四川省巴中市2015届零诊数学(理)试题及答案

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四川省巴中市 2015 届高三零诊考试数理试卷
本试题卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)。第Ⅰ卷 1 至 2 页,第Ⅱ卷 3 至 4 页,共 4 页。考生作答时,须将答案答在答题卡上,在本试题卷、草稿纸上答题无 效。满分 150 分。考试时间 120 分钟。
第Ⅰ卷 (选择题 共 50 分)

注意事项: 必须使用 2B 铅笔在答题卡上将所 选答案对应的标号涂黑。
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只有一个是 符合题目要求的。 1、已知集合 M={x|1+x>0},N= {x|

1 >0},则 M∩N= 1? x

A.{x|-1≤x<1} C.{x|-1<x<1} 答案为:C

B.{x|x>1} D.{x|x≥-1}

2、如果 a<0,b>0,那么,下列不等式中正确的是 A.
1 1 ? a b

B. ? a ? b D. |a|>|b|.

C. a2 <b2 答案为:A

3、某几何体的正视图和侧视图均如图所示,则该几何体的俯视图不可能是(



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答案为:D 4、阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序 .如果输入某个正整数 n 后,输出的

S∈(10,20),那么 n 的值为(

).

A.3 答案为:B

B.4

C.5

D.6

5、若|a|=1,|b|=2,c=a+b,且 c⊥a,则向量 a 与 b 的夹角为 A. 30° 答案为:C 6、要得到函数 y=cos(2x+1)的图象,只要将函数 y =cos2x 的图象( A.向左平移 1 个单位
1 C.向左平移 个单位 2

B. 60°

C. 120°

D. 150°



B.向右平移 1 个单位 D.向右平移
1 个单位 2

答案为:C
? x ? 2y ? 2 ? 7、设变量 x,y 满足约束条件 ? 2 x ? y ? 4 ,则目标函数 z=3x-y 的取值范围是 ?4 x ? y ? ?1 ?

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A.[ ?

3 ,6] 2

B.[ ?

3 ,-1] 2
3 ] 2

C.[-1,6] 答案为:A

D.[-6,

8、将 2 名教师,4 名学生分成 2 个小组,分别安排到甲、乙 两地参加社会实践活动, 每个小组由 1 名教师和 2 名学生组成,不同的安排方案共有( A.12 种 答案为:A B.10 种 C.9 种 D.8 种 )

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9、已知双曲线

x2 y2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左顶点与抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点的距离 2 a b

为 4,且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(-2,-1),则双曲线的焦 距为?( A. 2 3 答案为:B 10、设 S,T 是 R 的两个非空子集,如果存在一个从 S 到 T 的函数 y=f(x)满足:(1)T ={f(x)|x∈S};(2)对任意 x1,x2∈S,当 x1<x2 时,恒有 f(x1)<f(x2),那么称这两 个集合“保序同构”.以下集合对不是“保序同构”的是( A.A=N*,B=N B.A={x|-1≤x≤3},B={x|x=-8 或 0<x≤10} C.A={x|0<x<1},B=R D.A=Z,B=Q 答案为:D ). )
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B. 2 5

C. 4 3

D. 4 5

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二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分。
11、在复平面内,复数 答案为:(-1, 1)
2 12、在 ( x ? ) 6 的二项展开式中,常数项等于__________. x 2i 对应的点的坐标为__________. 1? i
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答案为:-160 13、设△ABC 的内角 A, B,C 所对的边分别为 a,b,c.若(a+b-c)(a+b+c)=ab,则角

C=________.
答案为:
2? 3

?(3a ? 1) x ? 4a, x ? 1, 14、已知函数 f ( x) ? ? 满足对任意的实数 x1 ? x 2 都有 loga x, x ? 1 ?
f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 成立,则实数 a 的取值范围为 x1 ? x2
1 1 答案为: [ , ) 7 3

15、已知数列{ a n }满足 a1 ? 33, an?1 ? an ? 2n ,则

an 的最小值为__________. n

答案为:

21 2

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分。解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤。 16、设函数 f(x)=cos( 2 x ? ? )+ sin 2 x
3

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(1)求函数 f( x)的最大值和最小正周期; (2)设 A,B,C 为△ABC 的三个内角,若 cos B ? 求 sinA.
1 C 1 , f ( ) ? ? ,且 C 为锐角, 3 2 4

答案为:解:(1) f ( x) ?

1 3 ? sin 2 x 2 2

所以当 2 x ? ?

