π ①y=sin( + ) 2 6 π ② y=sin(2x+ ) 6 π ③y=sin|x| ④y=sin(2x- ) 6

42. 已知 a 是实数,则函数 f(x)=1+asinax 的图象不可能是________.4

43. 如图是函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,-π<φ<π),x∈R 的部分图象,则下列命题 中,正确命题的序号为________. π ①函数 f(x)的最小正周期为 ; 2

②函数 f(x)的振幅为 2 3; 7 ③函数 f(x)的一条对称轴方程为 x= π; 12 π 7 ④函数 f(x)的单调递增区间为[ , π]; 12 12 2 ⑤函数的解析式为 f(x)= 3sin(2x- π). 3 44. 已知函数 y=sin(ωx+φ)(ω>0,-π≤φ<π)的图象如图所示,则 φ=________. T 3 解析:由图可知, =2π- π, 2 4 5 2π 5 4 ∴T= π,∴ = π,∴ω= , 2 ω 2 5 4 ∴y=sin( x+φ). 5 4 3 又∵sin( × π+φ)=-1, 5 4 3 ∴sin( π+φ)=-1, 5 45. 已知函数 y=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π)的图象如图所示,则 φ=________. 2π π 解析:由图象知 T=2( - )=π. 3 6 2π π π π π ∴ω= =2,把点( ,1)代入,可得 2× +φ= ,φ= . T 6 6 2 6 π 答案: 6 π 46. 已知函数 f(x)=sin(ωx+ )(x∈R,ω>0)的最小正周期为 π,为了得到函数 g(x)=cosωx 4 的图象,只要将 y=f(x)的图象________. π 解析:∵f(x)=sin(ωx+ )(x∈R,ω>0)的最小正周期为 π, 4 ∴ 2π π π =π,故 ω=2.又 f(x)=sin(2x+ )∴g(x)=sin[2(x+ ) ω 4 8 +

π π π ]=sin(2x+ )=cos2x. 答案:向左平移 个单位长度 4 2 8 π 2 47. 已知函数 f(x)=Acos(ωx+φ) 的图象如图所示,f( )=- ,则 f(0)=________. 2 3 T 11 7 π 2π 解析: = π- π= ,∴ω= =3. 2 12 12 3 T

7 又( π,0)是函数的一个上升段的零点, 12 7 3π π ∴3× π+φ= +2kπ(k∈Z),得 φ=- +2kπ,k∈Z, 12 2 4 π 2 2 2 2 代入 f( )=- ,得 A= ,∴f(0)= . 2 3 3 3 2 答案: 3

πx 48. 当 0≤x≤1 时,不等式 sin ≥kx 恒成立,则实数 k 的取值范围是________. 2 πx 解析:当 0≤x≤1 时,y=sin 的图象如图所示,y=kx 的图象在[0,1]之间的部分应位于 2 此图象下方,当 k≤0 时,y=kx 在[0,1]上的图象恒在 x 轴下方,原不等式成立. πx 当 k>0,kx≤sin 时,在 x∈[0,1]上恒成立,k≤1 即可. 2 πx 故 k≤1 时,x∈[0,1]上恒有 sin ≥kx.答案:k≤1 2 π 49. 已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ),x∈R(其中 A>0,ω>0,0<φ< )的周期为 π,且图象上一个 2 2π 最低点为 M( ,-2). 3 π (1)求 f(x)的解析式;(2)当 x∈[0, ]时,求 f(x)的最值. 12 2π 2π 2π 解:(1)由最低点为 M( ,-2)得 A=2.由 T=π 得 ω= = =2. 3 T π 2π 4π 4π 由点 M( ,-2)在图象上得 2sin( +φ)=-2,即 sin( +φ)=-1, 3 3 3 ∴ 4π π 11π π π +φ=2kπ- (k∈Z),即 φ=2kπ- ,k∈Z.又 φ∈(0, ),∴φ= , 3 2 6 2 6

π ∴f(x)=2sin(2x+ ). 6 π π π π π π (2)∵x∈[0, ],∴2x+ ∈[ , ],∴当 2x+ = ,即 x=0 时,f(x)取得最小值 1; 12 6 6 3 6 6 π π π 当 2x+ = ,即 x= 时,f(x)取得最大值 3. 6 3 12 50. 方程 sin ?x ?

1 x 的解的个数为_________. 7 4

51. 如果函数 y ? 3 cos(2 x ? ? ) 的图象关于点 ? ? ,0 ? 中心对称,那么 ? 的最小值为

?4 ?3

? ?

______.

? 6
4 1 11 ,求 ? ? sin y ? cos2x 的最值 最大值为 ;最小值为 ? 9 3 12

52. 已知 sin x ? sin y ?

53. 已知函数 f ( x) ? A sin(?x ? ? )( A ? 0, ? ? 0, | ? |? ? ) 在一个周期内的图象如图所示. (1)求函数的解析式; (2)求函数的单调递增区间; (3)设 0 ? x ? ? ,且方程 f ( x) ? m 有两个不同的实数根, 求实数 m 的取值范围和这两个根的和. 54. 已知函数 y ? A sin(?x ? ? )(x ? R, A, ? ? 0) 的图象在 y 轴右侧的第一个最高点 (函数 取最大值的点)为 P? ,2 ? ,在原点右侧与 x 轴的第一个交点为 R ( ,0) (1)求函数 y ? f ( x) 的解析式; 2 1 O -2 y
5? 12

11 ? 12

?1 ? ?3 ?

5 6

(2)求函数在区间 ?

? 21 23? 上的对称轴方程. , ?4 4? ?

55. 将函数 y ? sin( 2 x ?

?
3

) 的图象向右平移 ? (? ? 0) 个单位长度,得到的图象关于 y 轴

对称,则 ? 的最小值为_________.

? 12

56. 试用五点法作出函数 f ( x) ? 2 sin( 2 x ?

?
3

) 的图象,并说明这个函数的图象可以由

y ? cos x 图象如何变换得到?
57. 已知函数 f ( x) ? 2
sin( 2 x ? ) 4

?

(1)这个函数是否为周期函数?为什么? (2)求它的单调增区间和最大值. 58. 已知函数 f ( x) ? 2a sin( 2 x ?

?

? ?? ) ? b(a ? 0) 的定义域为 ?0, ? ,值域为 ? 3 ? 1,1 , 3 ? 2?

?

?

则实数 a ? _______, b ? _________ . 59. 矩形 ABCD 中,AB ? x 轴, 矩形 ABCD 恰好能完全覆盖函数 y ? a sin ax ? a ? R, a ? 0? 的一个完整周期图象,则当 a 变化时,矩形 ABCD 周长的最小值为 .

60. 函数 f ( x) ? sin(?x ? ? ) (? ? N * ,0 ? ? ? ? ) 是 R 上的偶函数, 图象关于点 M ( ? ,0) 对称,且在区间 ?0,

3 4

? ?? 上是单调函数,则函数 f ( x) 的解析式为 f ( x) ? _______ ? 2? ?

f ( x) ? cos2 x
变式: 函数 f ( x) ? sin(?x ? ? ) (? ? 0,0 ? ? ? ? ) 是 R 上的偶函数, 图象关于点 M ( ? ,0) 对称,且在区间 ?0,

3 4

? ?? 上是单调函数,则函数 f ( x) 的解析式为 f ( x) ? _______ ? 2? ?
2 x 3

f ( x) ? cos2 x 或 f ( x) ? cos

62. 函数 y ? sin x 与 y ? tan x 的图象在 ?0,2? ? 上的交点个数为_______. 3 63. 当 0 ? x ? 1 时,不等式 sin

?x
2

? kx 恒成立,则实数 k 的取值范围是________. k ? 1

64. 函数 y ? Asin(?x ? ?) 的最小正周期为__________. 变式:函数 y ? Asin(?x ? ?) ? B 的最小正周期为__________. 65. 已知点 A?x1 , f ?x1 ?? , B?x2 , f ?x2 ?? 是函数 f ( x) ? 2sin(? x ? ? ) (? ? 0, ?

?
2

? ? ? 0)

图象上的任意两点,且角 ? 的终边经过点 P(1, ? 3) ,若 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 4 时, | x1 ? x2 | 的 最小值为

? . 3

(1)求函数 f ? x ? 的解析式; (2)求函数 f ( x ) 的单调递增区间;

(3)当 x ? ?0,

? ?? 时,不等式 mf ? x ? ? 2m ? f ? x ? 恒成立,求实数 m 的取值范围. ? 6? ?

解:解: (1)角 ? 的终边经过点 P(1, ? 3) , tan ? ? ? 3 , ? ? 由 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 4 时, | x1 ? x2 | 的最小值为
∴ f ( x) ? 2sin(3 x ? (2) ?

?
2

? ? ? 0 ,?? ? ?

?
3

.

?
3

2? ? 2? 2? ? ,得 T ? ,即 ,?? ? 3 3 3 ? 3

)

?
2

? 2 k? ? 3 x ?

?
3

?

?
2

? 2 k ? ,即 ?

?
18

?

2 k? 5? 2k? ?x? ? , 3 18 3

? ? 2k? 5? 2k? ? k?z , ? ? 函数 f ( x) 的单调递增区间为 ? ? ? 3 18 3 ? ? 18 ? ? ?? 时, ? 3 ? f ? x ? ? 1 , 于是, 2 ? f ? x ? ? 0 , mf ? x ? ? 2m ? f ? x ? ? 6? ?

(3 ) 当 x ? ?0,

等价于 m ?

f ? x? f ? x? 1 2 ,由 ? 3 ? f ? x ? ? 1 , 得 的最大值为 ? 1? 3 2 ? f ? x? 2 ? f ? x? 2 ? f ? x?
1 3
π π )的图象关于直线 x ? 对称,则 θ ? 2 6


所以,实数 m 的取值范围是 m ?

66. 若函数 f ( x) ? sin( x ? ? ) ( 0 ? ? ?

67. 函数 y = sin 2 x ? π 的图象可由函数 y = sin x 的图象作两次变换得到, 第一次变换是针
3

?

?

对函数 y = sin x 的图象而言的,第二次变换是针对第一次变换所得图象而言的.现给出下 列四个变换: A. 图象上所有点向右平移 π 个单位; 6 B. 图象上所有点向右平移 π 个单位; 3 C. 图象上所有点的横坐标变为原来的 2 倍(纵坐标不变) ; D. 图象上所有点的横坐标变为原来的 1 倍(纵坐标不变). 2 请按顺序写出两次变换的代表字母: ________ .(只要填写一组)BD(DA)

68. 已知函数 f ( x) ? 2 sin(2 ? x?
[?1, 1] 上的单调增区间为

? 的最大值与最小正周期相同,则函数 f ( x) 在 )? ( ? 0) 4

1 3 . [? , ] 4 4

69. 定义运算 a ? b ? ?

? ?a, a ? b, 2? , 则函数 f ( x) ? sin x * cos x 的值域为_______. ?? 1, ? 2 ? ?b, a ? b. ?

70. 函数 y ? 3 sin( 2 x ?

?
6

) ( x ? ?0, ? ? )的单调递增区间为________.
π π )|对 x∈R 恒成立,且 f( )>f(π),则 f(x) 12 2

71. 已知函数 f(x)=sin(2x+φ),φ∈R,若 f(x)≤|f( 的单调递减区间是 72. 将函数 y ? sin(2 x ?

5π π . [kπ- ,kπ- ] ,k∈Z; 12 12

2? ) 的图像向左平移至少 3

个单位,可得一个偶函数的图像

七、三角函数的应用
1.已知泰州某浴场的水高度 y ( m) 是时间 t (0 ? t ? 24, 单位:h) 的函数,记作 y ? f (t ), 下表是某日各时的浪高数据: t(h) y(m) 0 1.5 3 1.0 6 0.5 9 1.0 12 1.5 15 1.0 18 0.5 21 0.99 24 1.5

经长期观察, y ? f (t ) 的曲线可近似的看成是函数 y ? A cos?t ? b (1)根据以上数据,求出函数 y ? A cos?t ? b 的最小正周期 T ,振幅 A 及函数表达式; (2)依据规定,当高度高于 1m 时,才对游泳爱好者开放,请根据(1)的结论,判断一 天内的上午 8 时至晚上 20 时之间,有多长时间可供冲浪者进行运动? 2. 如图,点 O 为作简谐振动的物体的平衡位置,取向右 方向为正方向,若振幅为 3cm,周期为 3s,且物体向右运 动到距平衡位置最远处时开始计时.则该物体 5s 时刻的 位移为 cm. 答案:-1.5. O

3.

(3)求证:不论 t 为何值, f (t ) ? f (t ? 1) ? f (t ? 2) 是定值.

4. 一半径为 2m 的水轮如图所示,水轮圆心 O 距离水面 1m;已知水轮按逆时针做匀速转 动,每 3 s 转一圈,如果当水轮上点 P 从水中浮现时(图中点 P0)开始计算时间。 (1) 试建立适当的坐标系,将点 P 距离水面的高度 h(m)表示为时间 t(s)的函数; (2) 点 P 第一次到达最高点大约要多长时间? (3) 记 f(t)=h,求证:不论 t 为何值,f (t) + f (t + 1) + f (t + 2)是定值 P 2 O

1

?
P0

5. 弹簧挂着的小球做上下振动,它在时间 t (秒)内离开平衡位置(就是静止时的位置) 的距离 h(cm) 由函数关系 h ? 2 sin( 2t ? (1)求小球开始振动时的位置; (2)求小球上升到最高点和下降到最低点的位置; (3)经过多少时间,小球往返一次?

?
4

) 决定.

(4)每秒钟内小球往返多少次?

八、三角恒等变换
(一)三角函数的图象问题 1. 将函数 y ?

2 可得函数 y ? ? sin 3x 的 (cos3x ? sin 3x) 的图象沿 x 轴平移 h 个单位, 2

图象,其中 h 的所有取值中,绝对值最小的是_________. 2. 已知函数 f ( x) ? sin(?x ? ? ) ,其中 ? ? 0 , ? ? (1)若 cos

? 12

?
2

.

?
4

cos ? ? sin

3? sin ? ? 0 ,求 ? 的值; 4

(2)在(1)的条件下,若函数 f ( x) 的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于

? ,求函 3

数 f ( x) 的解析式,并求最小正实数 m ,使得函数 f ( x) 的图象向左平移 m 个单位后所对 应的函数是偶函数. 解: (1) ? ?

