第二章 圆锥曲线与方程 第二讲双曲线


第二章

圆锥曲线与方程 双曲线

第二讲

[知识梳理]
[知识盘点] 1 . 双 曲 线 的 定 义 : 我 们 把 平 面 内 与 两 个 定 点 F1 , F2 的 距 离 的 差 的 绝 对 值 等 于 常 数 (

| F1 , F2 | )的点的轨迹叫做双曲线,用符号表示为
,两个焦点之间的距离叫做双曲线的 。

。这两个

定点叫双曲线的

2. 双曲线的第二定义: 平面内, 到定点 F (c,0) (或 F (0, c) )的距离与到定直线 l : 距离之比是常数

的 ,

c (即 a

)的动点的轨迹叫做双曲线,这个定点是双曲线的 ,其中常数

这条定直线叫做双曲线的

c 叫做双曲线的 a



二.双曲线的标准方程 3.当双曲线的焦点在 x 轴上时,双曲线的标准方程为

,其中焦点坐标为

F1 (c,0) , F1 (?c,0) ,且 c 2 ?

; ,其中焦点坐标为

当双曲线的焦点在 y 轴上时,双曲线的标准方程为

F1 (0, c) , F1 (0,?c) ,且 c 2 ?

.

当且仅当双曲线的中心在坐标原点,其焦点在坐标轴上时,双曲线的方程才是标准形式。 三.双曲线的几何性质 方程

x2 y 2 ? ?1 a 2 b2
y

y 2 x2 ? ?1 a 2 b2
y B2 F2





F1

A1

O

A2

F2

x

O B1 F1

x

x ? ?a 或
范围 对称性

x ? a, y ? R
关于 x 轴, y 轴及原点对称 关于 x 轴, y 轴及原点对称

顶点 离心率

B1 (?b,0), B2 (b,0)
e? c (e ? 1) a

准线 渐近线

x??

a2 c
y?? a x b

[特别提醒] 本节的重点是双曲线的定义、方程、几何性质.难点是理解参数 a、b、c、e 的关系及渐 近线方程、准线方程、第二定义的应用.关键是准确理解和掌握有关概念,灵活地运用数形 结合、函数与方程的思想及等价转化的思想.为此建议在复习中注意以下几点: 1.双曲线中有一个重要的 Rt△OAB(如下图) ,它的三边长分别是 a、b、c.易见 c2=a2+b2, 若记∠AOB=θ ,则 e=

c 1 = . a cos ?

y B c F1 O ? aA b F2 x

2.双曲线的定义用代数式表示为||MF1|-|MF2||=2a,其中 2a<|F1F2|,这里要注意两点: (1)距离之差的绝对值. (2)2a<|F1F2|,这两点与椭圆的定义有本质的不同. 当|MF1|-|MF2|=2a 时,曲线仅表示焦点 F2 所对应的一支; 当|MF1|-|MF2|=-2a 时,曲线仅表示焦点 F1 所对应的一支; 当 2a=|F1F2|时,轨迹是一直线上以 F1、F2 为端点向外的两条射线; 当 2a>|F1F2|时,动点轨迹不存在. 3.参数 a、b 是双曲线的定形条件,两种标准方程中,总有 a>0,b>0;双曲线焦点位置决 定标准方程的类型;a、b、c 的关系是 c2=a2+b2;在方程 Ax2+By2=C 中,只要 AB<0 且 C≠ 0,就是双曲线的方程. 4.在运用双曲线的第二定义时, 一定要注意是动点 P 到焦点的距离与到相应准线距离之比为 常数 e.若使用的焦点与准线不是对应的,则上述之比就不再是常数了. 5.给定了双曲线方程, 就可求得确定的两条渐近线.但已知渐近线方程, 只是限制了双曲线张 口的大小,不能直接写出双曲线方程.但若已知渐近线方程是