?
2

? 2k? ,即 x ? ?

?
4

? k? (k∈Z) 时,

f(x)取得最大值 , f ( x) max ?

1? 3 ,f(x)的最小正周期 T ? ? , 2

故函数 f(x)的最大值为

1? 3 2

,最小正周期为 ? .

(2)由已知得

1 3 1 ? sin C ? ? , 2 2 4

解得 sin C ?

? 3 .又 C 为锐角,所以 C ? . 3 2

由 cos B ?

2 2 1 求得 sin B ? . 3 3

因此 sinA=sin[π -(B+C)]=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC



2 2? 3 . 6

17、设{ an }是公比为正数的等比数列, a1 ? 2, a3 ? a2 ? 4.

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(1)求{ an }的通项公式; (2)设{ bn }是首项为 1,公差为 2 的等差数列,求数列{ an + bn }的前 n 项和 Sn. 答案为:解:(1)设 q 为等比数列{an}的公比, 则由 a1=2,a3=a2+4 得 2q2=2q+4,即 q2-q-2=0, 解得 q=2 或 q=-1(舍去),因此 q=2. 所以{an}的通项为 an=2·2n-1=2n(n∈N*).
2(1 ? 2 n ) n(n ? 1) ? n ?1 ? ? 2 ? 2 n?1 ? n 2 ? 2 . 1? 2 2

(2) S n ?

18、根据以往统计资料,某地车主购买甲种保险的概率为 0.5,购买乙种保险但不购买 甲种保险的概率为 0.3.设各车主购买保险相互独立. (1)求该地 1 位车主至少购买甲、乙两种保险中的 1 种的概率; (2) X 表示该地的 100 位车主中,甲、乙两种保险都不购买的车主数, 求 X 的期望. 答案为:解:记 A 表示事件:该地的 1 位车主购买甲种保险;

B 表示事件:该地的 1 位车主购买乙种保险但不购买甲种保险; C 表示事件:该地的 1 位车主至少购买甲、乙两种保险中的 1 种; D 表示事件:该地的 1 位车主甲、乙两种保险都不购买.
(1)P(A)=0.5,P(B)=0.3,C=A+B,

P(C)=P(A+B)=P(A) +P(B)=0.8.
( 2) D ? C ,P(D)=1-P(C)=1-0.8=0.2,

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X~B(100,0.2),即 X 服从二项分布,
所以期望 EX=100×0.2=20. 19、如图,直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AC=BC=
1 AA1,D 是棱 AA1 的中点,DC1⊥BD. 2

(1)证明:DC1⊥BC; (2)求二面角 A1-BD-C1 的大小. 答案为:19、解:(1)证明:由题设知,三棱柱的侧面为矩形. 由于 D 为 AA1 的中点,故 DC=DC1. 又 AC ?
1 AA1 ,可得 DC12+DC2=CC12, 2

所以 DC1⊥DC.而 DC1⊥BD,DC∩BD=D,所以 DC1⊥平面 BCD.

BC ? 平面 BCD,故 DC1⊥BC.
(2)由(1)知 BC⊥DC1,且 BC⊥CC1, 则 BC⊥平面 ACC1,所以 CA,CB,CC1 两两相互垂直.

? ? 以 C 为坐标原点,C A 的方向为 x 轴的正方向, C A 为单位长,建立如图所示的空间直
角坐标系 C-xyz.

由题意知 A1(1,0,2),B(0,1,0),D(1,0,1),C1(0,0,2).

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? ? ? 则 A1 D ? (0,0,?1) , B D ? (1,?1,1) DC1 ? (?1,0,1) ,
设 n=(x,y,z)是平面 A1B1BD 的法向量,
? ? n ? BD ? 0 ?x ? y ? z ? 0 ? 则? ,即 ? ,可取 n=(1,1,0). z?0 ? ?n ? A1 D ? 0

同理,设 m 是平面 C1BD 的法向量,
? ? m ? BD ? 0 ? 可取 m=(1,2,1). ? ?m ? D C1 ? 0

cos ? n, m ??

n?m 3 . ? nm 2

故二面角 A1-BD-C1 的大小为 30°

x2 y2 5 ? ? 1(a ? b ? 0) 的一个焦点为( 5 ,0 ),离心率为 . 2 2 3 a b (1)求椭圆 C 的标准方程;

20、已知椭圆 C:

