广西南宁八中2015-2016学年高一下学期期中数学试卷Word版含解析

2015-2016 学年广西南宁八中高一(下)期中数学试卷

一、选择题:本大题共 12 小题每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的,将其选出后用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 1.化简: + ﹣ =( ) A. B. C.2 D.﹣2

2.函数 y=tan

的定义域是( )

A.{x|x≠ ,x∈R} B.{x|x≠﹣ ,x∈R}

C.{x|x≠kπ+ ,k∈Z,x∈R} D.{x|x≠kπ+ ,k∈Z,x∈R}

3.已知 , 为非零向量,且| + |=| |+| |,则一定有( ) A. = B. ∥ ,且 , 方向相同 C. =﹣ D. ∥ ,且 , 方向相反 4.对于函数 f(x)=2sinxcosx,下列选项中正确的是( )

A.f(x)在( , )上是递增的 B.f(x)的图象关于原点对称

C.f(x)的最小正周期为 2π D.f(x)的最大值为 2

5.在△ABC 中,



.若点 D 满足

,则 =( )

A.

B.

C.

D.

6.圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是( ) A.(x﹣1)2+(y﹣1)2=1 B.(x+1)2+(y+1)2=1 C.(x+1)2+(y+1)2=2 D.(x﹣ 1)2+(y﹣1)2=2 7.如果扇形圆心角的弧度数为 2,圆心角所对的弦长也为 2,那么这个扇形的面积是( )

A.

B.

C.

D.

8.将函数 y=sin2x 的图象向左平移 个单位,再向上平移 1 个单位,所得图象的函数解析

式是( )

A.y=cos2x B.y=2cos2x C.

D.y=2sin2x

9.由直线 y=x+1 上的一点向圆 x2+y2﹣6x+8=0 引切线,则切线长的最小值为( ) A. B. C.3 D. 10.已知角 ? 的终边经过点 P(﹣4,3),函数 f(x)=sin(ωx+?)(ω>0)的图象的相邻

两条对称轴之间的距离等于 ,则 f( )的值为( )

A. B. C.﹣ D.﹣ 11.已知奇函数 f(x)在[﹣1,0]上为单调减函数,又 α,β 为锐角三角形内角,则( )

A.f(cosα)>f(cosβ) B.f(sinα)>f(sinβ) C.f(sinα)<f(cosβ) D.f (sinα)>f(cosβ)

12.cos(

)=

在 x∈[0,100π]上的实数解的个数是( )

A.98 B.100 C.102 D.200

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在答题卡各题横线上.

13.sin20°cos10°﹣cos160°sin10°=



14.若关于 x,y 的方程 x2+y2﹣2x﹣4y+m=0 表示圆,则实数 m 的取值范围是



15.已知平面上不重合的四点 P,A,B,C 满足



,那么实数

m 的值为



16.对于函数 f(x)=

,给出下列四个命题:

①该函数是以 π 为最小正周期的周期函数; ②当且仅当 x=π+kπ(k∈Z)时,该函数取得最小值﹣1;
③该函数的图象关于 x= +2kπ(k∈Z)对称;

④当且仅当 2kπ<x< +2kπ(k∈Z)时,0<f(x)≤ .

其中正确命题的序号是

.(请将所有正确命题的序号都填上)

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,请 用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答.

17.设

是两个不共线的向量,



若 A、B、D 三点共线,求 k 的值.

18.已知函数 f(x)=sinx﹣sin(x+ )

(1)求 f( )的值;
(2)求 f(x)的单调递增区间. 19.已知圆 C:x2+y2﹣8y+14=0,直线 l 过点(1,1) (1)若直线 l 与圆 C 相切,求直线 l 的方程; (2)当 l 与圆 C 交于不同的两点 A,B,且|AB|=2 时,求直线 l 的方程.
20.已知 α,β 都是锐角,sinα= ,cos(α+β)= .
(Ⅰ)求 tan2α 的值; (Ⅱ)求 sinβ 的值.
21.已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,|φ|< )的部分图象如图所示.
(1)求出函数 f(x)的解析式;

(2)将 y=f(x)图象上所有点向左平行移动 θ(θ>0)个单位长度,得到 y=g(x)的图象.若 y=g(x)图象的一个对称中心为( ,0),求 θ 的最小值.
22.已知⊙O:x2+y2=1 和定点 A(2,1),由⊙O 外一点 P(a,b)向⊙O 引切线 PQ,切点 为 Q,且满足|PQ|=|PA|. (1)求实数 a,b 间满足的等量关系; (2)求线段 PQ 长的最小值; (3)若以 P 为圆心所作的⊙P 与⊙O 有公共点,试求半径最小值时⊙P 的方程.