?
4

; (2) m ?
2

? 12

3. 已知函数 f ( x) ? sin ?x ? 3 sin ?x sin(?x ? 侧的第一个最高点的横坐标为 (1)求 ? ; (2) 若将函数 f ( x) 的图象向右平移

?
2

) ? 2 cos 2?x, x ? R, ? ? 0 ,在 y 轴右

? . 6 ? 个单位后, 再将得到的图象上各点横坐标伸长到原 6

来的 4 倍,纵坐标不变,得到函数 y ? g ( x) 的图象,求函数 g ( x) 的最大值及单调递减区 间. 4. 已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) , (其中 A ? 0, ? ? 0, 0 ? ? ? 上有一个最低点为 M (

?
2

)的周期为 ? ,且图像

2? , ?3) 3

(1)求 f ( x) 的解析式;

(2)求函数 y ? f ( x) ? f ( x ?

?
4

) 的最大值及对应 x 的值.

5. 已知函数 f ( x) ? 2 cos2?x ? 2 sin ?x cos?x(? ? 0) 在区间 ?0, 整数 k 的值为__________. 1 或 2 或 3. 6. 若函数 y ? sin 2 ( x ? 为 .

? ?? 上是单调函数,则正 ? 8? ?

?
6

则实数 a 的值 ) 与函数 y ? sin 2 x ? a cos 2 x 的图象的对称轴相同,

(二)化简求值问题

4 1. 已知 tan ? ? ? ,则 5sin 2 ? ? 2sin 2? = 5

.0

2. 已知函数 y ? sin 2 x ? a cos2 x 的图象关于直线 x ? ? 3. 已知 sin( x ?

?
8

对称,则 a 的值为______. -1

π 3 π 4 ) ? , sin( x ? ) ? ,则 tan x = 4 5 4 5

.-7

4. 已知向量 a ? (cos? , sin ? ) , b ? (2 , ? 1) .

sin ? ? cos? 的值; sin ? ? cos? ? ? (2) 若 a ? b ? 2 , ? ? (0 , ) ,求 sin(? ? ) 的值. 2 4
(1) 若 a ? b ,求 (1)由 a ? b 可知, a ? b ? 2 cos ? ? sin ? ? 0 ,所以 sin ? ? 2 cos ? ,……………………2 分 所以

sin ? ? cos? 2cos? ? cos? 1 ? ? . …………………………………6 分 sin ? ? cos? 2cos? ? cos? 3

(2)由 a ? b ? (cos ? ? 2,sin ? ?1) 可得,

a ? b ? (cos? ? 2)2 ? (sin? ? 1)2 ? 6 ? 4cos? ? 2sin ? ? 2 ,
即 1 ? 2 cos ? ? sin ? ? 0 , ① ……………………………………………10 分
3 ? sin ? ? ? ? 5 ②,由①②可解得, ? ,…12 分 ?cos ? ? 4 ? 5 ?

? 又 cos2 ? ? sin 2 ? ? 1 ,且 ? ? (0, ) 2

? 2 2 3 4 7 2 (sin ? ? cos ? ) ? ( ? )? 所以 sin(? ? ) ? . 4 2 2 5 5 10

……14 分

5. 已知函数 f ( x) ?

1 a ? ?? cos 2 x ? a sin x ? ( x ? ?0, ? )的最大值为 2,则实数 a 的值为 2 4 ? 2?

_________.

10 或? 6 3 7 3 ? ) ? cos( x ? ? ), x ? R 4 4

6.(2011 四川)已知函数 f ( x) ? sin( x ? (1)求 f ( x ) 的最小正周期和最小值; (2)已知 cos( ? ? a) ? 7. 求下列函数的值域:

4 4 ? , cos( ? ? ? ) ? ? , (0 ? ? ? ? ? ) ,求证:[ f (? )]2 ? 2 ? 0 5 5 2 sin x ? 2 1? ? (反控法) ? ? ?,? ? cos x ? 1 2? ?

(1) y ? sin x ? cos x ( x 为锐角) ; (2) y ? (3) y ?

4 sin x ? 1 cos x ? 2

5? ? ? 3 , ? 3? ? ?

8. 已知函数 f ( x ) ? sin( 2 x ?

?
6

) ,g ( x) ? cos2 x , 直线 x ? t( t ? R ) 与函数 f ( x), g ( x)

的图象分别交于 M , N 两点. (1)当 t ?

? 时,求 MN 的值;1/2 2
? ?? 时的最大值. 1 ? 2? ?

(2)求 MN 在 t ? ?0,

9. 设函数 f ( x) ? a ? b ,其中向量 a ? (2 cos x,1) , b ? (cosx, 3 sin 2x ? m) (1)求函数 f ( x) 的最小正周期和在 ?0, ? ? 上的单调递增区间; (2)当 x ? ?0,

? ?? 时, f ( x) 的最大值为 4,求 m 的值. 1 ? 6? ?

10.(2011 天津卷)已知函数 f ( x ) ? tan(2 x ? (1)求 f ( x ) 的定义域与最小正周期; (2)设 ? ? ? 0,

?
4

),

? ?

??
?

? ? ,若 f ( 2 ) ? 2 cos 2? , 求 ? 的大小. 4?
4 ?

(1)解:由 2 x ?

?
2

? k? , k ? Z ,得 x ?

?
8

?

所以 f ( x ) 的定义域为 {x ? R | x ?

?
8

?

k? ? , k ? Z } , f ( x) 的最小正周期为 . 2 2

k? ,k ?Z . 2

a ? (2) 解: 由 f ( ) ? 2 cos 2a, 得 tan(a ? ) ? 2 cos 2a, 2 4
整理得

sin(a ? ) 4 ? 2(cos 2 a ? sin 2 a), ? cos(a ? ) 4

?

sin a ? cos a ? 2(cos a ? sin a)(cos a ? sin a). cos a ? sin a

因为 a ? (0, 由 a ? (0,

?

?

1 1 ) ,所以 sin a ? cos a ? 0. 因此 (cos a ? sin a ) 2 ? , 即sin 2a ? . 4 2 2

) ,得 2a ? (0, ) .所以 2a ? , 即a ? . 4 2 6 12 1 4

?

?

?

11. 已知向量 a ? (1, cos x), b ? ( ,? sin x) (1)当 x ? ?0,

? ?? 时,若 a ? b ,求 x 的值; ? 4? ?

(2)定义函数 f ( x) ? a(a ? b) , x ? R ,求 f ( x) 的最小正周期及最大值. 12. 已知 f ( x) ? 2 cos2x ? 2 3 sin x cos x ? a, a ? R (1)求 f ( x) 的最小正周期; (2)若 f ( x) 在 ??

? ? ?? 上的最大值与最小值之和为 3,求实数 a 的值. 0 , ? 6 3? ?

13. 已知定义在 R 上的函数 f ( x) ? a sin ?x ? b cos?x(? ? 0, ab ? 0, a, b ? R) , f ( x) 的 最小正周期为 ? . (1)求 ? 的值; (2)试探究 a 和 b 满足什么关系时,能使得 f (?

?
4

? x) ? f ( x) 对一切 x ? R 恒成立.

a?b?0
14. 已知函数 f ( x) ? (1 ?

1 ? ? ) sin 2x ? m sin( x ? ) sin( x ? ) . tan x 4 4

(1)当 m ? 0 时,求函数 f ( x) 在 ? (2)当 tan ? ? 2 时, f (? ) ?

? 1? 2 ? ? ? 3? ? , ? 上的取值范围; ?0, ? 2 ? ?8 4 ? ?

3 ,求实数 m 的值. -2 5


15. 计算

6 tan10? ? 4 2 cos80? 的值等于

16. 已 知 函 数 f ( x) ? 2a sin2x ? 2 3a sinx co sx ? a ? b 的 定 义 域 是 ?

?? ? ,? ,值 域是 ?2 ? ?

?2,5? ,则 a, b 的值分别为______
17. 求函数 y ?

1 ? 1? ? x 2 ? x ( x ? ?0, ?) 的值域. 三角换元 4 ? 2?
? ?

?1 2 ? ? , ? ?2 2 ?
?

n t 18. (2010 浙大自主招生) 若 sin(x ? 20 ) ? cos(x ? 10 ) ? cos(x ? 10 ) , 则a
19. 已知 sin ? ? sin ? ? ? , cos ? ? cos ? ? 20. 求证:

x?_ _ _ _

.

1 3

59 1 , 则 cos(? ? ? ) ? ______. 72 2

sin( 2? ? ? ) sin ? ? 2 cos( ? ? ? ) ? . sin ? sin ?

21. 训练 1:角的拆分 (1)已知角 2? , ? 的正余弦值,如何求 2? ? ? 的三角函数值? (2)已知角 ? ? ? , ? ? ? 的正余弦值,如何求 2 ? 的三角函数值? (3)已知角 ? ?

? ?
2 2
,

? ? 的正余弦值,如何求

? ??
2

的三角函数值?

训练 2:角范围的求解 (1)已知 ? ? ? 0,

? ? ?? ? ,求 的范围; 2 ? 2?
? ?? ? ? ? ? , ? ? ? ? ,0 ? ,求 ? ? ? , ? ? ? 的范围; ? 2? ? 2 ?
3? ,求 ? ? ? 的范围. 4

(2)已知 ? ? ? 0,

(3)

?
2

? ? ?? ?

22. (1) cos(? ? ? ) ? cos? ? cos ? 能成立吗?恒成立吗?为什么?(反例思想) (2)当 ? , ? 均为锐角时,判断 cos(? ? ? ) 与 cos? ? cos? 的大小关系,并说明理由. 23. 如图,在 ?ABC 中, ? B 为直角, DE ? AB 于点 E , AC ? DC ,设 BC ? 1 . (1)若 ?BAC ? 30 , ?DAC ? 45 ,试求 ?ADE 的各边之长,由此推出 75 的三角函
? ? ?

数值; (2)设 ?BAC ? ? , ?DAC ? ? ( ? , ? ,? ? ? 均为锐角) ,试由图推出 sin(? ? ? ) 的公 式.

24. 函数 y ? a sin x ? b cos x 的最大值为_________,最小值为___________. 25. (1) sin(? ? ? ) ? sin ? ? sin ? 能成立吗?恒成立吗?为什么?(反例思想) (2)当 ? , ? 均为锐角时,判断 sin(? ? ? ) 与 sin ? ? sin ? 的大小关系,并说明理由. 26. 已知 cos( ? ?

?
3

) ? 2 cos ? ,则 tan ? ? ______ . 3

27. 已 知 8 c o s 2? ( ? ? ) ? 5c o ? s ?0 ,且 ? ?

?
2

? k? ,? ? ? ?

?
2

? k? (k ? Z ) , 求

t an ?(? ? ) t a ? n 的值.

13 3 1 cos A 的值. ? 2 cos(B ? C )

28. 在 ?ABC 中,已知 cos B cos C ? 3 sin B sin C ,试求

29. 已知 ? , ? 均为锐角,且 sin ? ? (1) cos(? ? ? ) ; (2) ? ? ?

5 , tan ? ? 3 . 5 2 ? ;? 2 4

30. 已知向量 a ? (2 cos? ,1),b ? (2 tan? , 2 ) (1)若 a // b ,试求锐角 ? 的值; (2)若 a ? b ,且 ? ? ? ?

? 4
7 ?1 4

? ? ? ? ,0 ? ,求 cos( ? ? ) 的值. 4 ? 2 ?

(▲)和、差、倍角的三角函数的习题课(1) 一、基础训练 1. sin(? ? ? ) ? ________________; cos? cos? ? sin ? sin ? ? ____________. 2. 化简: 4 sin

?
4

cos

?
4

cos

?
2

? _______ . sin ?

3. ? cos

? ?

?

12

? sin

3 ? ?? . ?? cos ? sin ? ? _______ 2 12 ?? 12 12 ?

? ??

4. 下列各式中,值为

1 tan22.5? ? ? 的是__________. ① sin 15 cos15 ② 2 1 ? tan2 22.5?



1 ? cos30? ? ? ?? ? ? ? ? ④ ? cos ? sin ?? cos ? sin ? ② 12 12 ?? 12 12 ? 2 ?
?

5. 化简: 1 ? sin 20? ? 1 ? sin 20? ? _______ . 2 cos10 6. 若 sin(

?

5 ? 1 ?? ? ? ? ? 2? ) ? sin( ? 2? ) ? , ? ? ? , ?, 则角 ? 的值为_______. 12 4 4 4 ?4 2?

注:可利用两角互余优化 7. 已知 ? , ? 均为锐角,且 cos(? ? ? ) ? sin(? ? ? ) ,则 tan ? ? ______ . 1 8. 化简: ? cos

? ?

?

? ?? ? ?? ? ? sin ?? cos ? sin ?(1 ? tan? tan ) ? _____. 1 2 2 ?? 2 2? 2
1 2

二、例题精讲:

2 cos4x ? 2 cos2 x ?
例 1:化简:

2 tan( ? x) sin 2 ( ? x) 4 4
讲评: (1)分子是一个完全平方公式; (2)弦切互化; (3)角的拼凑与划分,整体关系; (4)化繁为简是数学的一贯追求.

?

?

例 2:化简: sin ? sin ? ? cos ? cos ? ?
2 2 2 2

1 cos 2? cos 2? 2

1 2

讲评:抓住同构思想 法一:从角入手,出现角为 ? 与 ? ,将二倍角转化为 ? 与 ? 的三角函数; 法二:从名入手,只出现正弦或余弦; 法三:从形入手,平方结构; 法四:从幂入手,降次扩角;

? ? ?) ? 例 3: (1)若 2 tan? ? 3 tan ? ,求证: tan(

sin 2? ; 5 ? cos2?

(2)已知 ? , ? 均为锐角,且满足 3sin 2 ? ? 2 sin 2 ? ? 1 ,3sin 2? ? 2 sin 2? ? 0 ,求证:

? ? 2? ?

?
2

.

解: (2) 3sin 2 ? ? cos2? ,3sin 2? ? 2 sin 2? ,两式相除 注:重视对式子结构的特征分析,从结构统一角度探寻思维方向,目标导向作用很关键. (1)注意到目标式的右端只有角 ? ,故将 ? 角消去; (2)求角或者证明角的等式,一般先求出这个角的某个三角函数值,再根据角的范围确 定角的大小,或证明两个角的同名三角函数相等,且两个角在此三角函数的同一个单值区 间上.

例 4:证明:

1 ? sin 2? 1 ? 4 ? tan ? 2 tan 2

cos2 ?

注:对恒等式的证明,应遵循化繁为简的原则,常用定义法、化弦法、拆项拆角法、1 的 代换、公式变形等手段. 变式:证明:

1 ? sin ? 1 ? 1 ? tan ? 1 ? sin ? ? cos ? 2 2 2

注:注意到目标式的右端只有角 三、巩固练习

? ,故将 ? 角消去 2

1. 函数 f ( x) ? (1 ? 3 tan x) cos x 的最小正周期是________. 2. 设 a ? sin 14 ? cos14 ,b ? sin 16 ? cos16 ,c ?
? ? ? ?