(2)若动点 P( x0 , y0 )为椭圆 C 外一点,且点 P 到椭圆 C 的两条切线相互垂直,求点 P 的轨迹方程. 答案为:

c 5 5 ? ? a a 3 2 2 2 ? a ? 3, b ? a ? c ? 4 解:( 1 ) ? c ? 5, e ? ? 椭圆C标准方程为 x2 y2 ? ?1 9 4

(2)①若一切线垂直 x 轴,则另一切线垂直于 y 轴,则这样的点 P 共有 4 个,它们的 坐标分别为 (?3,?2), (3,?2) . ②若两切线不垂直于坐标轴,设切线方程为 y ? y0 ? k ( x ? x0 )

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即 y ? y0 ? k ( x ? x0 ) ,与椭圆方程

x2 y2 ? ? 1 联立,并整 理得, 9 4

(9k 2 ? 4) x 2 ? 18k ( y0 ? kx0 ) x ? 9[( y0 ? kx0 ) 2 ? 4] ? 0 ,
依题意, ? ? 0 ,即 (18k ) 2 ( y0 ? kx0 ) 2 ? 36(9k 2 ? 4) ? [( y0 ? kx0 ) 2 ? 4] ? 0 即 4( y0 ? kx0 ) 2 ? 4(9k 2 ? 4) ? 0

? ( x0 ? 9)k 2 ? 2 x0 y0 k ? y0 ? 4 ? 0.
? 两切线互相垂直,? k1k 2 ? ?1
y0 ? 4 x0 ? 9
2 2

2

2



? ?1 ,? x0 2 ? y0 ? 13,

2

显然 (?3,?2), (3,?2) 这四点也满足方程 x0 2 ? y0 ? 13

2

?点P的轨迹方程为 x0 2 ? y0 ? 13
21、 f ( x) ? x ? a ? ln x(a ? 0). (1)若 a ? 1 ,求 f ( x) 的单调区间及 f ( x) 的最小值; (2)若 a ? 0 ,求 f ( x) 的单调区间; (3)试比较 的结论. 答案为:解: (1)a ? 1, f ( x) ? x ? 1 ? ln x, 当 x ? 1 时, f ( x) ? x ? 1 ? ln x, f ' ( x) ? 1 ?
? f ( x) 在区间 [1,??) 上是递增的 .
1 ? 0. x

2

ln 2 2 ln 3 2 ln n 2 (n ? 1)(2n ? 1) ? ? ? ? 与 的大小 (n ? N ? 且n ? 2) ,并证明你 2 2 2 2(n ? 1) 2 3 n

当 0 ? x ? 1 时, f ( x) ? 1 ? x ? ln x, f ' ( x) ? ?1 ?

1 ? 0. x
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? f ( x) 在区间(0,1)上是递减的

故 a ? 1 时, f ( x) 的递增区间为 [1,??) ,递减区间为(0, 1), f ( x) min ? f (1) ? 0. (2)①若 a ? 1, 当 x ? a 时, f ( x) ? x ? a ? ln x, f ' ( x) ? 1 ?
? f ( x) 在区间 [a,??) 上是递增的 .

1 ? 0. x

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当 0 ? x ? a 时, f ( x) ? a ? x ? ln x, f ' ( x) ? ?1 ?
? f ( x) 在区间 (0, a ) 上是递减的

1 ? 0. x

②若 0 ? a ? 1, 当 x ? a 时, f ( x) ? x ? a ? ln x, f ' ( x) ? 1 ?
1 x ?1 ? , x x

当 x ? 1 时, f ' ( x) ? 0, 当 a ? x ? 1 时, f ' ( x) ? 0, 则 f ( x) 在区间 [1,??) 上是递增的,在区间 [a,1) 上是递减的; 当 0 ? x ? a 时, f ( x) ? a ? x ? ln x, f ' ( x) ? ?1 ?
1 ? 0. x

? f ( x) 在区间 (0, a ) 上是递减的,而 f ( x) 在 x ? a 处有意义,

则 f ( x) 在区间 [1,??) 上是递增的,在区间上 (0,1) 是递减的. 综上,当 a ? 1 时, f ( x) 的 递增区间为 [a,??) ,递减区间为 (0, a ) ; 当 0 ? a ? 1 时, f ( x) 的递增区间为 [1,??) ,递减区间为 (0,1) ;
ln x 1 ? 1? , x x