2015-2016 学年广西南宁八中高一(下)期中数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 12 小题每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有

一项是符合题目要求的,将其选出后用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.

1.化简: + ﹣ =( )

A. B. C.2 D.﹣2

【考点】向量加减混合运算及其几何意义.

【分析】利用向量加法法则求解.

【解答】解: + ﹣ =

=

=.

故选:A.

2.函数 y=tan

的定义域是( )

A.{x|x≠ ,x∈R} B.{x|x≠﹣ ,x∈R}

C.{x|x≠kπ+ ,k∈Z,x∈R} D.{x|x≠kπ+ ,k∈Z,x∈R} 【考点】正切函数的定义域. 【分析】由正切函数的定义知 x﹣ ≠kπ+ ,解出 x 不满足的范围即可.

【解答】解:∵函数 y=tan

=﹣tan(x﹣ )

∴x﹣ ≠kπ+ ,

∴x≠kπ+ π,k∈Z. 故选 D

3.已知 , 为非零向量,且| + |=| |+| |,则一定有( ) A. = B. ∥ ,且 , 方向相同 C. =﹣ D. ∥ ,且 , 方向相反 【考点】向量的加法及其几何意义. 【分析】根据向量数量积的应用,利用平方法进行判断即可. 【解答】解:∵ , 为非零向量,且| + |=| |+| |, ∴平方得| |2+| |2+2 ? =| |2+| |2+2| |?| |, 即 ? =| |?| |, ∴| |?| |cos< , >=| |?| |, 则 cos< , >=1,即 ∥ ,且 , 方向相同, 故选:B

4.对于函数 f(x)=2sinxcosx,下列选项中正确的是( )

A.f(x)在( , )上是递增的 B.f(x)的图象关于原点对称
C.f(x)的最小正周期为 2π D.f(x)的最大值为 2 【考点】二倍角的正弦. 【分析】本题考查三角函数的性质,利用二倍角公式整理,再对它的性质进行考查,本题包 括单调性、奇偶性、周期性和最值,这是经常出现的一种问题,从多个方面考查三角函数的 性质和恒等变换. 【解答】解:∵f(x)=2sinxcosx=sin2x,是周期为 π 的奇函数,
对于 A,f(x)在( , )上是递减的,A 错误;
对于 B,f(x)是周期为 π 的奇函数,B 正确; 对于 C,f(x)是周期为 π,错误; 对于 D,f(x)=sin2x 的最大值为 1,错误; 故选 B.

5.在△ABC 中,



.若点 D 满足

,则 =( )

A.

B.

C.

D.

【考点】向量加减混合运算及其几何意义. 【分析】把向量用一组向量来表示,做法是从要求向量的起点出发,尽量沿着已知向量,走 到要求向量的终点,把整个过程写下来,即为所求.本题也可以根据 D 点把 BC 分成一比 二的两部分入手.

【解答】解:∵由











故选 A

6.圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是( ) A.(x﹣1)2+(y﹣1)2=1 B.(x+1)2+(y+1)2=1 C.(x+1)2+(y+1)2=2 1)2+(y﹣1)2=2 【考点】圆的标准方程. 【分析】利用两点间距离公式求出半径,由此能求出圆的方程.
【解答】解:由题意知圆半径 r= , ∴圆的方程为(x﹣1)2+(y﹣1)2=2. 故选:D.

D.(x﹣

7.如果扇形圆心角的弧度数为 2,圆心角所对的弦长也为 2,那么这个扇形的面积是( )

A.

B.

C.

D.

【考点】扇形面积公式.

【分析】解直角三角形 AOC,求出半径 AO,代入弧长公式求出弧长的值,再求扇形的面 积即可. 【解答】解:如图:∠AOB=2,过点 0 作 OC⊥AB,C 为垂足,并延长 OC 交 于 D,
∠AOD=∠BOD=1,AC= AB=1,

Rt△AOC 中,AO=



从而弧长为 α?r=

,面积为 ×

×

=

故选 A.

8.将函数 y=sin2x 的图象向左平移 个单位,再向上平移 1 个单位,所得图象的函数解析

式是( )

A.y=cos2x B.y=2cos2x C.

D.y=2sin2x

【考点】函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换;由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式. 【分析】利用函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律及三角函数间的关系式即可得到答案. 【解答】解:令 y=f(x)=sin2x,

则 f(x+ )=sin2(x+ )=cos2x,

再将 f(x+ )的图象向上平移 1 个单位,所得图象的函数解析式是 y=cos2x+1=2cos2x, 故选:B.

