高等数学函数连续性_图文

1.3、 函数的连续性。
2.1 导数的概念

1、掌握函数连续性的判断方法。 2、零点定理的应用。 3、掌握导数的概念、几何意义及其与连续性的关系。

1.3.1、函数连续性
1、变量的增量 设函数y=f(x)在点x0的某一个邻域U(x0)内有定义? 在邻域U(x0)内? 若自变量x从初值x0变到终值x1? 则称Dx=x1-x0为自变量x的增量?

称Dy=f(x0+Dx)-f(x0)函数y的增量。

Dy
Dx

2、函数的连续性定义 设函数 y=f(x) 在点x0及其邻域内有定义? 如果 那么就称函数 y=f(x) 在点x0处连续?
函数f ? x ? 在点x0处连续的充分必要条件是: ( 1)f ? x ? 在点x0处有定义;(2)f ? x ? 在点x0处的极限存在; (3)f ? x ? 在点x0处的极限值等于f ? x ? 在点x0处的函数值
Dx ?0

lim Dy = 0 ? 或 lim f (x) = f (x0 ) ?
x ? x0

提示: Dy=f(x0+Dx)-f(x0)?

设x=x0+Dx? 则当Dx?0时? x?x0? 因此
Dx ?0

lim Dy = 0 ? lim [ f (x) - f (x0 )] = 0 ? lim f (x) = f (x0 ) ?
x ? x0 x ? x0

左连续和右连续
若极限 lim- f ? x ? = f ? x0 ? ,则称f ? x ? 在点x0 左连续;
x ? x0

定义13 如果函数f ? x ? 在点x0的左邻域 ? x0 - ? ,x0 ? ?内有定义,

同样, lim+ f ? x ? = f ? x0 ? ,则称f ? x ? 在点x0 右连续;
x ? x0

注意:

函数f ? x ? 在点x0处连续的充分必要条件是:
x ? x0

lim- f ? x ? = lim+ f ? x ? = f ? x0 ?
x ? x0

? a + bx x ? 0 ? 例 设f ? x ? = ? sin bx 在x = 0点处连续, x?0 ? ? x 问a,b应满足什么关系?

解题思路:根据函数连续的充要条件
x ? x0

lim- f ? x ? = lim+ f ? x ? = f ? x0 ?
x ? x0

解:函数分段点为x = 0,并且有f ? 0? = a; sin bx sin bx lim- ? a + bx ? = a, lim = lim ?b = b x?0 + x ? 0+ x x ?0 bx

已知f ? x ? 在x = 0处连续,因此必然在x = 0处的左、右都连续,

即 lim f ? x ? = lim f ? x ? = f ? 0? = a, +
x ?0 x ?0

从而有a =b

函数在区间内连续
函数f ? x ? 在区间? a, b ?内连续: 函数f ? x ? 在区间? a, b ?内的每一点都连续
函数在区间?a, b?内连续: 函数f ? x ? 在区间? a, b ?内连续,

x ?a

lim f ? x? = f ?a? , +

x ?b

lim f ? x ? = f ? b ?, -

例 证明函数y = sin x在其定义域内是连续的。

证明: 设x0是y = sin x定义域内任意一点,在点x0处有增量Dx时,

Dx Dx cos( x0 + ). 对应的函数增量为Dy = sin( x0 + Dx ) - sin x0= 2sin 2 2 Dx Dx 当Dx ? 0时, sin ?0 因为 cos( x0 + ) ?1 2 2
当Dx ? 0时,有Dy ? 0,
所以函数y = sin x在其定义域内是连续的。

和差化积公式: x+ y x- y sin x - sin y = 2cos sin 2 2

1.3.2、函数的间断点
如果函数f(x)在点x0有以下三种情况之一:
1、f ? x ? 在点x0没有定义;

2、 lim f ? x ? 不存在;
x ? x0

3、 lim f ? x ? 存在,但 lim f ? x ? ? f ? x0 ?
x ? x0 x ? x0

则称函数在点x0为不连续, x0称为函数的不连续点或 间断点。

sin x 例 函数y = x 在点x = 0处没有定义,因此函数在该点是不连续点,
? sin x sin x ? 但 lim = 1, 并且如果定义y = ? x x ?0 x ? ? 1 x?0 x=0 时,

此时称x = 0点是函数的可去间断点。 函数在点x = 0处连续,

可去间断点只要改变或补充间断

点的函数值定义后,间断点可以变
成连续点。

?x +1 x ? 0 例 讨论函数f ? x ? = ? 在点x = 0处的连续性。 ?x -1 x ? 0
解: 因为 lim f ? x ? = 1,lim f ? x ? = -1, + x ?0 x ?0

? 函数在x ? 0时极限不存在,点x = 0为间断点。

函数左、右极限存在但不相等,我们称点x = 0为跳跃间断点。

例 函数y = tan x在x =

?

