2015届高考调研文科6-2_图文

高考调研

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第2课时

等差数列

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1.理解等差数列的概念. 2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式. 3.了解等差数列与一次函数的关系.

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请注意!

等差数列的性质、通项公式和前n项和公式构成等差数列的 重要内容,在历届高考中必考.经常以选择题、填空题形式出 现.

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1.等差数列的基本概念 1 ( ) 定义:数列{an}满足当n≥2时an-an-1=d(常数),则称数

列{an}为等差数列

. .

2 ( ) 通项公式:an= a1+(n-1)d .an=am+ (n-m)d n?n-1? ?a1+an?n 3 ( ) 前n项和公式:Sn=na1+ 2 d= . 2 a+b 4 ( ) a、b的等差中项为 2 .

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2.等差数列常用性质:等差数列{an}中 1 ( ) 若m1+m2+?+mk=n1+n2+?+nk, 则am1+am2+?+amk=an1+an2+?+ank. 特别地,若m+n=p+q,则am+an= ap+aq .

?n+1? n-1 2 ( ) n为奇数时,Sn=na中,S奇= 2 a中,S偶= 2 a中, ∴S奇-S偶= a中


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nd 3 ( ) n为偶数时,S偶-S奇= 2 . 4 ( ) 若公差为d,依次k项和Sk,S2k-Sk,S3k-S2k成等差数 列,新公差d′= k2d . 5 { ( ) Sn n }为等差数列.

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1.(课 本 习 题 改 编

)若 一个 数 列 的 通 项 公 式 是 ( )

an=kn+b(k,

b为 常 数 ), 则 下 列 说 法 中 正 确 的 是 A. 数 列 {an}一 定 不 是 等 差 数 列 B. 数 列 {an}是 公 差 为 C. 数 列 {an}是 公 差 为

k的 等 差 数 列 b的 等 差 数 列

D. 数 列 {an}不 一 定 是 等 差 数 列
答案 B

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2.设a≠b,且数列a,x1,x2,b和a,y1,y2,y3,y4,b分 y4-y3 别是等差数列,则 =__________. x2-x1

3 答案 5
解析 1 1 x2-x1=3(b-a),y4-y3=5(b-a),

1 y4-y3 5?b-a? 3 ∴ = =5. x2-x1 1 ?b-a? 3
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3.2 ( 0 1 2 ·

北京)已知{an}为等差数列,Sn为其前n项和,若a1 ;Sn=________.

1 = ,S2=a3,则a2=_ _ _ _ _ _ _ 2

n?n+1? 答案 1 4
解析 设公差为d,则由S2=a3,得2a1+d=a1+2d,所以d n?n-1? n?n+1? 1 =a1=2,故a2=a1+d=1,Sn=na1+ 2 d= 4 .

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4.2 ( 0 1 2 · +a10=( A.12 C.20
答案 B

辽宁)在等差数列{an}中,已知a4+a8=16,则a2 ) B.16 D.24

解析 因为数列{an}是 等 差 数 列 , 所 以 16,故选B.

a2+a10=a4+a8=

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5.2 ( 0 1 2 ·

福建)等差数列{an}中,a1+a5=10,a4=7,则数 ) B.2 D.4
B

列{an}的公差为( A.1 C.3
答案

解析 ∵a1+a5=10=2a3,∴a3=5. 故d=a4-a3=7-5=2.

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6.2 ( 0 1 3 ·

安徽)设Sn为等差数列{an}的前n项 和 , S8=4a3,a7 ) B.-4 D.2

=-2,则a9=( A.-6 C.-2
答案 A

解析 根据等差数列的定义和性质,可得S8=4(a3+a6).又 S8=4a3, 所 以 a6=0,又a7=-2,所以a8=-4,a9=-6.

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例1 1 ( ) 等差数列{an}的前n项和记为Sn.已知a10=30,a20= 50. ①求通项an; ②若Sn=242,求n. 【解析】 ①由an=a1+(n-1)d,a10=30,a20=50,得方
? ?a1+9d=30, 程组? ? ?a1+19d=50.

解得a1=12,d=2.

所以an=2n+10.
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n?n-1? ②由Sn=na1+ 2 d,Sn=242,得方程 n?n-1? 12n+ 2 ×2=242. 解得n=11或n=-22(舍去).
【答案】 ①an=2n+10 ②n=11

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2 ( ) 设{an}为等差数列,Sn为数列{an}的前n项 和 , 已 知 Sn 7,S15=75,Tn为数列{ }的前n项和,求Tn. n 【解析】 方法一:设等差数列{an}的公差为d,则

S7=

1 Sn=na1+2n(n-1)d. ∵S7=7,S15=75,
? ?7a1+21d=7, ∴? ? ?15a1+105d=75, ? ?a1+3d=1, 即? ? ?a1+7d=5.

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解得a1=-2,d=1. Sn 1 1 ∴ =a1+ (n-1)d=-2+ (n-1). n 2 2 Sn+1 Sn 1 ∵ - = , n+1 n 2 Sn 1 ∴数列{ }是等差数列其首项为-2,公差为 . n 2 1 2 9 ∴Tn=4n -4n.