9.由直线 y=x+1 上的一点向圆 x2+y2﹣6x+8=0 引切线,则切线长的最小值为( ) A. B. C.3 D. 【考点】直线与圆的位置关系. 【分析】将圆的方程化为标准方程,找出圆心坐标与半径 r,求出圆心到直线 y=x+1 的距离, 利用切线的性质及勾股定理求出切线长的最小值即可. 【解答】解:将圆方程化为标准方程得:(x﹣3)2+y2=1, 得到圆心(3,0),半径 r=1,
∵圆心到直线的距离|AB|=d= =2 ,

∴切线长的最小值|AC|= 故选 A

=.

10.已知角 ? 的终边经过点 P(﹣4,3),函数 f(x)=sin(ωx+?)(ω>0)的图象的相邻 两条对称轴之间的距离等于 ,则 f( )的值为( )
A. B. C.﹣ D.﹣ 【考点】正弦函数的图象. 【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义求得 cos? 和 sin? 的值,再根据周期性求得 ω 的值,再利用诱导公式求得 f( )的值.
【解答】解:由于角 ? 的终边经过点 P(﹣4,3),可得 cos?= ,sin?= .
再根据函数 f(x)=sin(ωx+?)(ω>0)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于 ,
可得周期为 =2× ,求得 ω=2,∴f(x)=sin(2x+?),
∴f( )=sin( +?)=cos?=﹣ , 故选:D.
11.已知奇函数 f(x)在[﹣1,0]上为单调减函数,又 α,β 为锐角三角形内角,则( ) A.f(cosα)>f(cosβ) B.f(sinα)>f(sinβ) C.f(sinα)<f(cosβ) D.f (sinα)>f(cosβ) 【考点】余弦函数的单调性. 【分析】由“奇函数 y=f(x)在[﹣1,0]上为单调递减函数”可知 f(x)在[0,1]上为单调 递减函数,再由“α、β 为锐角三角形的两内角”可得到 α+β> ,转化为 α> ﹣β,两边
再取正弦,可得 sinα>sin( ﹣β)=cosβ>0,由函数的单调性可得结论. 【解答】解:∵奇函数 y=f(x)在[﹣1,0]上为单调递减函数, ∴f(x)在[0,1]上为单调递减函数, ∴f(x)在[﹣1,1]上为单调递减函数, 又 α、β 为锐角三角形的两内角, ∴α+β> ,
∴α> ﹣β,

∴sinα>sin( ﹣β)=cosβ>0,
∴f(sinα)<f(cosβ). 故选 C.

12.cos(

)=

在 x∈[0,100π]上的实数解的个数是( )

A.98 B.100 C.102 D.200 【考点】余弦函数的图象;指数函数的图象与性质.

【分析】分析函数 y=cos(

)与函数 y=

在 x∈[0,100π]上的值域及性质,主要

是函数 y=cos(

)在一个周期上与函数 y=

的交点的个数,进而得到函数 y=cos



)与函数 y=

在 x∈[0,100π]上的交点的个数,即可得到 cos(

)=

在 x∈[0,100π]上的实数解的个数

【解答】解:∵函数 y=cos(

)=﹣sinx 在的周期为 2π,在 x∈[0,100π]上的值域为[﹣

1,1]

函数 y=

在 x∈[0,100π]上的值域为[

,1]?[﹣1,1]

则在每一个周期上函数 y=cos(



故函数 y=cos(

)与函数 y=

)=﹣sinx 的图象与函数 y=

的图象都有 2 个交

在 x∈[0,100π]上共有 50×2=100 个交点

故 cos(

)=

故选 B.

在 x∈[0,100π]上共有 100 个实数解

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在答题卡各题横线上.

13.sin20°cos10°﹣cos160°sin10°=



【考点】两角和与差的正弦函数. 【分析】由条件利用诱导公式、两角和的正弦公式化简所给的式子,可的结果. 【解答】解:sin20°cos10°﹣cos160°sin10°=sin20°cos10°+cos20°sin10°

=sin(20°+10°)= ,

故答案为: .

14.若关于 x,y 的方程 x2+y2﹣2x﹣4y+m=0 表示圆,则实数 m 的取值范围是 (﹣∞,5)) . 【考点】二元二次方程表示圆的条件.

m<5(或

【分析】根据圆的一般式方程 x2+y2+dx+ey+f=0( d2+e2﹣4f>0),列出不等式 4+16﹣4m>0, 求 m 的取值范围. 【解答】解:关于 x,y 的方程 x2+y2﹣2x﹣4y+m=0 表示圆时,应有 4+16﹣4m>0,解得 m <5, 故答案为:(﹣∞,5).