6 ,则 a, b, c 的大小关系为_____. 2

3. 化简: 2 ? 2cos8 ? 2 1 - sin8 的结果是_______. ? 2 sin 4

cos( ? x) ? sin( ? x) 4 4 4. 化简: ? _________. ? tan x ? ? cos( ? x) ? sin( ? x) 4 4
要点回顾: (1)重视变角的常用方法:目标角用条件角、特殊角表示,还可以将条件角用目标角表

?

?

示; (2)三角恒等变换要坚持结构同化原则,即尽可能地化为同名函数、同角函数、同次函 数等,其中切函数化为弦函数也是同化思想的体现; (3)常用代换也是值得注意的解题策略,如 1 的代换,又如将 示等; (4)降次是一种三角变换的常用技巧,要熟练掌握降次公式,并灵活运用; (5)三角恒等变换,特别是三角等式的证明问题,要重视对式子的结构特征的分析,从 结构统一的角度探寻思维方向,目标导向作用很关键. 自我测试: 1. 求值: 1 ? 2 sin 2? ? cos2? ? _________ .2 2. 化简: cos4? ? sin 4 ? ? _________ . cos 2? 3. 化简:

3 ? ? 用 sin 60 或 cos30 表 2

1 1 ? ? ________ . ? tan 2? 1 ? tan? 1 ? tan?
2

4. 函数 f ( x) ? 2 cos ( x ?

?
4

) ? 1 的奇偶性为_________.. 奇函数

5. 函数 f ( x) ? 2 cos2 x ? sin 2 x 的最小正周期为_________. 6. 求值: sin (? ?
2

?
1 2

?
6

) ? sin 2 (? ?

?
6

) ? sin 2 ? ? ________ .

7. 证明:

sin( 2? ? ? ) sin ? ? 2 cos( ? ? ? ) ? . sin ? sin ?
2 tan ? . 1 ? tan 2 ?

3 8. 证明下列式子: (1) sin 3? ? 3sin ? ? 3sin ? ; (2) sin 2? ?

9. 求证: sin ? ? cos ? cos( ? ?
2

?
3

) ? sin 2 (

?
6

? ? ) 的值与 ? 无关.

?( ? ? ) ? 2 t a n ? , 其 中 ? , ? , ? ? ? 均 不 为 k? ? 10. 已 知 t a n
3sin ? ? sin(? ? 2? ) .
11. 已知 sin ? ? sin ? cos(? ? ? ) ( ? , ? 均为锐角) ,求证: 12. 求证: sin
2

?
2

,k ? Z , 求 证 :

sin 2? ? tan ? . 3 ? cos 2?

? ? sin 2 ? ? 2 sin ? sin ? cos(? ? ? ) = sin 2 (? ? ? ) .

13. 切比雪夫多项式的系列研究 由倍角公式 cos2 x ? 2 cos x ? 1 ,可知 cos 2 x 可以表示为 cos x 的二次多项式.对于
2

cos 3 x ,我们有 cos 3 x ? 4 cos3x ? 3 cos x ,可见 cos 3 x 可以表示为 cos x 的三次多项式.
一般地,存在一个 n 次多项式 Pn (t ) ,使得 cosnx ? P n (cosx), 这些多项式 P n (t ) 称为切比 雪夫(P. L. Tschebyscheff)多项式. (1)求证: cos 3 x ? 4 cos x ? 3 cos x ;
3

(2)利用结论: cos3x ? 4 cos x ? 3 cos x ,求出 sin 18 的值( 3 ? 18 ? 90 ? 2 ? 18 )
3 ? ? ? ?

(3)请尝试求出 P4 (t ) ,即用一个 cos x 的四次多项式来表示 cos 4 x ; (4)请尝试求出 P 6 (t ) ,即用一个 cos x 的四次多项式来表示 cos 6 x ; (5)请尝试解决下列问题: (08 江苏高考 14)f ( x) ? ax3 ? 3x ? 1 对于 x ?? ?1,1? 总有 f ( x) ? 0 成立, 则a= 解:由 cos 3 x 的切比雪夫多项式 cos3x ? 4 cos x ? 3 cos x ,作代数变形可得
3

.

x ?1 ? 0 对 任 意 x ? R 恒 成 立 , cos3x ? 1 ? 4 cos3 x ? 3 cos x ? 1 , 由 c o 3s

4 c o3 x s ? 3 c o xs ? 1 ? 0 对任意 x ? R 恒成立,作代数换元 t ? cos x ,原不等式就等价于 4t 3 ? 3t ? 1 ? 0 对任意 t ? ?? 1,1? 恒成立,即为试题考查的结论.
(2010 江苏高考附加题 23)已知△ ABC 的三边长为有理数 (1)求证 cosA 是有理数; (2)对任意正整数 n,求证 cosnA 也是有理数. 第(1)问在利用余弦定理的基础上结合有理数集对除法运算的封闭性易证得; 对于第(2)问的解答,参考答案给出了同步数学归纳法,同时归纳 cos nA 和 sin nA 的有理性,看完参考解答会觉得解法确实有道理,但是从学生思维的发生认识来看,本题 所用的同步数学归纳法虽属数学归纳法的一种,但思路学生难以获得.为此,笔者在本例的 第(2)问的教学中做了如下设计:

思考 1: 先不证明, 能否站在切比雪夫多项式这个高的视角上先给出该命题的合理性解释? 参考解答:由切比雪夫多项式的定义可知:任意一个 cosnx 都可以表示为 cos x 的 n 次多 项式.因为第(1)问已证得 cos A 是有理数,故 cosnA 也是有理数. 思考 2:切比雪夫多项式呈现的是倍角的余弦值之间的关系,能否根据切比雪夫多项式的 结构特征给出证明?
2 参考解答:因为 cos A 是有理数,由 cos2 A ? 2 cos A - 1可知 cos 2 A 是有理数,

cos(n ? 1) A ? cosnAcos A - sin nAsin A,(这个式子中出现了倍角的正弦的关系,能否转
化为余弦的关系?) 由 cos(n - 1) A ? cosnAcos A ? sin nAsin A, sin nAsin A ? cos(n - 1) A ? cosnAcos A ,

sn ? 1) A 的 有 理 性 由 cos nA 和 故 cos(n ? 1) A ? cosnAcos A - cos(n - 1)A , 可 知 c o ( cos(n ? 1) A 的有理性决定,因为 cos A , cos 2 A 是有理数,从而 cos 3 A 是有理数,同理
可得 cos 4 A, cos5 A, cos6 A,?, cos(n - 1) A , cos nA 为有理数,命题得证. (2010 年福建高考题)观察下列等式:观察下列等式: ① cos2? ? 2 cos ? - 1 ;
2

② cos 4? ? 8cos ? ? 8cos ? ? 1;
4 2

③ cos 6? ? 32cos ? ? 48cos ? ? 18cos ? ? 1 ;
6 4 2

④ cos8? ? 128cos ? ? 256cos ? ? 160cos ? ? 32cos ? ? 1 ;
8 6 4 2

⑤ cos10? ? m cos10 ? ?1280cos8 ? ? 1120cos6 ? ? n cos4 ? ? p cos2 ? ?1 . 可以推测, m ? n ? p ? _________ . 1010 (▲)和、差、倍角的三角函数的习题课(2) 一、基础训练 1. (sin15 ? cos15 ) ? ________ .
? ? 2

3 2

2. 求值:

3 ? sin 70? ? _________ .2 2 ? cos2 10?

3. 化简: cos(70? ? ? ) sin(170? ? ? ) ? sin(70? ? ? ) cos( 10? ? ? ) ? _______ .? 4. 若 cos(

3 2

?
2

??) ?

7 4 , 则 cos 2? 的值为________. ? 25 5

5. 已知 ? ? ?

4 5 ?? ? ,则 tan2? ? ________ .? , ? ? , sin ? ? 3 5 ?2 ?

6.

tan58? ? tan92? 3 ? _________ .? ? ? 1 ? tan58 tan88 3
1 8

7. cos20? cos40? cos80? ? ________ .

思考:能否对结论做进一步推广?_________________________ 8. 若 sin ? : sin 二、例题精讲 例 1: (1)tan20 ? tan40 ? 3 tan20 tan40 ; (2)
? ? ? ?

?
2

? 8 : 5 ,则 cos? ? _________ .

7 25

3 1 ? ? 64 sin 2 20 ? ? 2 ? sin 20 cos 20
2

解: (1) 3 ; (2)32(辅助角公式是一种重要变形,处理分式的基本思想就是分子、分 母分别化积,以便约分) 拓展:专题:三角形中一个三角恒等式的深度研究 在斜三角形中,求证: tan A ? tan B ? tan C ? tan A tan B tan C 思考 1: 一般地, 当 A, B, C 满足什么条件时,tan A ? tan B ? tan C ? tan A tan B tan C 能 成立?(是怎么推导的?) 在△ ABC 中,若 tan A : tan B : tan C ? 1: 2 : 3 ,则 A ? .π 4

思考 2: (2012 年江苏高考 15 题)在 ?ABC 中,已知 AB ? AC ? 3BA? BC (1)求证: tan B ? 3tan A ; (2)若 cos C ?

5 ,求 A 的值. 5

思考 3:在 ?ABC 中,请你探究 tan A tan B tan C 的取值范围

思考 4:设 x ? tan ? , y ? tan ? , z ? tan ? ,证明下列问题: (1)已知 x, y, z ? R ,且 一个式子的值为 0; (2)已知 x ? y ? z ? xyz ,求证: 思考 5:求下列各式的值 (1)tan50 ? tan5 ? tan50 tan5 (2)tan15 tan35 ? tan35 tan40 ? tan15 tan40
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

x? y y?z z?x ? ? ? 0 ,求证:条件的三个式子中至少有 1 ? xy 1 ? yz 1 ? zx

x y z 4 xyz ? ? ? 2 2 2 2 1? x 1? y 1? z (1 ? x )(1 ? y 2 )(1 ? z 2 )

(3)

x x x x x x 1 ? tan7? ? tan8? ? tan7? tan8? ; (4) tan ? tan ? tan ? tan tan tan ? ? ? ? 2 3 6 2 3 6 1 ? tan7 ? tan8 ? tan7 tan8

(5) tan( 15? ? ? ) tan( 75? ? ? ) ? tan( 15? ? ? ) tan2? ? tan( 75? ? ? ) tan2? 这些问题形式相似,解题思想类同,但又各有技巧.

例 2:若 ? , ? ? ? 0, 解:可求 ? ?

? 1 1 ? 3 ? ?? , sin( ? ? ) ? ? ,求 cos( ? ? ? ) 的值. ? ?, cos( ? ? ) ? 2 2 2 2 2 ? 2?
?

?
2

? ?
6 2 ,

?? ??

?
6

注:关注角间的整体关系,本题关键是将“目标角”变换成已知角,若角所在的象限没有确 定,则应分情况讨论,注意公式的运用、逆用、变形运用,掌握拆角、拼角,配角的技巧. 变式 1:已知 cos( ? ? ? ) ? ?

4 3 ?? ? , sin(? ? ? ) ? ? ,且 ? ? ? ? ? , ? ? , 5 5 ?2 ?

? ? ? ??

? 3? ? ,2? ? ,求 cos 2? 的值. ? 2 ?

变式 2:已知 sin ? ? 2 sin(2? ? ? ), ? ,? ? ? 均不为 k? ?

?
2

, k ? Z ,求证:

tan( ? ? ? ) ? ?3 tan? .

例 3: (1)已知 sin(

?
4

? x) ?

5 ? , 且0 ? x ? ,求 13 4

cos2 x cos( ? x) 4

?

的值;

x 2 cos2 ? sin x ? 1 3 ? ?? 2 (2)已知 cos x ? 的值. , x ? ? 0, ?, 求 ? ? 3 2 ? ? 3 sin(x ? ) sin( ? x) 3 3
注: (1)用角之间的关系,从整体上进行沟通,简化了运算过程。 (2)遵循先化简再求值的基本原则,在化简过程中使用了“降次”的策略。 例 4:已知 tan( ? ? ? ) ?

1 1 3 , tan ? ? ? ,且 ? , ? ? ?0, ? ? ,求 2? ? ? 的值. ? ? 4 2 7

思考:已知三角函数求角选用函数遵循什么原则? 若已知正切函数,选正切函数;已知正、余弦函数值,若角的范围是 ? 0, 函数皆可; 若角的范围是 ? ?

? ?? ? ,则正、余弦 ? 2?

? ? ?? , ? ,则选正弦函数;若角的范围是 ?0, ? ? ,则选余弦函数; ? 2 2?

解法分三步:第一步,求角的某一个三角函数值;第二步,确定角所在的范围;第三步, 根据角的范围写出所求的角. 三、巩固练习 1. 如果 ? ? 15 ,那么 tan
?

?
2

? tan

?
2

tan

5? 5? ? tan ? _________ . 1 2 2

2. 已知 tan( x ?

?
4

) ? 2 ,则

4 tan x ? ________ . 9 tan 2 x

3.

cos10? ? 3 sin10? 1 ? cos80?

? ________ . 2

4. 若 tan( ? ? ? ) ? 要点回顾:

3 2 ? 1 ? , tan( ? ? ) ? ,则 tan( ? ? ) ? _______ . 22 5 4 4 4

(1)给角求值的关键是灵活、正确的选用公式,以便把非特殊角的三角函数相消,或者 转化成特殊角的求值,如例 2; (2)给值求值得关键是找出已知式和未知式的关系,将所给一个或几个三角函数式进行 变形,转化为所求函数式能使用的形式,或者将所求函数式经过变形后再用条件达到求值 的目的,如例 1、例 3; (3)给值求角主要有两个步骤:求角的某一三角函数值;讨论角的范围,从而确定角的 大小,如例 4.

四、自我测试 1. 已知 tan ? ? 2. 已知 tan ? ?

4 5 63 ? ?? ?? ? i n ? 的值为_. ,sin(? ? ? ) ? , 且 ? ? ? 0, ? ,? ? ? , ? ? , 则s 3 13 65 ? 2? ?2 ?
3? 1 ? ?? ?? ? , tan ? ? ?3 , ? ? ? 0, ? , ? ? ? , ? ? ,则 ? ? ? ? _______. 4 2 ? 2? ?2 ?

3. 已知

1 ? cos 2? 1 ? 1, tan( ? ? ? ) ? ? , 则 tan(? ? 2? ) ? _________ . -1 sin ? cos ? 3

4. 若 ? ? 25? , ? ? 20? ,则 (1 ? tan? )(1 ? tan? ) ? __________ . 2 5.

2 cos5? ? sin 25? ? _________ . 3 cos25?
1 ? ?? ? cos ? ,且 ? ? ? 0, ? ,则 2 ? 2?

6. 已知 sin ? ?

cos2?

sin(? ? ) 4

?

? _______ .?