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方法二:设Sn=An2+Bn, ∵S7=7,S15=75, 1 ? ? ?A=2, 72+B· 7=7, ?A· ∴? 解之得? 2 ? 5 · +B1 5 · =75, ?A1 ?B=-5. 2 ? 下同方法一.

1 2 9 【答案】 Tn=4n -4n

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探究1

本题是等差数列的最基本问题,所用解法也是最基

本方法,即所谓“通法”.考查通性通法应该是高考永恒的主 题.

思考题1 1 ( ) 设Sn为等差数列{an}的前n项 和 , 若 公差d=2,Sk+2-Sk=24,则k=( A.8 C.6 B.7 D.5 )

a1=1,

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【解析】

∵{an}是 等 差 数 列 ,

a1=1,d=2,∴an=2n-1.

由已知得Sk+2-Sk=ak+2+ak+1=2(k+2)+2(k+1)-2=4k+4= 24,所以k=5,故选D.
【答案】 D

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2 ( ) 2 ( 0 1 3 ·

四川)在 等 差 数 列

{an}中,a1+a3=8,且a4为a2和a9

的等比中项,求数列{an}的首项、公差及前n项和. 【解析】 设该数列公差为d,前n项和为Sn.
由已知,可得2a1+2d=8,(a1+3d)2=(a1+d)(a1+8d). 所以a1+d=4,d(d-3a1)=0,解得a1=4,d=0,或a1= 1,d=3,即数列{an}的首项为4,公差为0,或首项为1,公差 为3. 3n2-n 所以数列的前n项和Sn=4n或Sn= 2 . 【答案】 a1=4,d=0,Sn=4n或a1=1,d=3,
3n2-n Sn= 2
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例2 1 ( ) 2 ( 0 1 3 ·

广东)在 等 差 数 列

{an}中,已知a3+a8=10,

则3a5+a7=________. 【解析】 利用等差数列的性质可快速求解.因为a3+a8 =10,所以3a5+a7=2(a3+a8)=20.
【答案】 20

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2 ( ) 2 ( 0 1 2 ·

辽宁)在 等 差 数 列 )

{an}中,已知a4+a8=16,则该数

列前11项和S11=( A.58 C.143
【解析】

B.88 D.176
利用等差数列的性质及求和公式求解.因为{an} 11项

是等差数列,所以a4+a8=2a6=16?a6=8, 则 该 数 列 的 前 11?a1+a11? 和为S11= =11a6=88. 2
【答案】 B
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探究2 1 ( ) 本例用到等差数列中最常用的性质:①d= ap-aq ,②若m+n=p+q,则am+an=ap+aq. p-q 2 ( ) 利用等差数列性质(特别是感觉条件不够时)求解即简 捷,又漂亮.

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思考题2 1 ( ) 等差数列{an}共有63项,且S63=36,求S奇和 S偶.

4 【解析】 由S63=36,得63· a32=3 6 . ∴a32= . 7 4 128 ∴S奇=32a32=32× = , 7 7 4 124 S偶=31a32=31×7= 7 . 128 124 【答案】 S奇= 7 S偶= 7

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2 ( ) 在等差数列{an}中,a1=-2 0 1 2 S10 - =2,则S 2 1 02 10 A.-0 2 1 C.-2 010 的 值 等 于 ( )

S12 ,其前n项 和 为 Sn,若 12

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B.-2 012 D.-2 013

12?a1+a12? 10?a1+a10? 2 2 S12 S10 【解析】 ∵ - =2,∴ - =2, 12 10 12 10 故a12-a10=4,∴2d=4,d=2. 2 012×?2 012-1?×2 ∴S =2 012a1+ =-2 012. 2 1 02 2 【答案】 B
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例3

1 已知数列{an},an∈N ,Sn= (an+2)2. 8
*

求证:{an}是 等 差 数 列 .

【思路】

由Sn求出an,进而判断是否满足下列条件之

一:①an+1-an=d;②an=kn+b(k≠0);③Sn=an2+ bn(a≠0).