y x ± =0,则可把双曲线方程 a b

表示为

y2 x2 - 2 = ? ( ? ≠0) ,再根据已知条件确定 ? 的值,求出双曲线的方程. a2 b

[基础闯关]
1.设 P 是双曲线

y2 x2 - =1 上一点,双曲线的一条渐近线方程为 3x-2y=0,F1、F2 分别 9 a2
) (D)9

是双曲线的左、右焦点.若|PF1|=3,则|PF2|等于( (A)1 或 5 (B)6 (C)7

2. (2005 年北京春) “ab<0”是“曲线 ax2+by2=1 为双曲线”的 (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分又不必要条件 3.过点(2,-2)且与双曲线 (A)

y2 x2 - =1 2 4

x2 -y2=1 有公共渐近线的双曲线方程是( ) 2 y2 y2 y2 x2 x2 x2 (B) - =1 (C) - =1 (D) - =1 4 2 4 2 2 4

4.(2006 年陕西卷)已知双曲线 线的离心率为 ( (A) ) (B)

? x2 y 2 ? ? 1(a ? 2) 的两条渐近线的夹角为 ,则双曲 2 3 a 2
(C) 3 (D)2

2 3 3

2 6 3

y2 x2 - =1 的一个顶点和一个焦点,且圆心在此双曲线上,则圆心 9 16 到双曲线中心的距离是____________. y2 x2 6.给出问题:F1、F2 是双曲线 - =1 的焦点,点 P 在双曲线上.若点 P 到焦点 F1 的 16 20 距离等于 9,求点 P 到焦点 F2 的距离.某学生的解答如下:双曲线的实轴长为 8,由||PF1|- |PF2||=8,即|9-|PF2||=8,得|PF2|=1 或 17. 该学生的解答是否正确?若正确,请将他的解题依据填在下面横线上;若不正确,将正 确结果填在题中的横线上.______________________________________________________.
5.已知圆 C 过双曲线

[典例精析]
例 1.设双曲线与椭圆 求双曲线的方程。 [剖析]由于椭圆的焦点坐标为 (0, ?3) ,且双曲线与椭圆具有相同的焦点,知双曲线的焦 点也为 (0, ?3) ,从而知所设双曲线的形式应为

x2 y 2 ? ? 1 有共同的焦点,且与椭圆相交,一个交点的纵坐标为 4, 27 36

y 2 x2 ? ? 1 ,围绕定义产生的问题,要注意 a 2 b2

|| AF1 | ? | AF2 ||? 2a 的三个量之间的关系。本题抓住“交点 A ”在双曲线上,必须满足定
义,从而应用定义求出双曲线方程中的基本量。 [解]解法一:由椭圆

x2 y 2 ? ? 1 ,得其焦点为 (0, ?3) 或 (0,3) ,? 双曲线的焦点在 y 轴 27 36

上,设所求的双曲线方程为

y 2 x2 ? ? 1 ( a ? 0, b ? 0 ). 由已知得双曲线两焦点分别为 a 2 b2

F1 (0, ?3), F2 (0,3) ,且与椭圆相交其中一个交点的纵坐标为 4,设交点坐标为 (m, 4) ,从而


m2 16 ? ? 1 ,解得 m ? 15 , 27 36
2 2 2 2

则 2a ? || AF1 | ? | AF2 ||?| ( 15 ? 0) ? (4 ? 3) ? ( 15 ? 0) ? (4 ? 3) |? 4 解得 a ? 2 ,由于 c ? 3 ,得 b ? 5 ,因此方程

y 2 x2 ? ? 1 即为所求. 4 5

x2 y2 ? ? 1(27 ? ? ? 36) ,将 A( 15, 4 )代入求得 解法二:由题意设双曲线方程为 27 ? ? 36 ? ?