15.已知平面上不重合的四点 P,A,B,C 满足



m 的值为 3 .

【考点】向量在几何中的应用.

【分析】利用向量基本定理结合向量的减法,代入化简,即可得到结论.

,那么实数

【解答】解:由题意,根据向量的减法有: =

,=





∴(

)+(

)=﹣m ;

∴(m﹣2) ∵ ∴m﹣2=1, ∴m=3. 故答案为:3

=, ,

16.对于函数 f(x)=

,给出下列四个命题:

①该函数是以 π 为最小正周期的周期函数; ②当且仅当 x=π+kπ(k∈Z)时,该函数取得最小值﹣1;
③该函数的图象关于 x= +2kπ(k∈Z)对称;

④当且仅当 2kπ<x< +2kπ(k∈Z)时,0<f(x)≤ .
其中正确命题的序号是 ③④ .(请将所有正确命题的序号都填上) 【考点】三角函数的最值;三角函数的周期性及其求法;余弦函数的单调性. 【分析】由题意作出此分段函数的图象,由图象研究该函数的性质,依据这些性质判断四个 命题的真假,此函数取自变量相同时函数值小的那一个,由此可顺利作出函数图象.

【解答】解:由题意函数 f(x)=

,画出 f(x)在 x∈[0,2π]上的

图象. 由图象知,函数 f(x)的最小正周期为 2π,
在 x=π+2kπ(k∈Z)和 x= +2kπ(k∈Z)时,该函数都取得最小值﹣1,故①②错误,

由图象知,函数图象关于直线 x= +2kπ(k∈Z)对称,

在 2kπ<x< +2kπ(k∈Z)时,0<f(x)≤ 故答案为 ③④

,故③④正确.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,请 用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答.

17.设

是两个不共线的向量,



若 A、B、D 三点共线,求 k 的值. 【考点】向量的共线定理. 【分析】利用向量的运算法则求出 ;将三点共线转化为两个向量共线;利用向量共线的 充要条件列出方程;利用平面向量的基本定理列出方程,求出 k 的值.

【解答】解:∵

若 A,B,D 三点共线,则

共线,





由于

不共线可得:

故 λ=2,k=﹣8
18.已知函数 f(x)=sinx﹣sin(x+ )
(1)求 f( )的值; (2)求 f(x)的单调递增区间. 【考点】两角和与差的正弦函数;正弦函数的图象. 【分析】(Ⅰ)代入求值;

(Ⅱ)利用两角和与差的正弦公式化成标准形式,然后根据正弦函数的单调增区间求函数 f (x)的单调增区间.
【解答】解:(Ⅰ)f( )=sin ﹣sin( + )=1﹣ = .

(Ⅱ)f(x)=sinx﹣sin(x+ )

=sinx﹣(sinxcos



=sinx﹣( sinx+ cosx)

= sinx﹣ cosx

=sin(x﹣ )

函数 y=sinx 的单调递增区间为[2k

,2k

](k∈Z)

由 2k

≤x﹣ ≤2k ,(k∈Z)

得:2kπ

(k∈Z)

所以 f(x)的单调递增区间为[2kπ

](k∈Z).

19.已知圆 C:x2+y2﹣8y+14=0,直线 l 过点(1,1) (1)若直线 l 与圆 C 相切,求直线 l 的方程; (2)当 l 与圆 C 交于不同的两点 A,B,且|AB|=2 时,求直线 l 的方程. 【考点】直线与圆的位置关系. 【分析】(1)确定圆心与半径,利用直线 l 与圆 C 相切,分类讨论,即可求直线 l 的方程;

(2)由

,得 d=1,分类讨论,即可求出直线 l 的方程.

【解答】解:(1)圆 C:x2+y2﹣8y+14=0,配方,得 x2+(y﹣4)2=2,

圆心 C(0,4),半径



①当直线 l 的斜率不存在时,l:x=1,此时 l 不与圆相切. 2 分

②若直线 l 的斜率,设 l:y﹣1=k(x﹣1),由

得 k=7 或﹣1,

所以直线方程为 7x﹣y﹣6=0 或 x+y﹣2=0

(2)由

,得 d=1,

①若当直线 l 的斜率不存在时,l:x=1,满足题意

②若直线 l 的斜率存在,设 l:y﹣1=k(x﹣1)由



,此时 l:4x+3y﹣7=0x=1

综上所述 l 方程为 x=1 或 4x+3y﹣7=0

20.已知 α,β 都是锐角,sinα= ,cos(α+β)= .
(Ⅰ)求 tan2α 的值; (Ⅱ)求 sinβ 的值. 【考点】二倍角的正切. 【分析】(Ⅰ)由已知和同角三角函数关系式可先求 cosα,tanα 的值,由二倍角的正切公式 即可求 tan2α 的值. (Ⅱ)由已知先求得 sin(α+β)的值,根据 sinβ=sin[(α+β)﹣α],由两角差的正弦公式展 开代入即可求值. 【解答】
解:(Ⅰ)∵α∈(0, ),sinα= ,



=

=

∴tanα=

=

∴tan2α=

=﹣ .