?
2

处没有定义,该点为函数的间断点。

lim tan x = ?, 此时我们称x =
x? 2

?
2

是函数y = tan x的无穷间断点。

1 ? ?sin 例 讨论函数f ? x ? = ? x ? ? 0
解:

x?0 x=0

在点x = 0的连续性。
y

y = sin

1 x

1 x ? 0时, sin 在 - 1和1之间震荡, x

0

x

1 lim f ? x ? = limsin 不存在,? f ? x ? 在x = 0点间断, x ?0 x ?0 x
我们称这类间断点为震荡间断点。

1.3.3、初等函数的连续性

一、一切基本初等函数在其定义域内都是连续的。
二、设函数f(x)和g(x)在点x0连续? 则函数

f (x) f (x)?g(x)? f (x)?g(x)? (当 g (x0 ) ? 0 时) g(x) 在点x0也连续?
三、设函数y=f[g(x)]由函数y=f(u)与函数u=g(x)复合而成 ? 若函数 u=g(x) 在点 x0 连续? 函数 y=f(u)在点u0=g(x0)连 续? 则复合函数y=f[j(x)]在点x0也连续?
? lim g ? x ? ? = f ? g x ? ? lim f ? g x = f ? ? ? 0 ?? ? ? ? ? ? x ? x0 x ? x ? 0 ?

例:求极限 lim cos(1 + x )
x?0 1 x

1 x

1 ? ? x 解: lim cos(1 + x ) = cos ? lim(1 + x ) ? x?0 x ?0 ? ?

= cos e

四、初等函数在其定义区间内是连续的。
例 1 讨论函数y = sin 的连续性。 x

总结:由于函数在其连续点x0满足
lim f ? x ? = f ? x0 ?

x ? x0

初等函数在其有定义的点处求极限 求这一点的函数值。

例 求 lim
x ?1

arctan x 5 - x2

arctan 1 ? = = 5 - 12 8

例1

? 3 - (1 + x + x ) ? 1 ? ? 3 lim lim ? + = ? ? 3 ? x ? 1 x ?1 1 - x 3 1- x x - 1? ? ? ?
2
2

? (1 - x)(2 + x) ? ? 2- x- x ? = lim ? = lim ? 2 ? ? 2 x ? 1 x ?1 (1 - x)(1 + x + x ) ? (1 - x)(1 + x + x ) ? ? ?

? 2+ x ? 1 = lim ? = x ?1 1 + x + x 2 ? ? ?

x -1 1 1 x -1 例2、 lim 2 = lim = lim = x ?1 x - 1 x ?1 x + 1 x ?1 ( x - 1)(x + 1) 2
3

(因式分解, 去掉零因子)

例3: lim
x ?1

x -1 x -1

? = lim ?
x ?1

3

?? x - 1??
x -1

3

x2 + 3 x + 1 x +1
3 2

= lim
x ?1

? x - 1? ? 3 x 2 + 3 x + 1?

?? x ? x - 1? ? x + 1?
x +1

??

x +1

?

+ 3 x +1

?

= lim
x ?1

?

?
3

?

x2 + 3 x + 1

?

=

2 3

(有理化, 去掉零因子)

1 + x sin x - 1 例4、 lim x ?0 1 - cos x

= lim
x ?0

( 1 + x sin x - 1)( 1 + x sin x + 1) (1 - cos x )( 1 + x sin x + 1)
x sin x (1 - cos x )( 1 + x sin x + 1)

= lim
x ?0

x ?0

sin x ~ x
x2 (1 - cos x) ~ 2

= lim
x ?0

x

2

x 2 ? ( 1 + x sin x + 1) 2 2 = lim =1 x ?0 1 + x sin x + 1

x ? ?时,有理函数的极限

3 ? 4,分子的 最高次幂低于 分母的最高次幂; 4 ? 3,分子的 最高次幂高于 分母的最高次幂;