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1 1 2 【解析】 ∵an+1=Sn+1-Sn=8(an+1+2) -8(an+2)2, ∴8an+1=(an+1+2)2-(an+2)2. ∴(an+1-2)2-(an+2)2=0. ∴(an+1+an)(an+1-an-4)=0. ∵an∈N*,∴an+1+an≠0. ∴an+1-an-4=0,即an+1-an=4. ∴数列{an}是 等 差 数 列 .
【答案】 略
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探究3 证明数列{an}为等差数列有两种办法:①证an+1- an=d(常数),②证2an=an+1+an-1(n≥2).
思考题3 已知正项数列{an}的前n项和Sn满足2 Sn =an+ 1.求证:{an}是 等 差 数 列 , 并 求
【解析】

an.

?a1+1?2 ∵an>0,∴a1=S1= ,a1=1. 4

?an+1?2 又2 Sn=an+1,可整理为Sn= . 4

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?an-1+1?2 则n≥2时,Sn-1= . 4 ?an+1?2 ?an-1+1?2 两式相减,得an= 4 - . 4 ?an-1?2-?an-1+1?2 即 =0. 4 可得(an+an-1)(an-an-1-2)=0,an+an-1≠0. 故an=an-1+2(n≥2). ∴{an}是以a1=1为 首 项 , 公 差 ∴an=2n-1.
【答案】 证明略,an=2n-1
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d=2的等差数列.

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例4 等差数列{an}中,a1<0,S9=S12, 该 数 列 前 多 少 项 的 和最小?
【解析】 方法一:∵S9=S12,∴a10+a11+a12=0. ∴3a11=0.∴a11=0. ∵a1<0,∴前10项 或 前 11项和最小. 方法二:∵S9=S12,∴Sn的图像所在的抛物线的对称轴为x 9+12 = =10.5. 2
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又a1<0,∴{an}的前10项或前11项的和最小. 方法三:由S9=S12,得 9×8 12×11 9a1+ d=12a1+ d. 2 2 化简得a1=-10d. ∵a1<0,∴d>0.

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1 d 2 d 此时Sn=na1+2n(n-1)d=2n +(a1-2)n d 2 21d =2n - 2 n. 21d - 2 21 * ∵n∈N 且- = , d 2 2×2 ∴当n=10或n=11时Sn最小, 即{an}的前10项或前11项的和最小.
【答案】 前10项或前11项和最小
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【讲评】 求等差数列前 n 项和的最值,常用的方法: ①利用等差数列的单调性,求出其负转折项; ②利用性质求出其正负转折项,使可求得和的最值; ③利用等差数列的前 n 项和 Sn=An2+Bn(A、B 为常数)为二 次函数,根据二次函数的性质求最值.

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探 究4 若{an}是 等 差 数 列 , 求 前

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n项 和 的 最 值 时 , 则 前 n项 和 Sn最 大 ;

1 ( ) 若a1>0,d<0, 且 满 足

? ?an≥0, ? ? ?an+1≤0, ? ?an≤0, ? ? ?an+1≥0,

2 ( ) 若a1<0,d>0, 且 满 足 3 ( ) 除 上 面 方 法 外 , 还 可 将 关 于 n的 二 次 函 数 问 题 , 利 用 二 次 函 数 的 图 4 ( ) 还 可 以 利 用

则 前 n项 和 Sn最 小 ; Sn

{an}的 前 n项 和 的 最 值 问 题 看 作 像 或 配 方 法 求 解 ;

Sn与n的 函 数 关 系 , 进 行 求 导 来 求 最 值 .

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思考题4 1 ( ) 设等差数列{an}的前n项和为Sn.若a1=-11, a4+a6=-6,则当Sn取 最 小 值 时 , A.6 C.8
【解析】

n等于(

)

B.7 D.9
设等差数列{an}的公差为d,∵a4+a6=-6,∴

a5-a1 a5=-3,∴d= =2,∴a6=-1<0,a7=1>0,故当等差 5-1 数列{an}的前n项和Sn取 得 最 小 值 时 ,
【答案】 A
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n等于6.

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2 ( ) 已知等差数列{an}中,Sn是它的前n项 和 , 若 S17<0, 则 当 Sn最大时n的值为( A.16 C.9 B.8 D.10 )

S16>0,且

16?a1+a16? 【解析】 ∵S16= =8(a8+a9)>0, 2 17?a1+a17? S17= =17a9<0, 2 ∴a8>0,a9<0,且d<0,∴S8最大.
【答案】 B
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1.深刻理解等差数列的定义,紧扣从“第二项起”和“差 是同一常数”这两点. 2.等差数列中,已知五个元素a1,an,n,d,Sn中的任意 三个,便可求出其余两个.