(Ⅱ)∵α,β∈(0, ),∴α+β∈(0,π),cos(α+β)= ∴sin(α+β)= ∴sinβ=sin[(α+β)﹣α]=sin(α+β)cosα﹣cos(α+β)sinα = =.

21.已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,|φ|< )的部分图象如图所示.
(1)求出函数 f(x)的解析式; (2)将 y=f(x)图象上所有点向左平行移动 θ(θ>0)个单位长度,得到 y=g(x)的图象.若 y=g(x)图象的一个对称中心为( ,0),求 θ 的最小值.

【考点】由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式;正弦函数的图象. 【分析】(1)根据已知中函数的图象,可分析出函数的最值,确定 A 的值,分析出函数的 周期,确定 ω 的值,将( ,﹣1)代入解析式,结合|φ|< ,可求出 φ 值,进而求出 函数的解析式. (2)由(1)及函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律得 g(x),令 2x+2θ+ =kπ,解得 x=
﹣ ﹣θ,k∈Z,令 ﹣ ﹣θ= ,结合 θ>0 即可解得 θ 的最小值. 【解答】解:(1)由图可得:函数函数 y=Asin(ωx+?)的最小值﹣|A|=﹣1,令 A>0,则 A=1, 又∵ = ﹣ ,ω>0, ∴T=π,ω=2, ∴y=sin(2x+φ), 将( ,﹣1)代入 y=sin(2x+φ)得 sin( +φ)=﹣1,
即 +φ=2kπ+ ,k∈Z,
即 φ=2kπ+ ,k∈Z
∵|φ|< ,
∴φ= ,
∴y=sin(2x+ ).
(2)由(Ⅰ)知 f(x)=sin(2x+ ),得 g(x)=sin(2x+2θ+ ). 因为 y=sinx 的对称中心为(kπ,0),k∈Z. 令 2x+2θ+ =kπ,解得 x= ﹣ ﹣θ,k∈Z.
由于函数 y=g(x)的图象关于点( ,0)成中心对称,令: ﹣ ﹣θ= ,
解得 θ= ﹣ ,k∈Z.由 θ>0 可知,当 k=1 时,θ 取得最小值 .

22.已知⊙O:x2+y2=1 和定点 A(2,1),由⊙O 外一点 P(a,b)向⊙O 引切线 PQ,切点 为 Q,且满足|PQ|=|PA|. (1)求实数 a,b 间满足的等量关系; (2)求线段 PQ 长的最小值; (3)若以 P 为圆心所作的⊙P 与⊙O 有公共点,试求半径最小值时⊙P 的方程. 【考点】圆的标准方程;圆的切线方程. 【分析】(1)由勾股定理可得 PQ2=OP2﹣OQ2=PA2,即 (a2+b2)﹣1=(a﹣2)2+(b﹣1) 2,化简可得 a,b 间满足的等量关系.

(2)由于 PQ=

=

,利用二次函数的性质求出它的最小值.

(3)设⊙P 的半径为 R,可得|R﹣1|≤PO≤R+1.利用二次函数的性质求得 OP=



最小值为 ,此时,求得 b=﹣2a+3= ,R 取得最小值为 ﹣1,从而得到圆的标准方
程. 【解答】解:(1)连接 OQ,∵切点为 Q,PQ⊥OQ,由勾股定理可得 PQ2=OP2﹣OQ2. 由已知 PQ=PA,可得 PQ2=PA2,即 (a2+b2)﹣1=(a﹣2)2+(b﹣1)2. 化简可得 2a+b﹣3=0.

(2)∵PQ=

=

=

=



故当 a= 时,线段 PQ 取得最小值为 . (3)若以 P 为圆心所作的⊙P 的半径为 R,由于⊙O 的半径为 1,∴|R﹣1|≤PO≤R+1.

而 OP=

=

=

,故当 a= 时,PO 取得最小值为

, 此时,b=﹣2a+3= ,R 取得最小值为 ﹣1.

故半径最小时⊙P 的方程为

+

=



2016 年 8 月 2 日


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