1 1 + 3 x3 + x x x =0 lim 4 = lim x ?? x - 3 x 2 + 1 x ?? 3 1 1- 2 + 4 x x
4

x - 5x x lim 3 = lim x ?? x - 3 x + 1 x ?? 1 - 3 3+ 1 4 x x x =? 1 3 + 1 2 -3 3 1 + x - 3x x x lim 3 = lim x ?? 3 x + x 2 + 1 x ?? 3+ 1 + 1 3 x x = -1
3

1- 5

3 = 3,分子的 最高次幂等于 分母的最高次幂;

一般地

0 ? ?0 nn+ nn -11+ ? ?a a a x x + a a x x +??????+ +a a a 00 11 nn 00 lim lim m = = ? ? m+ m m -11+ xx ? ? ? ?b b x x + b b x x + ? ? ? ? ? ? + + b b b 00 11 m m ? 00 ?b ? ? ??
2 x3 - x + 1 例6、P17例9 lim = ? 2 x ?? x +1

n n? ?m m n n= =m m?? n n? ?m m

例7 lim

x -1 - 2 ( x - 1 - 2)( x - 1 + 2) = lim x ?5 x ?5 x -5 ( x - 5)( x - 1 + 2) 1 1 x -5 = = lim = lim x ?5 x ?5 ( x - 5)( x - 1 + 2) 4 x -1 + 2
2

例8、 lim x ? ( 2 + x - x)
x ?+?

(有理化,去掉零因子)

= lim

x ? ( 2 + x 2 - x)( 2 + x 2 + x) ( 2 + x 2 + x)

x ?+?

= lim

2x ( 2 + x 2 + x)

x ?+?

= lim

2 2 ( + 1 + 1) 2 x

x ? +?

=1

1.3.4、闭区间上连续函数的性质
[定理8](最值定理) 闭区间[a,b]上的连续函数f(x) 在 该区间上至少取得它的最大值M和最小值m各一次。

[推论6] 闭区间[a,b]上的连续函数f(x)一定有界。

[定理9](介值定理)
若y= f(x)在闭区间[a? b]上连续? 且f(a)?f(b)? 则对于f(a)与 f(b)之间的任意一个常数C? 在开区间(a? b)内至少有一点x? 使 得f(x)=C (a< x <b)?

定理的几何意义: 连续曲线f(x)与水平直线 y=c至少相交于一点。

[推论](零点定理) 设函数f(x)在闭区间[a? b]上连续? 且f(a) f(b)<0? 则在 开区间(a? b)内至少一点x? 使f(x)=0?
f ?b?

a
f ?a?
b

应用:求一个方程在某区间内至少有一个实根。

例9 证明方程 x3-4x2+1=0 在区间(0? 1)内至少有一个 实根? 证明 设 f(x)=x3-4x2+1? 则f(x)在闭区间[0? 1]上连续? 并且 f(0)=1>0? f(1)=-2<0? 根据推论, 在(0? 1)内至少有一点x ? 使得 f(x)=0? 即 x 3-4x 2+1=0 (0< x?1? ? 这说明方程x3-4x2+1=0在区间(0? 1)内至少有一个根是x ?

第二章

一元函数微分学

一、导数的概念 二、导数的运算 三、微分 四、导数的应用

本章简介 导数与微分是微分学中的两个基本概念。其中导数是研究 函数相对于自变量的变化的快慢程度,即函数的变化率; 而微分则是指当自变量有微小变化时,函数改变量的近似 值。
本章重点 导数与微分的概念;基本初等函数的求导公式;求导法则。 本章难点 导数与微分的概念;复合函数的求导法则。

2.1

导数的概念

实例1.变速直线运动的瞬时速度问题
如图, 设物体作直线运动所经过的路程为s=f(t)?
求t0时刻瞬时速度.