(3)由(1)可知,当 a ? 1, x ? 1 时,有 x ? 1 ? ln x ? 0 ,即

1 1 1 1 1 1 ln 2 2 ln 3 2 ln n 2 ? 2 ? 2 ??? 2 ? 1? 2 ?1? 2 ???1? 2 = n ?1? ( 2 ? 2 ? ? ? 2 ) 2 3 n 2 3 n 2 3 n 1 1 1 ? n ?1? [ ? ??? ] 2 ? 3 3? 4 n ? (n ? 1) 1 1 1 1 1 1 ? n ?1? ( ? ? ? ? ? ? ? ) 2 3 3 4 n n ?1 1 1 (n ? 1)(2n ? 1) ? n ?1? ( ? )? 2 n ?1 2(n ? 1)



ln 2 2 ln 3 2 ln n 2 (n ? 1)(2n ? 1) ? ? ? ? < , n ? N ? 且n ? 2 2 2 2 2(n ? 1) 2 3 n

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高三零诊考试数学试题(理科答案)
一、选择题:CADBC 二、11 .(-1,1) 14. ? , ? ?7 3 ? CAABD 12.-160 13.

2? 3

?1 1 ?

15.

21 2

三、16、解:(1)

f ( x) ?

1 3 ? sin 2 x 2 2

所以当 2 x ? ?

?
2

? 2k? ,即 x ? ?

?
4

? k? (k∈Z)时,

f(x)取得最大值 , f ( x) max ?

1? 3 ,f(x)的最小正周期 T ? ? , 2

故函数 f(x)的 最大值为

1? 3 2

,最小正周期为 ? .

(2)由已知得

1 3 1 ? sin C ? ? , 2 2 4

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解得 sin C ?

? 3 .又 C 为锐角,所以 C ? . 3 2

由 cos B ?

2 2 1 求得 sin B ? . 3 3

因此 sinA=sin[π -(B+C)]=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC
2 2? 3 . 6



17、解:(1)设 q 为等比数列{an}的公比,
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则由 a1=2,a3=a2+4 得 2q2=2q+4,即 q2-q-2=0, 解得 q=2 或 q=-1(舍去),因此 q=2. 所以{an}的通项为 an=2·2n-1=2n(n∈N*).
2(1 ? 2 n ) n(n ? 1) ? n ?1 ? ? 2 ? 2 n?1 ? n 2 ? 2 1? 2 2

(2) S n ?

18、解:记 A 表示事件:该地的 1 位车主购买甲种保险;

B 表示事件:该地的 1 位车主购买乙种保险但不购买甲种保险; C 表示事件:该地的 1 位车主至少购买甲、乙两种保险中的 1 种; D 表示事件:该地的 1 位车主甲、乙两种保险都不购买.
(1)P(A)=0.5,P(B)=0.3,C=A+B,

P(C)=P(A+B)=P(A)+P(B)=0.8.
(2) D ? C ,P(D)=1-P(C)=1-0.8=0.2,

X~B(100,0.2),即 X 服从二项分布,
所以期望 EX=100×0.2=20. 19、解:(1)证明:由题设知,三棱柱的侧面为矩形. 由于 D 为 AA1 的中点,故 DC=DC1. 又 AC ?
1 AA1 ,可得 DC12+DC2=CC12, 2

所以 DC1⊥DC.而 DC1⊥BD,DC∩BD=D,所以 DC1⊥平面 BCD.

BC ? 平面 BCD,故 DC1⊥BC.
(2)由(1)知 BC⊥DC1,且 BC⊥CC1,

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则 BC⊥平面 ACC1,所以 CA,CB,CC1 两两相互垂直.
? ? 以 C 为坐标原点,C A 的方向为 x 轴的正方向, C A 为单位长,建立如 图所示的空间直

角坐标系 C-xyz.

由题意知 A1(1,0,2),B(0,1,0),D(1,0,1),C1(0,0,2).

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? ? ? 则 A1 D ? (0,0,?1) , B D ? (1,?1,1) DC1 ? (?1,0,1) ,
设 n=(x,y,z)是平面 A1B1BD 的法向量,
? ? n ? BD ? 0 ?x ? y ? z ? 0 ? 则? ,即 ? ,可取 n=(1,1,0). z?0 ? ?n ? A1 D ? 0

同理,设 m 是平面 C1BD 的法向量,
? ? m ? BD ? 0 ? 可取 m=(1,2,1). ? ?m ? D C1 ? 0

cos ? n, m ??

n?m 3 . ? nm 2

故二面角 A1-BD-C1 的大小为 30°

c 5 5 ? ? a a 3 2 2 2 20、? a ? 3, b ? a ? c ? 4 解:( 1 ) ? c ? 5, e ? ? 椭圆C标准方程为 x2 y2 ? ?1 9 4
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(2)①若一切线垂直 x 轴,则另一切线垂直于 y 轴,则这样的点 P 共有 4 个,它们的 坐标分别为 (?3,?2), (3,?2) .