? ? 0(舍)或? ? 32 ,故所求双曲线方程为

y 2 x2 ? ?1. 4 5

[警示]利用定义法来求解双曲线的标准方程时,一定要抓住题设所给出的独立条件建立

a, b, c 之间的等量关系,再利用 c 2 ? a 2 ? b2 运用方程的思想来求解,从而得到 a , b 的值。
但需注意首先应判断焦点的位置,以便于采用哪种形式的方程。 [变式训练]: 1. 根据下列条件,求双曲线方程:

y2 x2 - =1 有共同的渐近线,且过点(-3,2 3 ) ; 9 16 y2 x2 (2)与双曲线 - =1 有公共焦点,且过点(3 2 ,2). 16 4
(1)与双曲线

例 2.设点 P 到点 M(-1,0) 、N(1,0)距离之差为 2m,到 x 轴、y 轴距离之比为 2,求 m 的取值范围. [剖析]由|PM|-|PN|=2m,得||PM|-|PN||=2|m|.知点 P 的轨迹是双曲线,由点 P 到 x 轴、y 轴距离之比为 2,知点 P 的轨迹是直线,由交轨法求得点 P 的坐标,进而可求得 m 的取值 范围. | y| [解]设点 P 的坐标为(x,y) ,依题意得 =2,即 y=±2x(x≠0) ① |x|

因此,点 P(x,y) 、M(-1,0) 、N(1,0)三点不共线,得||PM|-|PN||<|MN|=2. ∵||PM|-|PN||=2|m|>0,∴0<|m|<1.因此,点 P 在以 M、N 为焦点,实轴长为 2|m|的双曲 线上.故设

y2 x2 - =1. 1 ? m2 m2



将①代入②,并解得 x2=

m 2 (1 ? m 2 ) , 1 ? 5m 2
5 , 5

∵1-m2>0,∴1-5m2>0.解得 0<|m|< 即 m 的取值范围为(-

5 5 ,0)∪(0, ). 5 5

[警示]求双曲线的方程,关键是求 a、b,在解题过程中应熟悉各元素(a、b、c、e 及准 线)之间的关系,并注意方程思想的应用. [变式训练] 2.(2007 年上海浦东)已知曲线 C : x2 ? y y ? 1 (| x |? 4 ) . (1)画出曲线 C 的图像, (2)若直线 l : y ? k x ? 1 与曲线 C 有两个公共点,求 k 的取值范围; (3)若 P ? 0, ? ? p ? 0 ? , Q 为曲线 C 上的点,求 PQ 的最小值. p
y 4 3 2 1 -4 -3 -2 -1 O -1 1 2 3 4 x

例 3.已知双曲线 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,点 P(?2, 0) 与其渐近线的距离为 过点 P 作斜率为

10 , 5

1 的直线交双曲线于 A, B 两点,交 y 轴于 M,且 | PM | 是 | PA | 与 | PB | 的 6

等比中项. (1)求双曲线 C 的渐近线方程; (2)求双曲线 C 的方程. [剖析](1)由点 P(?2,0) 与其渐近线的距离为

10 ,借助于点到直线的距离公式可求得其 5
1 ,即双曲 3

渐近线方程;(2)由渐近线方程,可设双曲线方程,再借助于题条件,不难得到双曲线方程。 [解](1)设双曲线的一条渐近线方程为 y ? kx ,由点到直线的距离公式得 k ? ? 线的渐近线方程为 y ? ?

1 x; 3

(2)设双曲线方程为 x2 ? 9 y 2 ? m(m ? 0) , A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,

? x2 ? 9 y 2 ? m 1 ? 2 则直线 AB 的方程为 y ? ( x ? 2) .由 ? 得 3x ? 4 x ? 4 ? 4m ? 0 , 1 6 ? y ? ( x ? 2) 6 ?
当 ? ? 16 ? 3 ? (1 ? m) ? 0 即 m ? ?