取一邻近于t 0的时刻t , 运动时间Dt ,
Ds s - s0 f (t ) - f (t 0 ) 平均速度 v = = = Dt t - t0 t - t0

当 t ? t 0时,

取极限得

t 0 Dt

t

f (t ) - f (t0 ) 瞬时速度 V ( t0 ) = lim t ? t0 t - t0

2.1.2 导数的定义
[定义1 ]

设函数 f(x) 在 x0及其 某个邻域内有定义, 当自变 量x在 x0处取得增 量Δx 时,相应地函数 y取得增量

Dy = f ( x0 + Dx ) - f ( x 0 )

f ( x0 + Dx ) - f ( x 0 ) Dy 存在, = lim 如果 lim Dx ? 0 Dx Dx ? 0 Dx
则称函数 y= f(x)在 x0 处可导, 或称y= f(x)在 x0 处有

导数。 该极限值就是 f(x) 在点 x0 处的导数,记为 dy df 或 . f ?( x0 ), y? x = x0 , dx x = x0 dx x = x0

令 Dx = x - x0

f ( x ) - f ( x0 ) f ?( x0 ) = lim x ? x0 x - x0

f ( x 0 + Dx ) - f ( x 0 ) Dy f ?( x0 ) = lim = lim Dx ? 0 D x Dx ? 0 Dx
f ( x ) - f ( x0 ) Dy f ?( x0 ) = lim = lim Dx ? 0 Dx x ? x0 x - x0

例:已知函数f ? x ? 在点a处的导数f ? ? a ? 存在,
f ? a + h? - f ? a - h? 试计算 lim . h? 0 h f ? a + h? - f ? a - h? 解: lim h? 0 h

? f ? a + h? - f ? a ? ? +? f ? a ? - f ? a - h?? ? ? ? ? = lim h? 0 h ? ? f ? a + h? - f ? a ? ? f ? a ? - f ? a - h? ? ? ? ? ? = lim + lim h?0 h? 0 h h

= 2f ? ? a ?

导函数:对于任一 x ? I , 都对应着 f ( x ) 的一个确定的 导数值. 从而x和它对应点的导数值之间构成了新的函数。

这个函数叫做原来函数 f ( x ) 的导函数.

f ( x + Dx ) - f ( x ) dy df ( x ) ? = lim 记作 y?, f ?( x ), 或 . 即 yx Dx ? 0 Dx dx dx

很明显

f ?( x 0 ) = f ?( x ) x = x 0 .

由导数定义可知:

变速直线运动的(瞬时)速度v ( t ), 是路程函数s( t )对时间t的导数, v ( t ) = s?( t ), v ( t 0 ) = s?( t 0 );
由定义求导数步骤:

(1) 求增量 Dy = f ( x + Dx ) - f ( x );
Dy f ( x + Dx ) - f ( x ) ( 2) 算比值 = ; Dx Dx Dy ( 3) 求极限 y ? = lim . Dx ? 0 D x

例1



2 y = x,求 y?

x =2
2

x + Dx ? - x 2 ? Dy = lim ? 2 x + Dx ? = 2 x 解一 y? = lim = lim Dx ?0 Dx ?0 Dx Dx ?0 Dx

y?

x =2

= 2x = 4
2 2 2

解二 Dy = ? 2 + Dx ? - 2 = 4Dx + ? Dx ?

Dy = 4 + Dx Dx
所以

Dy lim =4 Dx ?0 Dx

y?

x =2

=4

例2 设函数 f ( x) = sin x, 求(sin x)?及(sin x)?

x=

?
4

.

sin( x + Dx ) - sin x 解 (sin x )? = lim Dx ? 0 Dx Dx Dx sin 2 = lim cos( x + )? = cos x . Dx ? 0 Dx 2 2

' ? 即 (sin x) = cos x. 同理 (cos x) = - sin x

? (sin x )?

x=

?
4

2 = cos x ? = . x= 2 4

例3、y =

x

求y?和 y? x =1

解:Dy = x + Dx - x
Dx ( x + Dx - x )( x + Dx + x ) = = x + Dx + x x + Dx + x Dy 1 1 y? = lim = lim = Dx ? 0 D x Dx ?0 x + Dx + x 2 x
y?
x =1

1 = 2

单侧导数

f ? x ? 在x0处的左导数 f ? x ? 在x0处的右导数
?导数与单侧导数的关系

f ? x ? - f ? x0 ? f -? ? x0 ? = lim x? x x - x0 f ? x ? - f ? x0 ? f +? ? x0 ? = lim x? x x - x0
0 + 0

f ? ? x0 ? = A ? f+? ? x0 ? = f-? ? x0 ? = A
?函数在区间上的可导性
函数f(x)在开区间(a? b)内可导是指函数在区间内每 一点可导? 函数f(x)在闭区间[a? b]上可导是指函数f(x)在开区间 (a? b)内可导? 且在a点有右导数、在b点有左导数?