②若两切线不垂直于坐标轴,设切线方程为 y ? y0 ? k ( x ? x0 )

即 y ? y0 ? k ( x ? x0 ) ,与椭圆方程

x2 y2 ? ? 1 联立,并整理得, 9 4

(9k 2 ? 4) x 2 ? 18k ( y0 ? kx0 ) x ? 9[( y0 ? kx0 ) 2 ? 4] ? 0 ,
依题意, ? ? 0 ,即 (18k ) 2 ( y0 ? kx0 ) 2 ? 36(9k 2 ? 4) ? [( y0 ? kx0 ) 2 ? 4] ? 0 即 4( y0 ? kx0 ) 2 ? 4(9k 2 ? 4) ? 0

? ( x0 ? 9)k 2 ? 2 x0 y0 k ? y0 ? 4 ? 0.
? 两切线互相垂直,? k1k 2 ? ?1

2

2

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y0 ? 4 x0 ? 9
2

2

? ?1 ,? x0 2 ? y0 ? 13,

2

显然 (?3,?2), (3,?2) 这四点也满足方程 x0 2 ? y0 ? 13

2

?点P的轨迹方程为 x0 2 ? y0 ? 13
21、F 解: (1)a ? 1, f ( x) ? x ? 1 ? ln x, 当 x ? 1 时, f ( x) ? x ? 1 ? ln x, f ' ( x) ? 1 ?
? f ( x) 在区间 [1,??) 上是递增的 .
1 ? 0. x 1 ? 0. x

2

当 0 ? x ? 1 时, f ( x) ? 1 ? x ? ln x, f ' ( x) ? ?1 ?
? f ( x) 在区间(0,1)上是递减的

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故 a ? 1 时, f ( x) 的递增区间为 [1,??) ,递减区间为(0,1), f ( x) min ? f (1) ? 0.
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(2)①若 a ? 1, 当 x ? a 时, f ( x) ? x ? a ? ln x, f ' ( x) ? 1 ?
? f ( x) 在区间 [a,??) 上是递增的 .
1 ? 0. x 1 ? 0. x

当 0 ? x ? a 时, f ( x) ? a ? x ? ln x, f ' ( x) ? ?1 ?
? f ( x) 在区间 (0, a ) 上是递减的

②若 0 ? a ? 1, 当 x ? a 时, f ( x) ? x ? a ? ln x, f ' ( x) ? 1 ?
1 x ?1 ? , x x

当 x ? 1 时, f ' ( x) ? 0, 当 a ? x ? 1 时, f ' ( x) ? 0, 则 f ( x) 在区间 [1,??) 上是递增的,在区间 [a,1) 上是递减的; 当 0 ? x ? a 时, f ( x) ? a ? x ? ln x, f ' ( x) ? ?1 ?
1 ? 0. x

? f ( x) 在区间 (0, a ) 上是递减的,而 f ( x) 在 x ? a 处有意义,

则 f ( x) 在区间 [1,??) 上是递增的,在区间上 (0,1) 是递减的. 综上,当 a ? 1 时, f ( x) 的递增区间为 [a,??) ,递减区间为 (0, a ) ; 当 0 ? a ? 1 时, f ( x) 的递增区间为 [1,??) ,递减区间为 (0,1) ;
ln x 1 ? 1? , x x

(3)由(1)可知,当 a ? 1, x ? 1 时,有 x ? 1 ? ln x ? 0 ,即

?

1 1 1 1 1 1 ln 2 2 ln 3 2 ln n 2 ? 1? 2 ?1? 2 ???1? 2 = n ?1? ( 2 ? 2 ? ? ? 2 ) ? ? ? ? 2 2 2 2 3 n 2 3 n 2 3 n 1 1 1 ? n ?1? [ ? ??? ] 2 ? 3 3? 4 n ? (n ? 1)

1 1 1 1 1 1 ? n ?1? ( ? ? ? ? ? ? ? ) 2 3 3 4 n n ?1 1 1 (n ? 1)(2n ? 1) ? n ?1? ( ? )? 2 n ?1 2(n ? 1)



ln 2 2 ln 3 2 ln n 2 (n ? 1)(2n ? 1) ? ? ? ? < , n ? N ? 且n ? 2 2(n ? 1) 22 32 n2

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