4 4 4 时,有 x1 ? x2 ? , x1 x2 ? ? (1 ? m) 3 3 3

由 | MP |2 ?| PA |? PB | 可得 | ( x1 ? 2)( x2 ? 2) |? 4 ,从而 m ? 7 或 m ? 1 . | 故所求的双曲线方程为

x2 9 y2 ? ? 1 或 x2 ? 9 y 2 ? 1 . 7 7

[警示]渐近线是双曲线特有的,如果说双曲线的方程为

x2 y 2 ? ? 1 ,则其渐近线方程可记 a 2 b2



x2 y 2 x2 y 2 x2 y2 ? 2 ? 0 .同时,以 2 ? 2 ? 0 为渐近线的双曲线,其方程可设为 2 ? 2 ? ? ;若已知双曲 a2 b a b a b

线的渐近线方程是以 ax±by=0 的形式给出的, 则可设双曲线方程为 a2x2-b2y2= ? ( ? ≠0) . [变式训练] 3.已知双曲线关于两坐标轴对称,且与圆 x2 ? y 2 ? 10 相交于点 P(3, ?1) ,若此圆过点 P 的 切线与双曲线的渐近线平行,求此双曲线的方程。

例 4.已知直线 y ? kx ? 1 与双曲线 3x ? y ? 1 相交于 A、B 两点,那么是否存在实数 k 使 得 A, B 两点关于直线 x ? 2 y ? 0 对称?若存在,求出 k 的值;若不存在,说明理由。
2 2

[剖析]这是一类非常典型的题目上,“已知曲线 C : mx ? ny ? 1(mn ? 0, m ? n ? 0) 上
2 2

是否存在相异的两点 A, B ,使 A, B 关于定直线 y ? kx ? b 对称”这类问题的基本解决思路 是:若存在 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 是曲线 C 上相异两点,它们关于 y ? kx ? b 对称.设 AB 的中 点 为 ( x0 , y0 ) , 则 ?

?mx12 ? ny12 ? 1
2 2 ?mx2 ? ny2 ? 1

x x ? m( 1 ? x) ( 1? 2

x)? 2

n 1? ( y

2

y ( ?y 即 ) 1 , 2y )

m ? 2 x0 ? n ? 2 y0 ?

1 y1 ? y2 , mx0 ? ny0 ? (? ) ? ny0 ? mkx0 ? 0 ? k x1 ? x2

①, y0 ? kx0 ? b 又

②,

?nb ? ? x0 ? (m ? n)k ? 由①②可解得 ? ,根据坐标 x0 , y0 的范围,不难得出答案。 ? y ? kmb ? 0 ( m ? n) k ?
[解]设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,若存在这样的 k ,使 A, B 两点关于直线 x ? 2 y ? 0 对称,则

?3x 2 ? y 2 ? 1 y2 ? y1 ,两式相减得: ? ?2 ,且 AB 的中点 ( x0 , y0 ) 满足 x0 ? 2 y0 ? 0 .由 ? 12 12 x2 ? x1 ?3x2 ? y2 ? 1 x x ?x y ?y 3( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) ? ( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) , ? 3 ? 1 2 ? 1 2 , ? 3 ? 0 ? ?2 , 即 y1 ? y2 x1 ? x2 y0 3 3 y0 ? ? x0 ,又 x0 ? 2 y0 ,? y0 ? ? ? 2 y0 即 y0 ? ?3 y0 ,? y0 ? 0 ,从而 x0 ? 0 ,这显 2 2
然是不可能的,故不存在这样的直线。 [警示] 对于类似的探索性题目, 我们一般假设符合题设条件的直线存在, 从这个假设出发, 如果能够推导出 k 的值,则说明这样的直线是存在的;如果推导不出 k 的值,或者说推导出 矛盾的结果,这就说明满足条件的 k 值不存在。 [变式训练] 4.已知双曲线

y2 x2 - 2 =1 的离心率 e ? 1 ? 2 ,左、右焦点分别为 F1、F2,左准线为 l, a2 b

能否在双曲线的左支上找一点 P,使得|PF1|是 P 到 l 的距离 d 与|PF2|的等比中项?

例 5.双曲线

x2 y2 ? ? 1(a ? 1, b ? 0) 的焦距为 2c,直线 l 过点(a,0)和(0,b),且 a2 b2
4 c. 求双曲线的离心率 e 5

点(1,0)到直线 l 的距离与点(-1,0)到直线 l 的距离之和 s ? 的取值范围.