14 2

7. 已知 ? , ? , ? 成公比为 2 的等比数列( ? ? ?0,2? ? ) ,且 sin ? , sin ? , sin ? 也成等比数列, 求 ? , ? , ? 的值.

??

2? 4? 8? 4? 8? 16? ,? ? ,? ? ,? ? ,? ? ;? ? 3 3 3 3 3 3

1 8. 已知 tan( ? ? ? ) ? ? , tan( ? ? ?) ? 3

sin 2( ? ? ) ? 4 cos2 ? 2 10cos2 ? ? sin 2?

?

? ? ? ) 的值; (1)求 tan( (2)求 tan ? 的值.
解: (1)

5 31 ; (2) 16 43

9. 若 ? , ? 均为锐角,且 sin ? ?

7? 5 3 , cos? ? ? 10 ,求 ? ? ? 的值. 4 5 10

10. A 是单位圆与 x 轴正半轴的交点,点 P 在单位圆上, ?AOP ? ? (0 ? ? ? ? ),

OQ ? OA ? OP ,设四边形 OAQP 的面积为 S .
(1)求 OA ? OQ ? S 的最大值及此时 ? 的值 ?0 ;

2 ? 1;

? 4
7 2 10

(2)设点 B (? , ) , ?AOB ? ? , 在(1)的条件下求 cos(? ? ?0 ) . ?

3 4 5 5

11. 已知角 ? ? ? (1)求 tan( ? ?

?? ? ? , ? ,且 (4 cos? ? 3sin ? )(2 cos? ? 3sin ? ) ? 0 ?4 2?

?
4

) 的值; (2)求 cos(

?
3

? 2? ) 的值. –7;

24 3 ? 7 50

12. 已知向量 a ? (sin? ,?2),b ? (1, cos? ) 互相垂直,其中 ? ? (0, (1)求 sin ? 和 cos ? 的值; (2)若 sin(? ? ? ) ? ?

?
2

).

10 ? ,0 ? ? ? ,求 ? 的值. 10 2

13. 已知函数 f ( x) ? sin(?x ? ? ) ,其中 ? ? 0 , ? ? (1)若 cos

?
2

.

?
4

cos ? ? sin

3? sin ? ? 0 ,求 ? 的值; 4

(2)在(1)的条件下,若函数 f ( x) 的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于

? ,求函 3

数 f ( x) 的解析式,并求最小正实数 m ,使得函数 f ( x) 的图象向左平移 m 个单位后所对 应的函数是偶函数. 解: (1) ? ?

?
4

; (2) m ?

? 12

(▲)解三角形习题课 探究:已知 ?ABC 的两边和一边对角,研究三角形解的个数.

C 为锐角三角形:a ? b sin A 时两解;a ? b sin A 时一解;b ? a ? b sin A 时 (1)若 ?AB
两解; a ? b 时一解; (2)若 ?ABC 为钝角三角形: a ? b 时一解; a ? b 时无解. 一、基础训练 1. 在 ?ABC 中,若 b ? 5, B ?

?

1 5 2 , sin A ? ,则 a ? ______ . 4 3 3

. 2. 已知锐角 ?ABC 的面积为 3 3 , BC ? 4, CA ? 3 ,则角 C ? _______
?

? 3
15 3 4

3. 在 ?ABC 中, C ? 120 , AC ? 7, , AB ? 5, 则 ?ABC 的面积为________.

4. ?ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,若 a, b, c 成等比数列,且 c ? 2a ,则

3 co sB ? _ _ _ _ _ _ _ ._ 4
5. 在斜三角形 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,若

tan C tan C ? ? 1 ,则 tan A tan B

a 2 ? b2 ? ________ .3 c2
类题 1:在锐角三角形 ABC,A、B、C 的对边分别为 a、b、c,

b a ? ? 6 cos C ,则 a b

tan C tan C ? ? ________. 4 tan A tan B
类题 2:在△ ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 tan A ? 7tan B , 则c? .4

a 2 ? b2 ? 3, c

变式 1 :在锐角 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,若

b a ? ? 6 cos C ,则 a b

tan C tan C ? 的值是_____________ tan A tan B
拓展 1:在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,若 a ? b ?
2 2

3 2 c ,则 cos C 的最 2

1 3 2 2 2 o s C 拓展 2: (12 陕西) 在 ?ABC 中, 角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c , 若 a ? b ? 2c , 则c
小值为__________. 的最小值为__________.

1 2

拓展 3:在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,若

cos A cos B 2 cos C ? ? ,:则 a b c

cos C 的最小值为__________.
拓展 4:在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,若

sin C cos A cos B sin C ? ? 2 cos C ,则 cos C 的最小值为__________. sin A sin B
拓展 5:在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,若

c2 ? 2 cosC ,则 cos C 的最小 ab

值为__________.

1 2

拓展 6:在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,若 最小值为__________.

ta n C ta n C ? ? 2 ,则 cos C 的 ta n A ta n B

1 2

拓展 7:在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,若 为__________.

1 1 2 ? ? ,则 cos C 的最小值 a b c

1 2
中, 角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c , 若

B C 拓展 8: 在 ?A

1 c o s A

?

1 c o s B

?

2 c o s C

o s , 则c

C

的最小值为__________.

a2 ? b2 变式 2:在 ?ABC 中,若 tanAtanB=tanAtanC+tanctanB,则 =3. c2
解 化切为弦,已知等式即

sin A sin B sin A sin C sin B sin C ? ? , cos A cos B cos A cos C cos B cos C

亦即

sin A sin B cos C ab cos C sin A sin B sin( A ? B) ? ? 1. ,即 =1,即 2 sin C cos C sin C c2

a2 ? b2 ? c2 a2 ? b2 ? 1 ,故 ?3. 所以, 2c 2 c2
6. 在 ?ABC 中,已知 cos A ?

5 3 16 , sin B ? , 则 cos C 的值为________. 13 5 65

变式:在 ?ABC 中,若 sin A ?

1 3 ,则 a : b : c ? ______ . 1 : 3 : 2 或 1 : 3 : 1 , sin B ? 2 2

2 2 2 Bs i n C ,则角 A 的取值范围是 7. 在 ?ABC 中 , s i n A ? s i n B ? s i nC ? s i n

_______. ? 0,

? ?? ? 3? ?
AC 的值等于________; AC 的取值范 cos A

8. 在锐角三角形 ABC 中, BC ? 1, B ? 2 A ,则 围是_________. 2;

?

2, 3

?

变式 1:已知钝角 ?ABC 的三边长分别是 a, a ? 1, a ? 2 ,其最大内角不超过

2? ,则实数 3

?3 ? a 的取值范围是________. ? ,3 ? ?2 ?
变式 2:在周长为 16 的三角形 ABC 中, AB =6, A, B 所对的边分别为 a , b ,则 ab cos C 的 取值范围是 .

变式 3:锐角三角形 ABC 中,角 C 既不是最大角也不是最小角,则角 C 的取值范围是 _______. ?

?? ? ? , ? ?4 2?

转化为线性规划问题

二、例题精讲 例 1:已知 ?ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,若 a, b, c 成等差数列,且

2 cos 2 B ? 8 cos B ? 5 ? 0 ,求角 B 的大小并判断 ?ABC 的形状. 等边
注:用余弦定理找出边的关系,或者利用正弦定理求角. 变式 1:已知 ?ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,若 a, b, c 成等比数列,且

2 cos 2 B ? 8 cos B ? 5 ? 0 ,求角 B 的大小并判断 ?ABC 的形状. 等边
变式 2:已知 ?ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,若 a, b, c 成等比数列,且

A, B, C 成等差数列,求角 B 的大小并判断 ?ABC 的形状. 等边
变式 3:在 ?ABC 中,三个内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,若 ?ABC 的面积为 S ,若

S?

a 2 ? b2 ? c2 ,且 2 sin B sin C ? sin A ,判断 ?ABC 的形状. 等腰直角三角形. 4
2

?ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c , 例 2: 且2 2 n i s ( ?ABC 的外接圆半径为 2 .
(1)求角 C 的大小; (2)求 ?ABC 面积的最大值.

A ?n i s

2

C) ? (a ? b)n i s B,

?
3

;A?

?
3

,S ?

3 3 2

注:本题将边角关系转化为边的关系,体现了“结构同化”的思想. 引申:在 ?ABC 中,内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,若已知 a ? 4, A ?

?
3

.

(1)求 ?ABC 周长的最大值; (2)求 ?ABC 面积的最大值. (基本不等式、图形解法) 例 3: ?ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c , tan C ?

sin A ? sin B , cos A ? cos B

sin(B ? A) ? cosC .
(1)求角 A, C ; (2)若 S?ABC ? 3 ? 3 ,求 a , c .

A?

?
4

,C ?

?
3

; a ? 2 2, c ? 2 3

例 4:如图所示,在一条海防警戒线上的点 A 、 B 、C 处各有一个水声 监测点, B 、C 两 点到点 A 的距离分别为 20 千米和 50 千米. 某时刻,B 收到发自静止目标 P 的一个声波信 号,8 秒后 A 、 C 同时接收到该声波信号,已知声波 在水中的传播速度是 1.5 千米/秒. (1)设 A 到 P 的距离为 x 千米,用 x 表示 B , C 到 P 的 距离,并求 x 的值; (2)求 P 到海防警戒线 AC 的距离. 解 : ( 1 ) Z| 依 题 意 , 有 PA ? PC ? x ,

PB ? x ? 1.5 ? 8 ? x ? 12 . 在△ PAB 中,AB=20[来

cos?PAB ?

PA2 ? AB2 ? PB2 x 2 ? 202 ? ( x ? 12) 2 3x ? 32 ? ? 2 PA? AB 2 x ? 20 5x PA2 ? AC 2 ? PC2 x 2 ? 502 ? x 2 25 ? ? , 2 PA ? AC 2 x ? 50 x


.

同理,在△ PAB 中,AC=50

cos?PAC ?

∵ cos?PAB ? cos?PAC,

3 x ? 32 25 ? 5x x

解之, 得 x ? 31 .. (2)作 PD ? AC于D,

在△ ADP 中,由 cos ?PAD ?

25 31



sin ?PAD ? 1 ? cos2 ?PAD ?

4 21 31

∴ PD ? PAsin ?APD ? 31?

4 21 ? 4 21 ? 18.33 千米 31

答:静止目标 P 到海防警戒线 AC 的距离为 18 .33 千米.

三、巩固练习

?ABC 的面积为 1. 在 ?ABC 中, 若 A ? 60 , 边 AB 的长为 2,
?

3 , 则边 BC 的长为______. 2

3
2. 在 ?ABC 中, b ? 2, c ? 3 ,且 sin A ? cos A ??

2 ,则 ?ABC 的面积为_______. 2

3 6 ?3 2 4
3. 已知 ?ABC 中,三个内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,若 ?ABC 的面积为 S ,且

2S ? (a ? b)2 ? c2 ,则 tan C 的值为________. ?

4 3

4. 在 ?ABC 中, B ? 60? , AC ? 3 ,则 AB ? 2 BC 的最大值为________. 2 7 要点回顾: (1)运用正弦定理和余弦定理求解三角形时,要分清条件和目标: 若已知两边与夹角,则用余弦定理; 若已知两角和一边,则用正弦定理;

(2)注意三角形解的个数问题的处理; (3)处理与三角形有关的三角综合问题,通常运用正弦定理或余弦定理进行转化,最好 转化为只有边或角的问题,并注意式子的结构形式与正弦定理、余弦定理的关系. 自我测试: 1. 在 ?ABC 中 , 角 A, B, C 的 对 边 分 别 为 a, b, c , 若 ( 3b ? c) c o s A ? ac o s C ,则

cos A ? _______ .

3 3

2. 已知 ?ABC 中, a ? 1, b ? 2 , B ?

?
4

,则角 A ? ______ . 30

?

3. ?ABC 的内角满足 sin A ? cos A ? 0, t an A ? sin A ? 0 ,则角 A 的取值范围是______.

? ? 3? ? ? , ? ?2 4 ?
4. 在 ?ABC 中,若 c ? 4, b ? 7 , BC 边上的中线 AD 的长为 3.5 ,则 a ? ______ . 9 5. 如图,设 A, B 两点在河的两岸,一测量者在 A 的同侧的河岸边 选定一点 C , 测出 AC 的距离为 50 m , ?ACB ? 45? , ?CAB ? 105? 后,就可以计算出 A, B 两点的距离为_______. 50 2m 6. 若 AB ? 2, AC ? 2BC ,则 S?ABC 的最大值 . 2 2

7. 在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,已知 a ? b ? 5, c ? 7 ,且

4 sin 2

A? B 7 ? cos 2C ? . 2 2

(1)求角 C 的大小; (2)求 ?ABC 的面积.

60? ;

3 3 2

8. 在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,且 tan A ? tanB ? 3 ? 3 tan A tanB (1)求角 C 的大小; (2)若 c ?

7 3 3 ? 11 , ?ABC 的面积 S ? ,求 a ? b 的值. 60 ; 2 2 2

9. 在锐角 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,已知 sin A ?

2 2 . 3

a n (1) 求t

2

B?C ?s i n 2

2

7 A 的值; (2) 若 a ? 2 ,?ABC 的面积为 2 , 求 b 的值. ; 3 3 2

10. 如图,水渠道的断面为等腰梯形,渠道深为 h ,梯形 面积为 S , 为了使渠道的渗水量达到最小, 应使梯形两腰 及下底之和达到最小,此时下底角 ? 应该是多少?

11. ?ABC 内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,若

(a2 ? b2 ) sin(A ? B) ? (a2 ? b2 ) sin(A ? B) ,判断 ?ABC 的形状.

等腰或直角三角形.

12. 在 ?ABC 中,角 A.B.C 所对的边分别为 a,b,c. sin A ? sin C ? p sin B ? p ? R ? , 且 ac ?

1 2 b . 4 5 , b ? 1 时,求 a , c 的值; 4

(1)当 p ?

(2)若角 B 为锐角,求 p 的取值范围;

5 ? a?c ? , ? ? 4 解: (I)解:由题设并利用正弦定理,得 ? ?ac ? 1 , ? ? 4

1 ?a ? 1, ? ? ?a ? , 解得 ? 4 1 或? c ? , ? ? ? 4 ?c ? 1.
(II)解:由余弦定理, b ? a ? c ? 2ac cos B
2 2 2

? (a ? c) 2 ? 2ac ? 2ac cos B 1 1 ? p 2b 2 ? b 2 ? b 2 cos B, 2 2 3 1 即p 2 ? ? cos B, 2 2
因为 0 ? cos B ? 1, 得p ? ( , 2) ,
2

3 2

由题设知 p ? 0, 所以

6 ? p ? 2. 2
?

