高中数学人教a版高二选修1-1学业分层测评2_四种命题_四种命题间的相互关系 含解析

高中数学人教 a 版高二选修 1-1 学业分层测评 2_四种命题_四种命题间的相 互关系 含解析 学业分层测评 (建议用时:45 分钟) [学业达标] 一、选择题 1.命题“若 m=10,则 m2=100”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中, 真命题是( ) B.原命题、逆命题 D.逆命题、否命题 A.原命题、否命题 C.原命题、逆否命题 【解析】 【答案】 因为原命题是真命题,所以逆否命题也是真命题. C 2.有下列四个命题: (1)“若 x2+y2=0,则 xy=0”的否命题; (2)“若 x>y,则 x2>y2”的逆否命题; (3)“若 x≤3,则 x2-x-6>0”的否命题; (4)“对顶角相等”的逆命题. 其中真命题的个数是( A.0 【解析】 (1) 假 原命题的否命题与其逆命题有相同的真假性, 其逆命题为 “若 xy=0,则 x2+y2=0”,为假命题 原命题与其逆否命题具有相同的真假性. 而原命题为假命 题(如 x=0,y=-1),故其逆否命题为假命题 该命题的否命题为“若 x>3,则 x2-x-6≤0”,很明显 为假命题 B.1 ) C.2 D .3 (2) 假 (3) (4) 【答案】 假 假 该命题的逆命题为“相等的角是对顶角”, 显然是假命题 A 第1页 共5页 3.下列说法中错误的个数是( ) ①命题“余弦函数是周期函数”的否命题是“余弦函数不是周期函数”; ②命题“若 x>1,则 x-1>0”的否命题是“若 x≤1,则 x-1≤0”; ③命题“两个正数的和为正数”的否命题是“两个负数的和为负数”; ④命题“x=-4 是方程 x2+3x-4=0 的根”的否命题是“x=-4 不是方程 x2+3x -4=0 的根”. A.1 【解析】 B.2 C.3 D .4 ①错误,否命题是“若一个函数不是余弦函数,则它不是周期函数”; ②正确;③错误,否命题是“若两个数不全为正数,则它们的和不为正数”;④错误, 否命题是“若一个数不是-4,则它不是方程 x2+3x-4=0 的根”. 【答案】 C 4.已知命题 p:若 a>0,则方程 ax2+2x=0 有解,则其原命题、否命题、逆命题 及逆否命题中真命题的个数为( A.3 B.2 ) C.1 D .0 【解析】 易知原命题和逆否命题都是真命题,否命题和逆命题都是假命题.故选 B. 【答案】 B ) 5.在下列四个命题中,真命题是( A.“x=3 时,x2+2x-3=0”的否命题 B.“若 b=3,则 b2=9”的逆命题 C.若 ac>bc,则 a>b D.“相似三角形的对应角相等”的逆否命题 【解析】 A 中命题的否命题为“x≠3 时,x2+2x-3≠0”,是假命题;B 中命题 的逆命题为“若 b2=9,则 b=3”,是假命题;C 中当 c<0 时,为假命题;D 中原命题 与逆否命题等价,都是真命题.故选 D. 【答案】 二、填空题 6.“若 x,y 全为零,则 xy=0”的否命题为________. 【答案】 若 x,y 不全为零,则 xy≠0 第2页 共5页 D 7.下列命题中: ①若一个四边形的四条边不相等,则它不是正方形; ②正方形的四条边相等; ③若一个四边形的四条边相等,则它是正方形. 其中互为逆命题的有 ________ ;互为否命题的有 ________ ;互为逆否命题的有 ________.(填序号) 【答案】 ②和③ ①和③ ①和② 8.给出下列命题: ①命题“若 b2-4ac<0,则方程 ax2+bx+c=0(a≠0)无实根”的否命题; ②命题“△ABC 中,若 AB=BC=CA,那么△ABC 为等边三角形”的逆命题; 3 3 ③命题“若 a>b>0,则 a> b>0”的逆否命题; ④“若 m>1,则 mx2-2(m+1)x+(m-3)>0 的解集为 R”的逆命题. 其中,真命题的序号为________. 【解析】 题; ②逆命题:若△ABC 为等边三角形,则 AB=BC=CA,真命题; 3 3 ③因为命题“若 a>b>0,则 a> b>0”是真命题,故其逆否命题是真命题; ④逆命题:若 mx2-2(m+1)x+(m-3)>0 的解集是 R,则 m>1,假命题. 所以应填①②③. 【答案】 三、解答题 9.写出命题“已知 a,b∈R,若 a2>b2,则 a>b”的逆命题、否命题和逆否命题, 并判断它们的真假. 【解】 逆命题:已知 a,b∈R,若 a>b,则 a2>b2; ①②③ ①否命题:若 b2-4ac≥0,则方程 ax2+bx+c=0(a≠0)有实根,真命 否命题:已知 a,b∈R,若 a2≤b2,则 a≤b; 逆否命题:已知 a,b∈R,若 a≤b,则 a2≤b2. 原命题是假命题. 逆否命题也是假命题. 第3页 共5页 逆命题是假命题. 否命题也是假命题. 10.已知命题 p:“若 ac≥0,则二次方程 ax2+bx+c=0 没有实根”. (1)写出命题 p 的否命题; (2)判断命题 p 的否命题的真假,并证明你的结论. 【解】 (1)命题 p 的否命题为“若 ac<0,则二次方程 ax2+bx+c=0 有实根”. (2)命题 p 的否命题是真命题. 证明如下: ∵ac<0, ∴-ac>0? Δ=b2-4ac>0? 二次方程 ax2+bx+c=0 有实根. ∴该命题是真命题. [能力提升] 1.原命题为“若 an+an+1 <an,n∈N+,则{an}为递减数列”,关于其逆命题,否命 2 ) 题,逆否命题真假性的判断依次如下,正确的是( A.真,真,真 C.真,真,假 【解析】 B.假,假,真 D.假,假,假 an+an+1 <an?an+1<an?{an}为递减数列. 2 原命题与其逆命题都是真命题,所以其否命题和逆否命题也都是真命题,故选 A. 【答案】 A 2.下列四个命题:①“若 x+y=0,则 x=0,且 y=0”的逆否命题;②“正方形 是矩

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