[剖析]本题是求双曲线的离心率取值范围问题,根据题设中的独立条件建立关于 a, b, c 的 等式或不等式,再利用 a ? b ? c 与 e ?
2 2 2

c 进行求解。 a

[解]直线 l 的方程为

x y ? ? 1 ,即 bx ? ay ? ab ? 0. a b

由点到直线的距离公式,且 a ? 1 ,得到点(1,0)到直线 l 的距离 d1 ?

b(a ? 1) a2 ? b2



同理得到点(-1,0)到直线 l 的距离 d 2 ?

b(a ? 1) a2 ? b2

s ? d1 ? d 2 ?

2ab a ?b
2 2

?

2ab . c

由s ?

4 2ab 4 c, 得 ? c, 5 c 5



5a c 2 ? a 2 ? 2c 2 .

于是得

5 e 2 ? 1 ? 2e 2 ,
5 ? e 2 ? 5. 4

即4e 4 ? 25e 2 ? 25 ? 0.

解不等式,得

由于 e ? 1 ? 0, 所以 e 的取值范围是

5 ? e ? 5. 2

[警示]求方程的离心率的最值(或范围)问题,往往需要借僵双曲线的定义、图象、范围和 性质,正(余)弦函数的有界性等,结合 a, b, c 的关系,构造出一个关于离心率的不等式,从 而达到求解的目的。 [变式训练] 5.设双曲线 C:

x2 ? y 2 ? 1(a ? 0)与直线l : x ? y ? 1 相交于两个不同的点 A、B.求双曲 2 a

线 C 的离心率 e 的取值范围。

例 6. (2006 年北京宣武区) 神舟 6 号飞船返回仓顺利到达地球后, 为了及时将航天员救出, 地面指挥中心在返回仓预计到达区域安排三个救援中心(记为 A,B,C),B 在 A 的正东 方向,相距 6km,C 在 B 的北偏东 30°,相距 4km,P 为航天员着陆点,某一时刻 A 接到 P 的求救信号,由于 B、C 两地比 A 距 P 远,因此 4s 后,B、C 两个救援中心才同时接收到 这一信号,已知该信号的传播速度为 1km/s。 (I)求 A、C 两个救援中心的距离; (II)求在 A 处发现 P 的方向角; (III)若信号从 P 点的正上方 Q 点处发出,则 A、B 收到信号的时间差变大还是变小, 说明理由。 [剖析]对于(1)以借助于两点间的距离公式得到;(2)抓住 | PA |?| PB | 这一条件可知 P 在 BC 线段的垂直平分线上且 | PB | ? | PA |? 4 ,由双曲线的定义,可得 P 在以 A、B 为焦点的 双曲线的左支上,从而求出其对应的方程;(3)是一个比较大小的问题,一般的处理思路是 作差法比较. [解]解:(I)以 AB 中点为坐标原点,AB 所在直线为 x 轴建立平面直角坐标系,则

A? ?3, 0? ,B?3, 0? ,C 5, 2 3
则 AC ?

?

?

?5 ? 3? 2 ? ? 2

3

?

2

? 2 19 km

即 A、C 两个救援中心的距离为 2 19 km (II) ∵| PC| ?| PB| ,所以 P 在 BC 线段的垂直平分线上 又 ∵| PB|?| PA| ? 4 ,所以 P 在以 A、B 为焦点的双曲线的左支上,且 AB ? 6

∴双曲线方程为

x2 y2 ? ? 1 ? x ? 0? 4 5

BC 的垂直平分线的方程为 x ? 3 y ? 7 ? 0 联立两方程解得: x ? ?8

∴P ?8,5 3 ,k PA ? tan ∠PAB ? ? 3 ∴∠PAB=120°
所以 P 点在 A 点的北偏西 30°处. (III)如图,设 PQ ? h, PB ? x, PA ? y

?

?

∵ QB ? QA ?
? x2 ? y2 x 2 ? h2 ?

x 2 ? h2 ?

y 2 ? h2
x?y x 2 ? h2 ? y 2 ? h2
| QB | | QA | | PB | | PA | ? ? ? 1 1 1 1

y 2 ? h2

? ? x ? y ??