13. 在一特定时段内,以点 E 为中心的 7 海里以内海域被设为警戒水域,在点 E 正北 55 海里处有一个雷达观测站 A . 某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点 A 北偏东 45 且 与点 A 相距 40 2 海里的位置 B ,经过 40 分钟又测得该船已行驶到点 A 北偏东 45 ? ?
?

(其中 sin ? ?

26 ? ,且与点 A 相距 10 13 海里的位置 C . ,0 ? ? ? 90? ) 26

(1)求该船的行驶速度(单位:海里/时) ; (2)若该船不改变航行方向继续行驶,判断它是否会进入警戒水域,并说明理由.

(▲)三角恒等变换、解三角形习题课 一、基础训练 1. 函数 y ? 2 sin ( x ?
2

?
4

) ? 1 的最小正周期是________.

2. 函数 f ( x) ? sin x cos x 的最小值是________.

. 3. 已知 E , F 是等腰直角三角形 ABC 斜边 AB 上的三等分点,则 tan?ECF ? _____
4. 若 y ? sin(2 x ? a) ? cos(2 x ? a) 为奇函数,则最小整数 a 的值为________.

3 4

3? 4

变式:若 y ? sin(2 x ? a) ? cos(2 x ? a) 为偶函数,则最小整数 a 的值为________. 5. 要得到函数 y ? cos( 2 x ? 单位.

? 4

?
4

) 的图象,只要将函数 y ? sin 2 x 的图象向____平移____个

6. 已知函数 y ? cos2 x, x ? ?0,2? ? 和 y ? 2 的图象围成一个分封闭的平面图形,则这个封 闭图形的面积是_______. 4?

7. 已 知 函 数 f ( x) ? A sin( 2 x ? ? )( A ? 0, ? ?

?
2

) 满足对于任意的实数 x ,都有

f ( x) ? f (

5? ) ? 5 ,则当 f ( x) 取得最大值时 x 的集合为__________. 12

8. 已知 a, b, c 分别是 ?ABC 的三个内角 A, B, C 所对的边,若 a ? 1, b ? 3, A ? C ? 2B,

.1 则 sin C ? ______
二、例题精讲 例 1:已知函数 f ( x) ? 2 cos x sin( x ? (1)求函数 f ( x) 的最小正周期; (2)求函数 f ( x) 的最大值及最小值; (3)求函数 f ( x) 的单调区间.

?
3

) ? 3 sin 2 x ? sin x cos x .

例 2:是否存在实数 a ,使得函数 y ? sin x ? a cos x ?
2

5a 3 ? ?? ? 在闭区间 ?0, ? 上的最大 8 2 ? 2?
3 2

值是 1?若存在,求出对应的 a 值;若不存在,试说明理由.

(三)周期问题 (1) y ? sin 2 x ? cos2 x ; (2) y ? tan x ?

1 ; (3) y ? sin x ? cosx tan x


(4)函数 y ? 2sin 2 x ? 3cos2 x ? 4 的最小正周期为 4.

?

4. 正方形 ABCD 的边长为 a , P, Q 分别为 AB, DA 上的点, PB ? mAB, DQ ? nDA, 当 PQ ? AP ? AQ ? 2a, 求 ?PCQ 的大小. (或用平面几何知识解决)
m ?ABC = 44.97? 变式:如图,正方形 ABCD 的边长为 1,点 M、N 分别在 BC、CD 上,使得△ CMN 的周

??? ?

??? ? ????

??? ?

??? ?

??? ?

????

长为 2. (1)求∠MAN 的大小; (2)求△ AMN 面积的最小值,并确定此时 M,N 两点的位置. 解 (1)设 DN=x,BM=y,则 NC=1-x,CM=1-y,因为△
D N C

CMN 的周长为 2,所以 MN=x+y. 由勾股定理得(x+y)2=(1-x)2+(1-y)2,整理得 x+y=1-xy, x+y tan(∠DAN+∠MAB)= =1, 1-xy 所以∠DAN+∠MAB=45o,从而∠MAN=45o. (2) △ AMN 面积 S=S 正方形 ABCD-S△ DAN-S△ AMB-S△ CMN x y (1-x)(1-y) 1-xy =1- - - = , 2 2 2 2 因为 x+y=1-xy,所以 1-xy≥2 xy,解得 xy≤ 2-1,即 xy≤3-2 2, 1-(3-2 2) 所以 S≥ = 2-1,当且仅当 x=y= 2-1 时等号成立. 2 综上,△ AMN 面积的最小值是 2-1.
A B M

3. 三角函数问题中对角范围的研究
1. 已知 0 ? y ? x ? ? ,且 tan x tan y ? 2 , sin x sin y ? 2. 已知 ? ? (0,

1 ? ,则 x ? y ? ___ ___. 3 3

6 2?4 π π 1 4 c s ? =_______. ? 则o ), ? ?( , π) , cos ? ? , cos(? ? ? ) ? ? , 15 2 2 3 5

3. 已知 tan ? ,tan ? 是方程 x2 +3 3 x + 4 = 0 的两根, 且 α, β?(-

π π , ), 则α+β= 2 2



?

2π 3

4. 已知 ? 为锐角, sin(? ? 15? ) ? 5. 已知 cos(75? ? ?) ?

4 ,则 cos(2? ? 15? ) ? 5



17 2 50

7 1 ,则 cos(30? ? 2? ) 的值为 . 3 9 π 1 13 cos(? ? ? ) ? ,则 tan ? 的值为 6. 设 0 ? ? ? ? ? ,且 cos ? ? , 2 7 14
sin ? ) ,b ? (cos ? , sin ? ) ,其中 0 ? ? ? ? ? π . 7. 设向量 a ? (cos ? ,

. 3

(1)若 a ? b ,求 a ? 3b 的值; (2)设向量 c ? 0 , 3 ,且 a + b = c,求 ? ,? 的值.
sin ? ) ,b ? (cos ? , sin ? ) ,所以 a ? 1, b ? 1 .………2 分 【解】 (1)因为 a ? (cos ? ,

?

?

因为 a ? b ,所以 a· b = 0.…………………………………………………………4 分 于是 a ? 3b
2

? a 2 ? 3b2 ? 2 3a ? b ? 4 ,故 a ? 3b ? 2 . ……………………6 分

(2)因为 a + b ? ? cos ? ? cos ? ,sin ? ? sin ? ? ? 0 , 3 ,
? ?cos ? ? cos ? ? 0 , 所以 ? …………………………………………………8 分 ? ?sin ? ? sin ? ? 3 .

?

?

由此得 cos ? ? cos ? π ? ? ? ,由 0 ? ? ? π ,得 0 ? π ? ? ? π , 又 0 ? ? ? π ,故 ? ? π ? ? . ……………………………………10 分 代入 sin ? ? sin ? ? 3 ,得 sin ? ? sin ? ? 3 .……………………………12 分 2 而 0 ? ? ? ? ? π ,所以 ? ? 2π ,? ? π .…………………………14 分 3 3 8. 已知 ? ? (0,

π π 1 4 ) , ? ? ( , π ) , cos ? ? , cos(? ? ? ) ? ? ,则 cos ? =________. 2 2 3 5

4. 三角函数图象和性质问题研究
1.已知函数 y ? A sin(? x ? ? ) (A > 0, ? > 0)的图象上一个最高点的坐标为(2, 2 ),由

这个最高点到其相邻的最低点间图象与 x 轴交于点(6,0),则此函数的解析式为

y ? 2 sin(

π π x? ) 8 4

两角和与差的余弦公式习题 一、填空题. 1. 求值: cos 75 =__________. 2. 化简求值: (1) cos25 cos20 ? sin 25 sin 20 =_____________.
0 0 0 0
?

(2) cos195 =___________.

?

(2) cos25 cos20 ? cos65 cos70 =_____________.
0 0 0 0

(3) cos58 sin 37 ? sin 122 sin 53 =_____________.
0 0 0 0

(4) cos( ? ? ? ) ?

2 1 , cos( ? ? ? ) ? , 则 cos? cos? ? _____, sin ? sin ? ? _______ . 3 3

tan? tan? ? ____________.
(5)求值:

1 3 cos150 ? sin 150 =_____________. 2 2

(6)函数 f ( x) ? cos x ? sin x 的值域为___________.

3. (1)已知 sin ? ?

? 15 ?? ? , ? ? ? , ? ? ,则 cos( ? ? ) 的值为________. 3 17 ?2 ?
? 5 ? 3? ? , ? ? ? ? , ? ,则 sin(? ? ) 的值为_______. 6 13 ? 2 ?
3 5 , cos ? ? ,则 cos(? ? ? ) 的值为_________. 5 13

(2)已知 cos? ? ?

4.(1)已知 ? , ? 都是锐角, sin ? ? ( 2 ) 已 知 sin ? ? ________.

2 3 , cos ? ? ? , 且 ? , ? 都 是 第 二 象 限 角 , 则 cos(? ? ? ) 的 值 为 3 4

5. 已知 ?

?cos? ? cos ? ? m ,则 cos(? ? ? ) 的值为_________. ? sin ? ? sin ? ? n

二、解答题 1. 已知 sin ? ?

5 ? 10 ? , ? ? (0, ) , cos ? ? , ? ? (0, ) , 5 2 10 2
(2)求 ? ? ? .

(1)求 cos(? ? ? ) 的值.; 2. 已知 3. 已知

?
6

?? ?

?
2

,且 cos(? ?

?
6

)?

15 ,求 cos? 的值 17

?
2

? ? ?? ?

3? 12 3 , cos(? ? ? ) ? , sin(? ? ? ) ? ? ,求 cos 2 ? 的值 4 13 5

4. 设 O 是坐标原点, P 1 ( x1 , y1 ) 和 P 2 ( x2 , y2 ) 为单位圆上的任意两点,且 ?P 1OP 2 ? ? ,求 证: x1 x2 ? y1 y2 ? cos? . 5.(选做)试用向量的方法推导两角和的余弦公式.

两角和与差的正弦公式习题(1) 一、填空题. 1. 化简: (1) cos 3? cos ? ? sin 3? sin ? =__________. (2) cos(

?

? ? ) ? cos( ? ? ) =__________. 6 6

?

? ? (3) cos15 ? cos 75 =__________.

2. 求值(1) sin 75 =_____________. (2) sin195 =_____________.
? ? ? ? (3) cos 79 cos56 ? cos11 cos34 =___________.

?

?

二、解答题 1. 已知 sin ? ? 2 , ? ? ( ? , ? ) , cos ? ? ? 3 , ? ? (? , 3? ) ,求 sin(? ? ? ) , cos(? ? ? ), tan(? ? ? ) .
3 2

4

2

2. 已知 cos ? ? ?

5 ,求 cos(? ? ? ) 及 sin(? ? ? ) 的值. 13 6 6

3. 已知 sin ? ? sin ? ? sin ? ? 0 ,且 cos ? ? cos ? ? cos ? ? 0 ,求 cos(? ? ? ) . 4. 已知

?
6

?? ?

?
2

,且 cos(? ?

?
6

)?

15 ,求 cos ? ,sin ? 的值. 17

5. 在 ?ABC 中,若 5 tan B tan C ? 1 ,求

cos A 的值. cos( B ? C )

6. 已知 cos( ? ?

?

1 ? 2 ? ? ?? ) ? ? , sin( ? ? ) ? ,且 0 ? ? ? ? ? ? ? ,求 sin 的值. 2 9 2 3 2 2

两角和差的正弦习题(2) 一、填空题. 1. 已知

?
4

?? ? ? ?

?
2

,且 sin(? ? ? ) ?

4 12 , cos( ? ? ? ) ? ,则 cos 2? 的值为_______. 5 13

2. 已知 ? ? ? 0,

1 7 ? ?? ?? ? ?, ? ? ? , ? ? ,且 cos ? ? ? , sin( ? ? ? ) ? , 则 sin ? 的值为_______. 3 9 ? 2? ?2 ?

3. 在 ?ABC 中,

4 12 , cos B ? ,则 cosC ? ________ . 5 13 3 5 , 则 cosC ? ________ . (2)若 sin A ? , cos B ? 5 13
(1)若 cos A ? 法一:讨论角 A 的大小: 若 A 为锐角,则 cos C ?

16 ; 65

若 A 为 钝 角 , 则 sin A ?

3 2 3? ?? ? , y ? sin x 在 ? , ? ? 上 单 调 递 减 , 故 ? ? sin 5 2 4 ?2 ?

? 3? ? A ? ? ,? ? , ? 4 ?
同时: cos B ?

5 1 ? ?? ? ? ? ? cos ,故 B ? ? , ? ,此时 A ? B ? ? . 13 2 3 ?3 2? 3 5 4 12 15 ? 48 ? ? (? ) ? ? ,负值舍去;故角 A 是锐角. 5 13 5 13 65

法二: sin( A ? B) ?

法三:三角形中:大边对大角,大角对大边,即 a ? b ? A ? B 在正弦定理中, a ? b ? sin A ? sin B ,所以 A ? B ? sin A ? sin B

s i nA ? s i n B ,故 A 为锐角,所以 cos A ?
4. 求下列函数的最大值和最小值: (1) y ?

4 . 5

3 4 sin x ? cos x 的最大值为_________,最小值为___________. 5 5

(2) y ? a sin x ? b cos x 的最大值为_________,最小值为___________. 5. 已知 sin ? ? 二、解答题 1. 已知 | a |? 1, | b |? (1)若 a || b ,求 a ? b ;Ks5 2.

4 4 ? ?? , cos ? ? ,? , ? ? ? 0, ? ,则 ? ? ? ? _______. 5 5 ? 2?

(2)若 a, b 的夹角为 60° ,求 | a ? b | ; (3)若 a ? (a ? b) ,求 a, b 的夹角. 2. (2013 年高考广东卷(文) )已知函数 f ( x) ?

? ? ? 2 cos ? x ? ? , x ? R . ? 12 ?

(1)求 f ?

?? ? ? 的值; ?3?

(2)若 cos ? ?

3 ? 3? ? ,? ? ? , 2? ? ,求 5 ? 2 ?

?? ? f ?? ? ? . 6? ?
?

3. (13 年江苏高考) 已知向量 a ?

?

且满足 0 ? ? ? ? ? ? ? cos ? ,sin ? ? , b ? ? cos ? ,sin ? ? ,

(1)若 a ? b ?

? ?

? ? 2 ,求证: a ? b ;
? ? ?

(2)已知 c ? ? 0,1? ,若 a ? b ? c ,求 ? , ? 的值.
【 答 案 】 (1)∵
2

?

| a ? b |? 2

∴ | a ? b |2 ? 2
2

即 a?b

? ?

2

? a ? 2ab ? b ? 2 , 又

2

2

2 2 2 2 2 2 ∵ a ?| a | ? cos ? ? sin ? ? 1 , b ?| b | ? cos ? ? sin ? ? 1 ∴ 2 ? 2ab ? 2 ∴

ab ? 0 ∴ a ? b

(2)∵ a ? b ? (cos? ? cos? , sin ? ? sin ? ) ? (0,1) ∴ ?

