高中数学教案——直线的倾斜角和斜率 第二课时

课 题: 7.1 直线的倾斜角和斜率(二) 教学目的: 1.在理解直线的倾斜角和斜率概念的基础上,掌握过两点的直线的斜率 公式并牢记斜率公式的特点及适用范围; 2.进一步了解向量作为数学工具在进一步学习数学中的作用; 3.培养学生思维的严谨性,注意学生语言表述能力的培养; 4.充分利用斜率和倾斜角是从数与形两方面刻划直线相对于 x 轴倾斜程 度的两个量这一事实,培养学生数形结合的数学思想 教学重点:斜率概念理解与斜率公式 教学难点:斜率概念理解与斜率公式 授课类型:新授课 课时安排:1 课时 教 具:多媒体、实物投影仪 教学过程: 一、复习引入: 1.直线方程的概念:以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点,反 过来,这条直线上的点的坐标都是这个方程的解,这时,这个方程就叫做这条 直线的方程,这条直线叫做这个方程的直线. 2.直线的倾斜角与斜率:在平面直角坐标系中,对于一条与 x 轴相交的直 线,如果把 x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记 为 ? ,那么 ? 就叫做直线的倾斜角.当直线和 x 轴平行或重合时,我们规定直 线的倾斜角为 0°. 倾斜角的取值范围是 0°≤ ? <180°.倾斜角不是 90°的直线,它的倾斜 角的正切叫做这条直线的斜率,常用 k 表示. 3.概念辨析:①当直线和 x 轴平行或重合时,规定直线的倾斜角为 0°; ②直线倾斜角的取值范围是 0°≤ ? <180°;③倾斜角是 90°的直线没有斜 率. 提问: ⑴哪些条件可以确定一条直线? ⑵在平面直角坐标系中,过点 P 的任何一条直线 l ,对 x 轴的位置有哪些情 形?如何刻划它们的相对位置? ⑶给定直线的倾斜角 ? ,如何求斜率? ⑷设 ? 是直线的倾斜角, k 为其斜率,则当 k ? 0 及 k ? 0 时,与之相应的 ? 取值范围是什么 ⑸判断正误: ①直线的倾斜角为 ? ,则直线的斜率为 tan ? ( ) 新疆 王新敞 学案 新疆 王新敞 学案 新疆 王新敞 学案 新疆 王新敞 学案 新疆 王新敞 学案 新疆 王新敞 学案 ②直线的斜率值为 tan ? ,则它的倾斜角为 ? ( 三人行,必有我师 ) ③因为所有直线都有倾斜角,故所以直线都有斜率( ) ④因为平行于 y 轴的直线的斜率不存在,所以平行于 y 轴的直线的倾斜角不 存在 ( ) 二、讲解新课: 4.斜率公式:经过两点 P1 ( x 1 , y 1 ), P 2 ( x 2 , y 2 ) 的直线的斜率公式: k ? y 2 ? y1 x 2 ? x1 ( x1 ? x 2 ) 新疆 王新敞 学案 推导: 设直线 P1 P 2 的倾斜角是 ? , 斜率是 k , 向量 P1 P 2 的方向是向上的(如 上图所示).向量 P1 P 2 的坐标是 ( x 2 ? x 1 , y 2 ? y 1 ) .过原点作向量 OP ? P1 P 2 , 则点 P 的坐标是 ( x 2 ? x 1 , y 2 ? y 1 ) ,而且直线 OP 的倾斜角也 是 ? ,根据正切函数的定义, tan ? ? y 2 ? y1 x 2 ? x1 y P1 ? O P2 P ? x ( x1 ? x 2 ) 即k ? y 2 ? y1 x 2 ? x1 ( x1 ? x 2 ) 新疆 王新敞 学案 y P P2 ? O P1 ? X 同样,当向量 P 2 P1 的方向向上时也有同样的结论. 当 x 1 ? x 2 , y 1 ? y 2 (即直线和 x 轴垂直)时,直线的倾 斜角 ? = 90 ? ,没有斜率 5.斜率公式的形式特点及适用范围: ①斜率公式与两点的顺序无关,即两点的纵坐标和横坐标在公式中的前后 次序可同时颠倒; ②斜率公式表明,直线对于 x 轴的倾斜程度,可以通过直线上任意两点坐 标表示,而不需求出直线的倾斜角; ③斜率公式是研究直线方程各种形式的基础,必须熟记,并且会灵活运用; 新疆 王新敞 学案 ④当 x 1 ? x 2 , y 1 ? y 2 时,直线的倾斜角 ? = 90 ? ,没有斜率 新疆 学案 王新敞 6.确定一条直线需要具备几个独立条件:需要知道直线经过两个已知点; 需 要知道直线经过一个已知点及方向(即斜率)等等 新疆 王新敞 学案 三、讲解范例: 例 1 求经过 A(-2,0) 、B(-5,3)两点的直线的斜率和倾斜角. 三人行,必有我师 解: k ? 3? 0 ? 5 ? (?2) ? ? 1 ,就是 tan ? ? ? 1 ? 0 ? ? ? ? 180 ? , ? ? ? 1 3 5? 因此,这条直线的斜率是-1,倾斜角是 135 ? . 点评:此题要求学生会通过斜率公式求斜率,并根据斜率求直线的倾斜角. 例 2 求过下列两点的直线的斜率 k 及倾斜角 ? ① P1 ( ? 2 , 3 ) 、 P 2 ( ? 2 , 8 ) ; ② P1 ( 5 , ? 2 ) 、 P 2 ( ? 2 , ? 2 ) ; ③ P1 ( ? 1 , 2 ) 、 P 2 ( 3 , ? 4 ) 斜率不存在, ? ? 90 ? k ? 0 ,? ? 0 ? k ? ? 3 2 , ? ? ? ? arctan 3 2 点评:结合反三角的知识写出斜率在不同取值范围内所对应的倾斜角表 达式:①当 k ? 0 时, ? ? arctan k ;②当 k ? 0 时, ? ? 0 ? ; ③当 k ? 0 时, ? ? ? ? arctan k 例3 新疆 王新敞 学案 若三点 A ( 2 , 3 ) , B ( 3 , ? 2 ) , C ( , m ) 共线,求 m 的值 2 ? 2 ?3 3? 2 ? m ?3 1 2 ? 2 ? m ? 21 新疆 1 解: k AB ? k AC ? 王新敞 学案 2 拓广:到目前为止共有几种证明三

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