例4 求函数f ? x ? = x 在x = 0处的导数。
解: lim

f ? 0 + Dx ? - f ? 0 ? Dx

Dx ? 0

Dx - 0 Dx = lim = lim Dx ? 0 Dx ? 0 Dx Dx

Dx Dx 当Dx ? 0时, = -1, 有 lim = -1; Dx ? 0 D x Dx Dx Dx 当Dx ? 0时, = 1,有 lim = 1. Dx ? 0 D x Dx

f ? 0 + Dx ? - f ? 0 ? f +? ? 0 ? ? f -? ? 0 ? , 所以 lim 不存在。 Dx ? 0 Dx

? ? sin x ( - ? x ? 0) ? ? 2 f ( x ) = , 求 f ?(0). 例5 已知 ? ? 2 tan x ( 0 ? x ? ? ) ? ? 2 f ( x) - f (0) sin x - sin 0 ? 解 因为 f - (0) = lim = lim x ?0 x ? 0x-0 x-0
sin x = lim =1 x ?0 x f +?(0) = lim +
x ?0

f ( x) - f (0) 2 tan x - 0 2 tan x = lim = lim =2 + + x ?0 x ?0 x-0 x-0 x
,从而

所以

f -?(0) ? f +?(0)

f ?(0)不存在

y

y = f ( x)

2.1.3 导数的几何意义
N T Dy

f ?( x0 ) = lim
? ??

M
?

o

?

Dx
x0
x0 + Dx

Dy Dx ? 0 D x = lim tan ? = tan ?

x

就是过M点的切线斜率.

曲线y = f ( x )在点M ( x0 , f ( x0 ))处
的切线方程

函数f ( x )在x0点的导数f ?( x0 ) 在几何上表示的是:曲线 y = f ( x )在(x0 ,f (x0)) 点处的的切线斜率。

y - y0 = f ?( x0 )( x - x0 )
法线方程

1 y - y0 = ( x - x0 ) ? f ( x0 )

( f ?( x0 ) ? 0)

例3 求曲线y = x 2在点 (2,4)处的切线的
斜率, 并写出在该点处的切线 方程和法线方程 .

解 根据导数的几何意义, 得切线斜率为 k = y? x=2
y? = ( x 2 )? = 2 x

k = y? x =2 = 4
即 4 x - y - 4 = 0.

所求切线方程为 y - 4 = 4( x - 2),

1 法线方程为 y - 4 = - ( x - 2), 即 x + 4 y - 18 = 0. 4

2.1.4 可导与连续的关系
结论: 证 可导的函数一定是连续的。

设函数 f ( x )在点 x0可导, Dy f ?( x0 ) = lim Dx ? 0 D x

lim Dy = lim ? Dx ? Dy ? = lim Dx ? lim Dy = f ? x ? 0 = 0 ? ? Dx ?0 ? Dx ? 0 0? Dx ? 0 Dx ? 0 Dx D x ? ?

?函数 f ( x )在点 x0 连续 .

注意: 反之不成立.即连续不一定可导。比如
函数 f ( x) = x 在x = 0处连续但不可导



f (0 + Dx ) - f (0) Dx = , Dx Dx

y

y= x

f (0 + Dx ) - f (0) Dx = 1, lim+ = lim+ Dx ? 0 Dx ? 0 Dx Dx

o

x

f (0 + Dx ) - f (0) -Dx lim= lim= -1. Dx ? 0 Dx ? 0 Dx Dx
Dy 即 lim 不存在, ?函数y = f ( x )在x = 0点不可导. Dx ? 0 D x

1 ? ? 例4 讨论函数 f ( x ) = ? x sin x , x ? 0, ? x=0 ? 0, 在x = 0处的连续性与可导性 .
1 1 x sin = 0 解 sin 是有界函数 , ? lim x ?0 x x ? f (0) = lim f ( x ) = 0 ? f ( x )在x = 0处连续. x ?0 1 (0 + Dx ) sin -0 1 Dy 0 + D x = sin 但在x = 0处有 = Dx Dx Dx Dy 当Dx ? 0时, 在 - 1和1之间振荡而极限不存在. Dx ? f ( x )在x = 0处不可导.

小结
? 函数连续性的定义
? 利用连续性求解函数极限 ? 介值定理和零点定理的应用 ? 导数的定义 ? 可导与连续的关系


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