?cos? ? cos ? ? 0 ?sin ? ? sin ? ? 1
∴ sin ? ?

即?

?cos? ? ? cos ? ?sin ? ? 1 ? sin ?
1 2

两 边 分 别 平 方 再 相 加 得 : 1 ? 2 ? 2 sin ?

1 2

?? ∴s i n

∵ 0 ? ? ? ? ? ? ∴? ?

5 1 ?,? ? ? 6 6

4. (2013 年上海高考数学试题(文科) )已知函数 f ( x) ? 2sin(? x) ,其中常数 ? ? 0 .

(1)令 ? ? 1 ,判断函数 F ( x) ? f ( x) ? f ( x ?

?
2

) 的奇偶性并说明理由;

(2)令 ? ? 2 ,将函数 y ? f ( x) 的图像向左平移

? 个单位,再往上平移 1 个单位,得到函数 6

y ? g ( x) 的图像.对任意的 a ? R ,求 y ? g ( x) 在区间 [a, a ? 10? ] 上零点个数的所有可能
值.
【答案】法一:解:(1) F ( x) ? 2sin x ? 2sin( x ?

?

) ? 2sin x ? 2 cos x ? 2 2 sin( x ? ) 2 4

?

F ( x) 是非奇函数非偶函数.
∵ F (?

?

) ? 0, F ( ) ? 2 2 ,∴ F (? ) ? F ( ), F (? ) ? ? F ( ) 4 4 4 4 4 4

?

?

?

?

?

∴函数 F ( x) ? f ( x) ? f ( x ?

?

2

) 是既不是奇函数也不是偶函数.

(2) ? ? 2 时, f ( x) ? 2sin 2 x , g ( x) ? 2sin 2( x ? 其最小正周期 T ? ?

?

) ? 1 ? 2sin(2 x ? ) ? 1 , 6 3

?

? 1 ) ? 1 ? 0 ,得 sin(2 x ? ) ? ? , 3 3 2 ? ? k ? ? ? k ? (?1) k ? ? , k ? Z ∴ 2 x ? ? k? ? (?1) ? , k ? Z ,即 x ? 3 6 2 12 6
由 2sin(2 x ? 区间 ? a, a ? 10? ? 的长度为 10 个周期, 若零点不在区间的端点,则每个周期有 2 个零点; 若零点在区间的端点,则仅在区间左或右端点处得一个区间含 3 个零点,其它区间仍是 2

?

个零点; 故当 a ? 法二:

k? ? ? ? (?1) k ? ? , k ? Z 时,21 个,否则 20 个. 2 12 6

(2013 年高考上海卷(理) )已知函数 f ( x) ? 2sin(? x) ,其中常数 ? ? 0 ; (1)若 y ? f ( x) 在 [ ?

? 2?
4 , 3

] 上单调递增,求 ? 的取值范围;

(2)令 ? ? 2 ,将函数 y ? f ( x) 的图像向左平移

? 个单位,再向上平移 1 个单位,得到函 6

数 y ? g ( x) 的图像,区间 [ a, b ] ( a, b ? R 且 a ? b )满足: y ? g ( x) 在 [ a, b] 上至少含有 30 个零点,在所有满足上述条件的 [ a, b] 中,求 b ? a 的最小值. 【答案】(1)因为 ? ? 0 ,根据题意有

? ? ? ? ??? ? 3 ? 4 2 ?0?? ? ? 4 ? 2? ? ? ? ? 2 ? 3
(2) f ( x) ? 2sin(2 x) , g ( x) ? 2sin(2( x ?

)) ? 1 ? 2sin(2 x ? ) ? 1 6 3 7 ? 1 ? g ( x) ? 0 ? sin(2 x ? ) ? ? ? x ? k? ? 或 x ? k? ? ? , k ? Z , 12 3 2 3 ? 2? 即 g ( x) 的零点相离间隔依次为 和 , 3 3
故 若 y ? g ( x) 在 [ a, b] 上 至 少 含 有 30 个 零 点 , 则 b ? a 的 最 小 值 为

?

?

14 ?

2? ? 43? ? 15 ? ? . 3 3 3

两角和差的正切公式习题(1)

一、填空题 1. 化简或求值 (1)

tan 2? ? tan ? tan580 ? tan920 =____________; (2) =____________; 0 0 1 ? tan 2? tan ? 1 ? tan58 tan88
0 0 0 0

(3) tan83 ? tan37 ? 3 tan83 tan37 =___________;

(4)

cos150 ? sin 150 =____________. cos150 ? sin 150
2 ? 1 ? , tan( y ? ) ? , 求 tan( x ? ) 的值为________. 5 4 4 4

2. 若 tan( x ? y ) ?

3. 在 ?ABC 中, AD ? BC ,垂足为 D, BD:DC:AD=2:3:6,则 ?BAC 的度数为________. 4. 已知 tan? , tan ? 是方程 3x ? 5x ? 7 ? 0 的两个根,求下列各式的值:
2

(1) tan( ? ? ? ) ; (2)

sin(? ? ? ) ; (3) cos2 (? ? ? ) cos(? ? ? )
3 1 , tan( A ? B) ? ? ,求 sin B, cosC 的值。 5 3

5. 在锐角三角形 ABC 中, sin A ?

6. (1)若 ? ? ? ? 450 ,求证: (tan? ? 1)(tan? ? 1) ? 2 (2)若 (tan? ? 1)(tan? ? 1) ? 2 ,求 ? ? ? 的值 7. 证明: tan(A ? B) ? tan(B ? C ) ? tan( C ? A) ? tan(A ? B) tan(B ? C ) tan( C ? A) 8. 在正方形 ABCD 中,P,Q 分别在 BC,CD 上,PB+QD=PQ,利用两角和(差)的正切公式 证明: ?PAQ ?

?
4

两角和差的正切公式习题(1) 一、填空题

1 ? tan15? 11? ? 1. 求值: (1) tan =_____; (2) tan 285 =______; (3) =_____. 12 1 ? tan15?
2. 函数 y ? sin x ? cos x 的最小正周期为________. 3. 在△ABC 中,若 tan A : tan B : tan C ? 1: 2 : 3 ,则 A ? ________. 4. 已知 0 ? y ? x ? ? ,且 tan x tan y ? 2 , sin x sin y ?

1 ,则 x ? y ? ________. 3
π π , ),则 α + β = 2 2

5. 已知 tan ? , tan ? 是方程 x2 +3 3 x + 4 = 0 的两根,且 α,β?(________.

6. 设 0 ? ? ? ? ? π ,且 cos ? ? 1 , cos(? ? ? ) ? 13 ,则 tan ? 的值为__________. 2 7 14 7. 已知 f ( x) ? sin( x ? ? ) ? 3 cos( x ??) 是偶函数,则 tan ? 的值为________.
2 8. 已 知 一 元 二 次 方 程 ax ? bx ? c ? 0 (a ? 0, a ? c) 的 两 个 根 为 tan ? , tan ? , 则

_______. t a n? ( ? ? 的值为 )

9. 已知 tan(? ? ? ) ? 二、解答题 1. 求下列各式的值

2 ? 1 ? , tan( ? ? ) ? ,则 tan(? ? ) 的值为________. 5 4 4 4

(1) tan 70 ? tan 50 ? 3 tan 70 tan 50 ;
? ? ? ?

(2)已知 tan 5? ? a ,求 sin 5? (1 ? tan 5? tan 2.5? ) 的值;

2sin 50? ? cos10? (1 ? 3 tan10? ) (3) ; 2 cos5?

(4)

6 tan10? ? 4 2 cos80? .

2. 已知: 2sin(? ? 2? ) ? 3sin ? ,求证: tan(? ? ? ) ? 5tan ? . 3. 非直角 ?ABC 中, (1)求证: tan A ? tan B ? tan C ? tan A tan B tan C ; (2)若 2 B ? A ? C ,且 tan A tan C ? 2 ? 3 ,求 ?ABC 的三内角大小。 4.(选做)设 x ? tan ? , y ? tan ? , z ? tan ? ,证明下列问题: (1)已知 x, y, z ? R ,且 一个式子的值为 0; (2)已知 x ? y ? z ? xyz ,求证:

x? y y?z z?x ? ? ? 0 ,求证:条件的三个式子中至少有 1 ? xy 1 ? yz 1 ? zx

x y z 4 xyz ? ? ? 2 2 2 2 1? x 1? y 1? z (1 ? x )(1 ? y 2 )(1 ? z 2 )

5. 解三角形应用题
1. 如图,有两条相交成 60° 角的直路 XX?,YY?,交点是 O,甲、乙分别在 OX,OY 上,起 初甲离 O 点 3 km , 乙离 O 点 1 km . 后来甲沿 XX?的方向, 乙沿 Y?Y 的方向, 同时用 4 km / h Y 的速度步行. (1)起初两人的距离是多少? (2)t h 后两人的距离是多少? X? Y?
乙 60° O 甲

X

(第 18 题)

(3)什么时候两人的距离最短?

(1)由余弦定理,得起初两人的距离为

12 ? 32 ? 2 ?1? 3 ? cos60? ? 7 .
(2)设 t h 后两人的距离为 d(t),则 当0 ? t ?

3 时,此时 4

d (t ) ? (1 ? 4t ) 2 ? (3 ? 4t ) 2 ? 2 ? (1 ? 4t ) ? (3 ? 4t ) ? cos 60? ? 48t 2 ? 24t ? 7

当t ?

3 时,此时 4

d (t ) ? (1 ? 4t ) 2 ? (4t ? 3) 2 ? 2 ? (1 ? 4t ) ? (4t ? 3) ? cos120? ? 48t 2 ? 24t ? 7

所以 d (t ) ? 48t 2 ? 24t ? 7 . (3)当 t ? ?

?24 1 ? ( h )时,两人的距离最短. 2?8 4

2. 在路边安装路灯,灯柱 AB 与地面垂直, BC 与灯柱 AB 所在平面与道路垂直,
?ABC ? 120? , 路 灯 C 采 用 锥 形 灯 罩 , 射 出 的 光 线 如 图 中 阴 影 部 分 所 示 , 已 知
, ?ACB ? ? ( 30? ? ? ? 45? ) ?ACD ? 60? ,路宽 AD ? 24 米,设灯柱高 AB ? h (米) (1)求灯柱的高 h (用 ? 表示) ; (2)若灯杆 BC 与灯柱 AB 所用材料相同,记此用料长度和为 S ,求 S 关于 ? 的函数表 达式,并求出 S 的最小值.

C B

A

D

3. 已知 ?ABC 是边长为 2 的正三角形, P, Q 依次是 AB, AC 边上的点,且线段 PQ 将

?ABC 分成面积相等的两部门,设 AP ? x, AQ ? t , PQ ? y .
求: (1) t 关于 x 的函数关系式; (2) y 关于 x 的函数关系式; (3) y 的最小值和最大值. 解: (1) t ?

2 4 2 , x ? ?1,2?; (2) y ? x ? 2 ? 2 , x ? ?1,2? ; x x

(3)最小值 2 ,最大值 3 4. 在 ?ABC 中, BC ? 2 , A ? 基本不等式、几何解释! 5. 如图,港口 A 在港口 O 的正东 120 海里处,小岛 B 在港口 O 的北偏东 60? 的方向,且

2? ,则 AB ? AC 的最小值为 3

. ?

2 3

在港口 A 北偏西 30? 的方向上.一艘科学考察船从港口 O 出发,沿北偏东 30? 的 OD 方向 以 20 海里/小时的速度驶离港口 O.一艘给养快艇从港口 A 以 60 海里/小时的速度驶向小 岛 B,在 B 岛转运补给物资后以相同的航速送往科考船.已知两船 北 同时出发,补给装 船时间为 1 小时. (1)求给养快艇从港口 A 到小岛 B 的航行时间; C D B

O

A



(2)给养快艇驶离港口 A 后,最少经过多少时间能和科考船相遇? 【解】 (1)由题意知,在△ OAB 中, OA=120, ?AOB ? 30o, ?OAB ? 60o . 于是 AB ? 60 ,而快艇的速度为 60 海里/小时, 所以快艇从港口 A 到小岛 B 的航行时间为 1 小时. ………5 分 (2)由(1)知,给养快艇从港口 A 驶离 2 小时后,从小岛 B 出发与科考船汇合. 为使航行的时间最少,快艇从小岛 B 驶离后必须按直线方向航行,设 t 小时后恰与 科考船在 C 处相遇.…………………7 分 在△ OAB 中,可计算得 OB ? 60 3 , 而在△ OCB 中, BC ? 60 t , OC ? 20(2 ? t ) , ?BOC ? 30 o ,………………………9 分 由余弦定理,得 BC 2 ? OB 2 ? OC 2 ? 2OB ? OC ? cos ?BOC , 即 (60t )2 ? 60 3

?

?

2

2 ? ? 20(2 ? t )? ? 2 ? 60 3 ? 20(2 ? t ) ? 3 , 2

亦即 8 t 2 ? 5 t ? 13 ? 0 ,解得 t ? 1 或 t ? ? 13 (舍去) .……………………………12 分 8 故 t ? 2 ? 3. 即给养快艇驶离港口 A 后,最少经过 3 小时能和科考船相遇 ……14 分

6. 如图,有一矩形地块 ABCD,其相邻边长为 20 m 和 50 m ,现要在它的短边与长边上各取一点 P 与 Q,用周 长为 80 m 的篱笆围出一块直角三角形的花园,则围出部 分的最大面积为__________.

D P

C

A

Q

B

7. 三角形中正余弦定理的应用 如图,某城市有一条公路从正西方 AO 通过市中心 O 后转向东北方 OB,现要修筑一条铁 路 L,L 在 OA 上设一站 A,在 OB 上设一站 B,铁路在 AB 部分为直线段,现要求市中心 O 到 AB 的距离为 10km,设 ?OAB ? ? . (1)试求 AB 关于角 ? 的函数关系式;

(2)问把 A、B 分别设在公路上离市中心 O 多远处,才能使 AB 最短,并求其最短距离.

? 8. 在边长为 2 的菱形 ABCD 中, ?BAD ? 60 ,在 CD 边上任取一点 E ,过 E 作

EF ? BC ,垂足为 F ,可得到 ?AEF . 设 ?AEF 的面积为 S ,当 E 在什么位置时, S 有
最大值?最大值是多少?

6. 解三角形教材习题的再研究
(一)三角形内角角平分线定理
1. 在 ?ABC 中, AD 为角平分线,点 E 为 AD 的中点, BE 交 AC 于点 F ,若 AB ? a ,

AC ? b ,且 a ? 2 , b ? 1,用 a, b 表示出 AD, BE, BF

7. 解三角形
1 1. 在△ ABC 中,设角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 a cos C ? c ? b . 2
(1)求角 A 的大小; (2)若 a ? 15 , b ? 4 ,求边 c 的大小.