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3.证明数列{an}是 等 差 数 列 的 两 种 基 本 方 法 是 : 1 ( ) 利用定义,证明an-an-1(n≥2)为常数; 2 ( ) 利用等差中项,即证明2an=an-1+an+1(n≥2). 4.等差数列{an}中 , 当 a1<0,d>0时,数列{an}为递增数 列,Sn有最小值;当a1>0,d<0时,数列{an}为递减数列,Sn有 最大值;当d=0时,{an}为常数列.

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1.由下列各表达式给出的数列{an}: ①Sn=a1+a2+?+an=n2; ②Sn=a1+a2+?+an=n2-1; ③a2 an+2; n+1=an· ④2an+1=an+an+2 (n∈N*). ) B.②④ D.①③④

其中表示等差数列的是( A.①④ C.①②④
答案 A
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2.若Sn是等差数列{an}的前n项和,a2+a10=4,则S11的值 为( ) A.12 C.22
答案 C

B.18 D.44

11?a1+a11? 11?a2+a10? 11×4 解析 由题可知S11= = = 2 = 2 2 22,故选C.

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3.设{an}是公差为-2的等差数列,如果a1+a4+a7=50, 那么a6+a9+a12=( A.40 C.20
答案 C

) B.30 D.10

50 解析 因为a1+a4+a7=50,所以3a4=50,a4= 3 .又因为 20 公差为-2,所以a9=a4+5×(-2)= ,则a6+a9+a12=3a9= 3 20.
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4.在Rt△ABC中,∠C=90° ,它的三边成等差数列,则 sinA+sinB=________.

7 答案 5
解 析 ∴n 2 i s
2

∵a、b、c成 等 差 数 列 B=n i s A+n i s C,∴n 2 i s

(不 妨 设 a<b),则2b=a+c. B=n i s A+1,∴n 4 i s
2

B=n i s (

A

3 4 +1 ) .又∵n i s B=c o s A, 解 得 n i s A= 5 ,n i s B= 5 ,∴n i s A+n i s B= 7 5.

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5.已知函数f(x)=cosx,x∈(0,2π)有两个不同的零点x1, x2,且方程f(x)=m有两个不同的实根x3,x4,若把这四个数按从 小到大排列构成等差数列,则实数m=( 1 A.2 3 C. 2
答案 D

)

1 B.-2 3 D.- 2

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3π π 解析 若m>0,则公差d= 2 - 2 =π,显然不 3π π 2 -2 π 成立,所以m<0,则公差d= 3 =3. π π 3 所以m=cos(2+3)=- 2 ,故选D.

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6.2 ( 0 1 3 ·
-1

课 标 全 国

Ⅰ)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若Sm )

=-2,Sm=0,Sm+1=3,则m=( A.3 C.5
答案 C

B.4 D.6

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解 析

∵Sm-1= - 2,Sm=0,Sm+1=3,

∴am=Sm-Sm-1=0-(-2 ) =2,am+1=Sm+1-Sm=3-0=3 . ∴d=am+1-am=3-2=1 . m?m-1? m-1 ∵Sm=ma1+ ×1=0,∴a1=- 2 . 2 m-1 又∵am+1=a1+m×1=3,∴- 2 +m=3. ∴m=5.故选C.

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7.2 ( 0 1 3 ·

课 标 全 国

Ⅱ)等差数列{an}的前n项和为Sm,已知

S10=0,S15=25,则nSn的最小值为________.
答案 -49
解 析 设 数 列 {an}的 首 项 为 a1, 公 差 为 d, 10×9 则S10=10a1+ 2 d=10a1+45d=0,① 15×14 S15=15a1+ 2 d=15a1+105d=25.② 2 联立①②,得a1=-3,d=3.
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n?n-1? 2 1 2 1 0 所 以 Sn= - 3n+ 2 ×3=3n - 3 n. 1 3 1 0 2 2 0 2 令f(n)=n S n,则f(n)=3n - 3 n ,f′(n)=n - 3 n. 2 0 令f′(n)=0,得n=0或n= 3 . 2 0 当n> 3 时,f′(n> ) 0 < , 时,f(n)取 最 小 值 2 0 2 0 n< 3 时,f′(n< ) 0 ,所 以 当 n= 3

,而n∈N+,则f6 ( ) = -4 8 ,f7 ( ) = - 49,所 以 -4 9 .

当n=7时,f(n)取 最 小 值

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8.将等差数列3,8,13,18,?按顺序抄在练习本上,已知每 行抄13个数,每页抄21行.求数33 333所在的页和行.
答案 在第25页,第9行

解析 a1=3,d=5,an=33 333,∴33 333=3+(n-1)×5. ∴n=6 667,可得an在第25页,第9行.

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课时作业(三十四)

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