2. 在 △ ABC 中 , 已 知 AB ? 3 , A ? 120o , 且 ?ABC 的 面 积 为 为 .7

15 3 , 则 BC 边 长 4

?? ? 4. 在△ ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.设向量 m ? (a, c) , n ? (cos C,cos A) .
?? ? (1)若 m ∥ n , c ? 3a ,求角 A; ?? ? 4 (2)若 m ? n ? 3b sin B , cos A ? ,求 cos C 的值. 5 ?? ? 解: (1)∵ m ∥ n ,∴ a cos A ? c cos C .由正弦定理,得 sin A cos A ? sin C cos C .

化简,得 sin 2 A ? sin 2C .

………………………………………………2 分

∵ A, C ? (0, p ) ,∴ 2 A ? 2C 或 2 A ? 2C ? p , 从而 A ? C (舍)或 A ? C ? 在 Rt△ ABC 中, tan A ?

p p .∴ B ? . 2 2

………………………………4 分 …………………………………6 分

a 3 p ? ,A? . c 3 6

?? ? (2)∵ m ? n ? 3b cos B ,∴ a cos C ? c cos A ? 3b sin B .

由正弦定理,得 sin A cos C ? sin C cos A ? 3sin 2 B ,从而 sin( A ? C) ? 3sin 2 B .

1 ∵ A ? B ? C ? p ,∴ sin( A ? C ) ? sin B . 从而 sin B ? . 3
∵ cos A ?

……………8 分 ……………………10 分
2 2 . 3

4 p 3 ? 0 , A ? (0, p ) ,∴ A ? (0, ) , sin A ? . 5 2 5

∵ sin A ? sin B ,∴ a ? b ,从而 A ? B ,B 为锐角, cos B ? ∴ cos C ? ? cos( A ? B) ? ? cos A cos B ? sin A sin B
4 2 2 3 1 3?8 2 ? ? ? =? ? . 5 3 5 3 15

………12 分

……………………14 分

5. 已知函数 f ( x) ? sin 2x ? 2 3 sin x cos x ? 3cos2x . (1)求函数 f ( x) 的单调递增区间; (2)在 ?ABC 中,若 f ( A) ? 3 , b ? c ? 3a ,判断 ?ABC 的形状. 直角三角形

1 6. 在△ ABC 中,已知 cos 2C ? ? . 4
(1)求 sin C 的值; (2)当 a = 2, 2 sin A ? sin C 时,求 b 的长.

1 1 (1)由 cos2C ? ? ,得 1 ? 2sin 2 C ? ? . 4 4

∴ sin C ?

10 . 4

(2)由 2sin A ? sin C 及正弦定理,得 c = 2a = 4. 由 sin C ?
10 6 ,得 cos C ? ? .利用 c 2 ? a 2 ? b2 ? 2ab cos C ,得 4 4 6 ) ,即 b2 ? 6 b ? 12 ? 0 . 4

16 ? 4 ? b 2 ? 4b ? (?

∴b ?

? 6 ?3 6 . 2

∵b > 0,∴ b ? 6 或 b ? 2 6 .

7. 已知函数 f ( x) ? 2 3 sin x ? sin(

?
2

? x) ? 2 cos(? ? x) ? cos x ? 2 .

(1)求 f ( x) 的最小正周期;

B C 中,a, b, c 分别是 ? A、? B、? C 的对边, (2) 在 ?A 若 f ( A) ? 4 ,b ? 1 ,?ABC
的面积为

3 ,求 a 的值. 2
2? ? ?. 2

(1)? T ?

(2)? a ? 3.
8. 在△ ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,且 cos 2C ? 1 ? (1)求

8b 2 . a2

1 1 的值; ? tan A tan C

(2)若 tan B ?

8 ,求 tan A 及 tan C 的值. 15
2

解:(I)∵ cos2C ? 1 ? 8b ,∴ sin 2 C ? 4b .…………………………………………2 分 a2 a2 ∵ C 为三角形内角,∴ sin C ? 0, ∴ sin C ? 2b . a ∵

2

a ? b ,∴ b ? sin B . ∴ 2sin B ? sin A sin C ……………………………4 分 sin A sin B a sin A

∵ A ? B ? C ? ? ,∴ sin B ? sin( A ? C ) ? sin A cos C ? cos A sin C . ∴ 2sin A cos C ? 2 cos A sin C ? sin A sin C .

sin C ? 0 ,∴ ∵ sin A?
(II)∵

1 ? 1 ? 1 .…………………………………7 分 tan A tan C 2
……………………………9 分

1 ? 1 ? 1 ,∴ tan A ? 2 tan C tan A tan C 2 tan C ? 2
∵ A? B ?C ?? ,

∴ tan B ? ? tan( A ? C ) ? ? tan A ? tan C ?

1 ? tan A tan C

tan 2 C . 2tan C ? tan C ? 2
2

∴ 8 ?

15

tan 2 C 整理得 tan2C-8tanC+16=0 2tan C ? tan C ? 2
2

…………………12 分

解得,tanC=4,tanA=4.

…………………………………………………14 分

变式 1:在斜三角形中,求证: tan A ? tan B ? tan C ? tan A tan B tan C 思考 1: 一般地, 当 A, B, C 满足什么条件时,tan A ? tan B ? tan C ? tan A tan B tan C 能 成立?(是怎么推导的?) 练习 1:在△ ABC 中,若 tan A : tan B : tan C ? 1: 2 : 3 ,则 A ? 练习 2: (2012 年江苏高考 15 题)在 ?ABC 中,已知 AB ? AC ? 3BA? BC

(1)求证: tan B ? 3tan A ; (2)若 cos C ?

5 ,求 A 的值. 5

思考 2:在 ?ABC 中,请你探究 tan A tan B tan C 的取值范围 变式 2:设 x ? tan ? , y ? tan ? , z ? tan ? ,证明下列问题: (1)已知 x, y, z ? R ,且 一个式子的值为 0; (2)已知 x ? y ? z ? xyz ,求证:

x? y y?z z?x ? ? ? 0 ,求证:条件的三个式子中至少有 1 ? xy 1 ? yz 1 ? zx

x y z 4 xyz ? ? ? 2 2 2 2 1? x 1? y 1? z (1 ? x )(1 ? y 2 )(1 ? z 2 )

9. 在△ ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 3cos ? B ? C ? ? 1 ? 6cos B cos C . (1)求 cos A ; (2)若 a = 3,△ ABC 的面积为 2 2 ,求 b,c. 解:(1) 3(cos B cos C ? sin B sin C ) ? 1 ? 6cos B cos C , 得 3cos B cos C ? 3sin B sin C ? ?1 . 即 3cos( B ? C ) ? ?1 ,从而 cos A ? ? cos ? B ? C ? ? . (2) 由于 0 ? A ? π ,所以 sin A ?

1 3

2 2 . 3

又 S?ABC ? bc sin A ? 2 2 ,解得 bc = 6.① 由余弦定理 a 2 ? b2 ? c 2 ? 2bc cos A ,得 b 2 ? c 2 =13.② 由①②两式联立可得 b = 2,c = 3 或 b = 3,c = 2.

1 2

A
10. 如图,在 ?ABC 中, B ?

?
4

,角 A 的平分线

AD 交 BC 于点 D , sin ? ? 设 ?BAD ? ? ,
(1)求 sin ?BAC 和 sin C ;

5 . 5

B

D

C

(2)若 BA?BC ? 28 ,求 AC 的长.

??? ? ??? ?

11. 在△ ABC 中,角 A, B, C 的对边分别是 a , b, c ,且 A, B, C 成等差数列.

??? ? ??? ? 3 (1)若 BA ? BC ? , b ? 3 ,求 a ? c 的值; 2
(2)求 2sin A ? sin C 的取值范围. 解: (1)? A, B, C 成等差数列,? B ?
??? ? ??? ? 3 ? 3 . ? BA ? BC = ,? ac cos B = , 2 2 3

1 3 ? ac = ,即 ac ? 3 . 2 2

? b ? 3 , b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B ,
2 ? (a ? c) =12,所以 a ? c ? 2 3 .

? a 2 ? c 2 ? ac ? 3 ,即 (a ? c)2 ? 3ac =3.
(2) 2sin A ? sin C = 2sin(

2? 3 1 ? C ) ? sin C ? 2( cos C ? sin C ) ? sin C = 3 cos C . 2 2 3 3 3 2? A ? sC in ,∴ 3 cos C ? ( ? ,3) . 的取值范围是 ( ? , 3) . ?2 sin ?0 ? C ? 2 2 3 π 1 12. 15-1.在△ ABC 中,C ? A ? , sin B ? . 2 3
(1)求 sin A 的值; (2)设 AC ? 6 ,求△ ABC 的面积. 15-2. 设△ ABC 的内角 A, B, C 所对的边长分别为 a, b, c, 且( 2 b ? 3) c o s (1)求角 A 的大小; (2)若角 B ?

A 3? c o sa

C



?
6

, BC 边上的中线 AM 的长为 7 ,求 ?ABC 的面积.

15-3. △ ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 3cos ? B ? C ? ? 1 ? 6cos B cos C . (1)求 cos A ; (2)若 a = 3,△ ABC 的面积为 2 2 ,求 b,c.

1 15-4. 在△ ABC 中, A = 2B, AB = 23. sin B ? , 3

C
(1)求 sin A , sin C ;

A

B

??? ? ??? ? (2)求 CA ? CB 的值.

3 在△ ABC 中,已知 BC = 4,AC = 3, cos (A ? B)= ,则△ ABC 的面积为 4 在锐角△ ABC 中, tan A = t ? 1, tan B = t ? 1,则 t 的取值范围是 .



??? ? ??? ? ??? ? 在△ ABC 中, ( AB ? 3AC ) ? CB ? 0 ,则角 A 的最大值为_________.
已知函数 f ( x) 与 g ( x) 在 R 上有定义,且 f ( x ? y) ? f ( x) g ( y) ? g ( x) f ( y) , f (1) ? f (2) ? 0 , 则 g (1) ? g (?1) ?________ 1. 锐角三角形的三边长分别是 2,3, x ,则第三边 x 的取值范围是____________.

积化和差、和差化积公式 1.(2008 年浙大自主招生)在 ?ABC 中, ?A, ?B, ?C 是三角形的三个内角,求证:

cos B ? cos C ?

2 sin A A ? 4 sin . sin B ? sin C 2

A A A cos 2 sin B?C B?C A B?C 2 2 2 证: 2 cos cos ? ? 2 sin cos ? B?C B?C B?C 2 2 2 2 2 sin cos cos 2 2 2 4 sin
而后基本不等式得证. 2.

三角函数型应用题
1. 如图: 某污水处理厂要在一个矩形污水处理池 ? ABCD ? 的池底水平铺设污水净化管道

( Rt?FHE , H 是直角顶点)来处理污水,管道越长,污水净化效果越好.设计要求管道的
接口 H 是 AB 的中点, E , F 分别落在线段 BC , AD 上.已知 AB ? 20 米, AD ? 10 3 米, 记 ?BHE ? ? .(1)试将污水净化管道的长度 L 表示为 ? 的函数,并写出定义域; (2)若

sin? ? cos? ?

(3)问:当 ? 取何值时,污水净化效果最好? 2 ,求此时管道的长度 L ;

并求出此时管道的长度.

EH ?
解: (1)

10 10 FH ? cos ? , sin ?
由于 BE ? 10 ? tan ? ? 10 3 ,

EF ?

10 sin? cos?

AF ?

10 ? 10 3 tan ?

? ? 10 10 10 ? ? 3 ? ?[ , ] L ? ? ? ? ?[ , ] ? tan ? ? 3 6 3 cos ? sin ? sin ? ? cos ? , 6 3 . 3 ,
(2) sin? ? cos? ? 2 时,

sin ? cos? ??

1 2 , L ? 20( 2 ? 1) ;

L?
(3)

10 10 10 sin ? ? cos ? ? 1 ? ? 10( ) cos ? sin ? sin ? ? cos ? = sin ? ? cos ?

设 sin ? ? cos ? ? t

sin ? ? cos ? ?


? ? t 2 ?1 ? ?[ , ] 6 3 , 2 由于
3 ?1 , 2] 2

t ? sin ? ? cos ? ? 2 sin(? ? ) ?[ 4 所以

?

L?

20 3 ?1 [ , 2] t ?1 在 2 内单调递减,

t?
于是当

? ? 3 ?1 ? ? ,? ? 6 3 时 , L 的最大值 20( 3 ? 1) 米. 2 时
? ? ?? 6或 3 时所铺设的管道最短,为 20( 3 ? 1) 米.

答:当

??

2.某居民小区内建有一块矩形草坪 ABCD,AB=50 米,BC= 25 3 米,为了便于居民平时 休闲散步,该小区物业管理公司将在这块草坪内铺设三条小路 OE、EF 和 OF,考虑到小 区整体规划,要求 O 是 AB 的中点,点 E 在边 BC 上,点 F 在边 AD 上,且∠EOF=90° , 如图所示. (1)设∠BOE= ? ,试将 ?OEF 的周长 l 表示成 ? 的函数关系式,并求出此函数的定义域; (2) 经核算, 三条路每米铺设费用均为 400 元, 试问如何设计才能使铺路的总费用最低? 并求出最低总费用. D C E F

?
A O B

解:(1)∵在 Rt△ BOE 中,OB=25, ∠B=90° ,∠BOE= ? ,∴OE= 在 Rt△ AOF 中,OA=25, ∠A=90° ,∠AFO= ? ,∴OF= 又∠EOF=90° ,∴EF= ? OE 2 ? OF 2 ? ( ∴ l ? OE ? OF ? EF ?

25 .…………2 分 cos ?

25 .……………………4 分 sin ?

25 2 25 2 25 ) ?( ) = , cos ? sin ? cos? sin ?

25 25 25 ? ? cos? sin ? cos? sin ? 25(sin ? ? cos? ? 1) 即l ? . …………………………………………6 分 cos? sin ?

π ; 6 π 当点 E 在 C 点时,这时角 ? 最大,求得此时 ? = . 3 π π 故此函数的定义域为 [ , ] .……………………………………………………………8 分 6 3
当点 F 在点 D 时,这时角 ? 最小,求得此时 ? = (2)由题意知,要求铺路总费用最低,只要求 ?OEF 的周长 l 的最小值即可.

25(sin ? ? cos? ? 1) π π , ? ?[ , ] cos? sin ? 6 3 2 t ?1 设 sin ? ? cos? ? t ,则 sin ? ? cos? ? , 2 25(sin ? ? cos ? ? 1) 25(t ? 1) 50 ∴l ? ……………………………………………12 分 ? 2 ? t ?1 cos ? sin ? t ?1 2 3 ?1 3 ?1 5π π 7π ? t ? 2 ,∴ ? t ?1 ? 2 ?1, 由, ,得 ?? ? ? 2 2 12 4 12 1 从而 2 ? 1 ? ? 3 ? 1,……………………………………………………………15 分 t ?1 π 当 ? ? ,即 BE=25 时, lmin ? 25( 2 ? 1) , 4
由(1)得, l ? 所以当 BE=AE=25 米时,铺路总费用最低,最低总费用为 10000( 2 ? 1) 元.…………16 分 3. 如图, ABCD 是块边长为 100 m 的正方形地皮, 其中 AST 是一半径为 90 m 的扇形小山, 其余部分都是平地,一开发商想在平地上建一个矩形停车场,使矩形的一个顶点 P 在 弧 ST 上,相邻两边 CQ、CR 落在正方形的边 BC、CD 上,求矩形停车场 PQCR 面积的最大 值和最小值。 S P A T 解:设 ?PAB ? ? (0? ? ? ? 90?), 延长 RT 交 AB 于 M Q B D R C

AM ? 90cos? , MP ? 90sin ? ? PQ ? MB ? 100? 90cos? .
PR ? MR ? MP ? 100 ? 90 sin ? ? S矩形PQRC ? PQ ? PR ? (100? 90cos? )(100? 90sin? )

? 10000? 9000 (sin? ? cos? ) ? 8100sin ? cos?
令 t ? sin ? ? cos? (1 ? t ?

(0? ? ? ? 90?),

2 ), sin ? cos? ?

t 2 ?1 2

S 矩形PQRC ? 10000? 9000 t ? 8100?
故当 t ?

t 2 ?1 10 ? 4050 (t ? ) 2 ? 950 -10 2 9

10 2 时,S 的最小值为 950m ,当 t ? 2 时 S 的 (14050? 9000 2 )m 2 9

4 .如图,在半径为 3 、圆心角为 60 的扇形的弧上任取 一点 P ,作扇 形的内接矩形

?

PNMQ,使点 Q 在 OA 上,点 N , M 在 OB 上,设矩形 PNMQ 的面积为 y ,按下列要求写
出函数的关系式: (1)①设 PN ? x ,将 y 表示成 x 的函数关系式;②设 ?POB ? ? ,将

y 表 示成 ? 的函数关系式;请你选用(1)中的一个函数关系式,求出 y 的最大值.
A

P

Q

B

N

M

O

解: (1)①因为 ON ? 3 ? x2 , OM ?

3 3 x , 所以 MN ? 3 ? x2 ? x ,… 2 3 3

分,所以 y ? x( 3 ? x ?
2

3 3 x), x ? (0, ) .…………… 4 分 3 2

②因为 PN ? 3 sin ? , ON ? 3 cos? , OM ?

3 ? 3 sin ? ? sin ? , 3

所以 MN ? ON ? OM ? 3 cos? ? sin ? ……………………… 6 分 所以 y ? 3 sin? ( 3 cos? ? sin? ),即 y ? 3sin? cos? ? 分 (2)选择 y ? 3sin ? cos ? ? 3 sin
2

? 3 sin2 ? , (? ? (0, )) … 8 3

? 3 ,…………… 12 分 ? ? 3 sin(2? ? ) ?
6 2
3 .……… 14 分 2

?? ? (0, ) 3

?

? 2? ?

?
6

?(

? 5?
6 , 6

) ………………… 13 分所以 ymax ?

5. 如下图,某小区准备绿化一块直径为 BC 的半圆形空地,?ABC 的内接正方形 PQRS 为一水池,?ABC 外的地方种草,其余地方种花. 若 BC=a, ?ABC=? ,设 ?ABC 的面积 为 S1 ,正方形 PQRS 的面积为 S 2 ,将比值 (1)试用 a , ? 表示 S1 和 S 2 ; (2)若 a 为定值,当 ? 为何值时,“规划合理度”最小?并求出这个最小值.

S1 称为“规划合理度”. S2

A P S

B

Q

R

C

(1)在 Rt ?ABC 中, AB ? a cos ? , AC ? a sin ? ,

S1 ?

1 1 AB ? AC ? a 2 sin ? cos ? ……………3 分 2 2

设正方形的边长为 x 由 BP ? AP ? AB ,得 故x?

则 BP ?

x , AP ? x cos ? , sin ?

a sin ? cos ? 1 ? sin ? cos ? a sin ? cos ? 2 2 ) ……………6 分 所以 S 2 ? x ? ( 1 ? sin ? cos ?

x ? x cos ? ? a cos ? , sin ?

S 1 (1 ? sin ? cos ? ) 2 ? (2) 1 ? ? S2 2 sin ? cos ?
令 t ? sin 2? ,因为 0 ? ? ?

1 (1 ? sin 2? ) 2 1 1 2 ? ? sin 2? ? 1 ,…… 8 分 sin 2? sin 2? 4

?
2



所以 0 ? 2? ? ? ,则 t ? sin 2? ? (0,1] ……………10 分 所以

1 1 S1 1 1 ? ? t ? 1 ? g (t ) , g ?(t ) ? ? 2 ? ? 0 , t 4 S2 t 4

所以函数 g (t ) 在 (0,1] 上递减,……………12 分 因此当 t ? 1 时 g (t ) 有最小值 g (t ) min ? g (1) ? 此时 sin 2? ? 1, ? ? 所以当 ? ?

?
4

9 , 4

……………14 分

?
4

时,“规划合理度”最小,最小值为

9 .……………15 分 4
2m N E D 2m M F AP l C Q B

6. 如图所示,一条直角走廊宽为 2 米。现有一转动灵活的平板 车,其平板面为矩形 ABEF,它的宽为 1 米。直线 EF 分别交直 线 AC、BC 于 M、N,过墙角 D 作 DP⊥AC 于 P,DQ⊥BC 于 Q; ⑴若平板车卡在直角走廊内,且 ∠ CAB ? ? ,试求平板面的长 (用 ? 表示); ⑵若平板车要想顺利通过直角走廊,其长度不能超过多少米?

2 1 2 ,DN= ,MF= ,EN= tan ? , sin ? cos ? tan ? 2 1 2 + - - tan ? ? EF=DM+DN-MF-EN= sin ? cos ? tan ? 2(sin ? ? cos ? ) ? 1 ? = (0 ? ? ? ) sin ? cos ? 2
解: (1)DM= (2)“平板车要想顺利通过直角走廊”即对任意角( 0 ? ? ?

?

2

) ,平板车的长度不能通过,

t 2 ?1 即平板车的长度 ? l min ;记 sin ? ? cos? ? t , 1 ? t ? 2 ,有 sin ? cos ? = , 2
=

2(sin ? ? cos ? ) ? 1 4t ? 2 = 2 sin ? cos ? t ?1 m?2 )或直接求导, 4

此后研究函数的最小值,方法很多;如换元(记 4t ? 2 ? m ,则 t ? 以确定函数在 [1, 2 ] 上的单调性;当 t ?

2 时取得最小值 4 2 ? 2

7. (本小题满分 15 分) 一铁棒欲通过如图所示的直角走廊,试回答下列问题: (1)求棒长 L 关于 ? 的函数关系式: L?? ? ; (2)求能通过直角走廊的铁棒的长度的最大值.

?

2

2
解: (1)如图, AB ?
2 2 , BC ? cos? sin ?

L?? ? ? AC ? AB ? BC ?

2 2 ? ?? ? ?0 ? ? ? ? cos? sin ? ? 2?

(2) L?? ? ?

2 ?cos? ? sin ? ? sin ? cos?

令 t ? cos? ? sin ? ?

? ?? ? 2 sin?? ? ? ,因为 0 ? ? ? ,所以 t ? 1, 2 , 4 4? ?

?

?

2 ? sin ? ? cos? ? ? 1 t 2 ? 1 则 sin ? cos? ? ?

C

2

2

L?

1 2 2t 2 2 ,当 t ? 1, 2 时, t ? 随着 t 的增大 ? 2 1 t t ?1 t? t
A

?

?

?
B

2

1 ? 2? 而增大,所以 t ? ? ? 0, ? 所以 L ? ?4,??? t ? ? 2 ?
所以能够通过这个直角走廊的铁棒的最大长度为 4

2
………15 分

8. 如图,A,B,C 是三个汽车站,AC,BE 是直线型公路.已知 AB=120 km,∠BAC =75° ,∠ABC=45° .有一辆车(称甲车)以每小时 96(km)的速度往返于车站 A,C 之 间,到达车站后停留 10 分钟;另有一辆车(称乙车)以每小时 120(km)的速度从车站 B 开往另一个城市 E,途经车站 C,并在车站 C 也停留 10 分钟.已知早上 8 点时甲车从车 站 A、乙车从车站 B 同时开出. (1)计算 A,C 两站距离,及 B,C 两站距离; (2)若甲、 乙两车上各有一名旅客需要交换到对方汽车上, 问能否在车站 C 处利用停留时间交换. (3) 求 10 点时甲、乙两车的距离. (参考数据: 2 ? 1.4 , 3 ? 1.7 , 6 ? 2.4 , 111 ? 10.5 )

E C
(1)在△ ABC 中,∠ACB=60° .∵
120 ? 3 2

AB BC AC , ? ? sin 60? sin 75? sin 45?

120sin 45? ? ∴ AC ? sin 60?

2 2 ? 40 6 ? 96(km) ,

A

B

120sin 75? BC ? ? sin 60?

120 ?

6? 2 4 ? 60 2 ? 20 6 ? 132(km) . 3 2

(2)甲车从车站 A 开到车站 C 约用时间为

96 ,即 9 点到 C 站, ? 1 (小时)=60(分钟) 96

至 9 点零 10 分开出. 乙车从车站 B 开到车站 C 约用时间为

132 =66 (分钟) , ? 1.1(小时) 120

即 9 点零 6 分到站,9 点零 16 分开出.则两名旅客可在 9 点零 6 分到 10 分这段时间内交 换到对方汽车上. ( 3 ) 10 点 时 甲 车 离 开 C 站 的 距 离 为

50 ? 96 ? 80(km) , 乙 车 离 开 C 站 的 距 离 为 60

44 ?120 ? 88(km) ,两车的距离等于 60
802 ? 882 ? 2 ? 80 ? 88 ? cos60? ? 8 100 ? 121 ? 110
= 8 111 ? 8 ?10.5 ? 84(km) .

9. 如图所示,某动物园要为刚入园的小老虎建造一间两面靠墙的三角形露天活动室,已 知已有两面墙的夹角为 60° (即 ?C ? 60 ) ,现有可供建造第三面围墙的材料 6 米(两面 墙的长均大于 6 米) ,为了使得小老虎能健康成长,要求所建造的三角形露天活动室尽可 能大,记 ?ABC ? ? ,问当 ? 为多少时,所建造的三角形露天活动室的面积最大?
?

解:在 ?ABC 中,由正弦定理:

AC AB BC · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·3 分 ? ? sin ? sin ? sin(? ? ? ) 3 3
BC ? 4 3? s i ? n? (

化简得: AC ? 4 3 ? sin ? 所以 S ?ABC ?

?
3

)

1 ? AC ? BC ? sin w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 2 3

? 1 3 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·8 分 ? 12 3 ? sin ? ? sin(? ? ) ? 12 3 sin ? ? ( sin ? ? cos ? ) · 3 2 2
1 ? cos 2? 3 ? 6 3(sin 2 ? ? 3 sin ? ? cos ? ) ? 6 3( ? sin 2? ) 2 2
1 ? ? 6 3 ? [ ? sin(2? ? )] 2 6
即 S ?ABC ? 6 3 ? sin(2? ?

?
6

) ? 3 3 (0 ? ? ?

2? )· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·12 分 3

所以当 2? ?

?
6
?

?

?
2

, 即? ?

?
3

时, (S?ABC )max = 9 3 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·14 分

答:当 ? ? 60 时,所建造的三角形露天活动室的面积最大。 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·15 分 另 解 :

S ?ABC ?

? 2? ? ?6 3 cos(2? ? ) ? 3 3 (0 ? ? ? ) (下同) 3 3

1 ? AC ? BC ? s ?1 2 3

?

??

??

?
3

? ?6

i

? ?? 2 ?
3

?
3

3

10. 某港口 O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上.在小艇出发时,轮船 位于港口 O 北偏西 30° 且与该港口相距 20 海里的 A 处, 并正以 30 海里/小时的航行速度沿 正东方向匀速行驶.假设该小船沿直线方向以 v 海里/小时的航行速度匀速行驶,经过 t 小 时与轮船相遇. (1) 若希望相遇时小艇的航行距离最小, 则小艇航行速度的大小应为多少? (2)假设小艇的最高航行速度只能达到 30 海里/小时,试设计航行方案(即确定航行方向 与航行速度的大小) ,使得小艇能以最短时间与轮船相遇,并说明理由. 解: (1)设相遇时小艇航行的距离为 s 海里,则 s= 900t2+400-2× 30t× cos(90° -30° ) = 900t2-600t+400 1 故当 t= 时,smin=10 3,此时 v=30 3. 3 即小艇以 30 3海里/小时的速度航行,相遇时小艇的航行距离最小. (2)如图,由(1)得 OC=10 3,AC=10,故 OC>AC, 且对于线段 AC 上任意点 P,有 OP≥OC>AC.而小艇的最高航行速度只能达到 30 海里/ 小时,故轮船与小艇不可能在 A、C(包含 C)的任意位置相遇. π 10 3 设∠COD=θ(0<θ< ) ,则在 Rt△ COD 中,CD=10 3tanθ,OD= , 2 cosθ 10+10 3tanθ 10 3 由于从出发到相遇,轮船与小艇所需要的时间分别为 t= 和 t= , 30 v cosθ
A C D

30°

θ

O

10+10 3tanθ 10 3 15 3 π 3 π π 所以 = ,解得 v= .又 v≤30,故 sin(θ+ )≥ ,从而 ≤θ≤ . 30 v cosθ π 6 2 6 2 sin(θ+ ) 6 10+10 3tanθ π 3 π 2 由于 θ= 时,tanθ 取得最小值 ,于是当 θ= 时,t= 取得最小值 . 6 3 6 30 3 此时,在△ AOB 中,OA=OD=AD=20,故可设计航行方案如下: π 航行方向为北偏东 ,航行速度为 30 海里/小时,小艇能以最短时间与轮船相遇. 6


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高考数学基础与考点过关 第三章 三角函数、三角恒等变换及解三角形
2 三角函数三角恒等变换与解三角形第2讲三角恒等变换与解三角形学案理
2018届高三数学二轮复习三角函数及解三角形第2讲三角恒等变换与解三角形课件理
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