又∵

x?y x ?h ?
2 2

y ?h
2

2

? 1,?| QB | ? | QA |?| PB | ? | PA |,?

即 A、B 收到信号的时间差变小,且 B, C 两救援中心收到信号的时间少于 4 秒。 [警示]面对实际问题,首先要构建数学模型,将实际问题转化为数学问题。本题抓住“A 听到该巨响的时间比其它两测试点晚 4s”想到差为定值,结合双曲线的定 义,将实际问题转化为双曲线问题,进一步产生双曲线方程,从而顺利完 成求解.从本题可以看出:抓住问题的本质促使转化是非常重要的一环. [变式训练] D 6. 如图所示, 某农场在 M 处有一堆肥料沿道路 MA 或 MB 送到大田 ABCD 中去,已知|MA|=6,|MB|=8,|BC|=3, ?AMB ? 90 ,能否在大田中确定
0

C

A M

B

一条界线,使位于界线一侧的点沿 MA 送肥料较近,而另一侧沿 MB 送肥 料较近?若能,请建立适当的直角坐标系,求出这条界线的方程.

[能力提升]
y2 x ? ? 1 表示双曲线”的( ) k ?3 k ?3 (A)充分不必要条件.(B)必要不充分条件. (C)充要条件.(D)既不充分也不必要条件.
1.若 k ? R ,则“ k ? 3 ”是“方程
2

x 2 y2 1 2.(2006 年江西卷)P 是双曲线 - = 的右支上一点,M、N 分别是圆(x+5)2+ 9 16
y2=4 和(x-5)2+y2=1 上的点,则|PM|-|PN|的最大值为( ) (A) 6 (B)7 (C)8 (D)9 y2 x2 3.如果双曲线 - =1 上一点 P 到它的右焦点的距离是 8,那么 P 到它的右准线距离 64 36 是( )

(A)10

(B)

32 7 7

(C)2 7

(D)

32 5

4.(2006 年福建卷)已知双曲线
o

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的右焦点为 F,若过点 F 且倾斜 a 2 b2

角为 60 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则此双曲线离心率的取值范围是 ( ) (A) (1, 2] (B) (1, 2) (C) [2, ??) (D) (2, ??) 5.(2006 年全国卷 I)双曲线 mx 2 ? y 2 ? 1 的虚轴长是实轴长的 2 倍,则 m ? ( (A) ? )

1 4

(B) ?4

(C) 4

(D)

1 4

6.若双曲线的渐近线方程为 y ? ?3x ,它的一个焦点是 ( 10,0) ,则双曲线的方程是 __________。

x2 y2 7.双曲线 =1 的两个焦点为 F1、F2,点 P 在双曲线上,若 PF1⊥PF2,则点 P 到 ? 9 16
x 轴的距离为 .

8.(2005 年湖南卷)已知双曲线

x2 y2 - 2 =1(a>0,b>0)的右焦点为 F,右准线与一 a2 b a2 (O 为原点),则两条渐近线的夹角为 2

条渐近线交于点 A,△OAF 的面积为
2

9.已知双曲线 x

2

y ?

2

? 1 的焦点为 F1、F2,点 M 在双曲线上且 MF1 ? MF 2 ? 0, 则点 M 到 x

???? ????? ?

轴的距离为 10.(2006 年江苏卷)已知三点 P(5,2)、 F1 (-6,0)、 F2 (6,0)。 (Ⅰ)求以 F1 、 F2 为焦点且过点 P 的椭圆的标准方程; (Ⅱ)设点 P、 F1 、 F2 关于直线 y=x 的对称点分别为 P? 、 F1' 、 F2' ,求以 F1' 、 F2' 为焦点 且过点 P? 的双曲线的标准方程。

y2 x2 - =1 的上支上有三点 A(x1,y1) ,B(x2,6) ,C(x3,y3) ,它们 12 13 与点 F(0,5)的距离成等差数列. (1)求 y1+y3 的值;
11. 如下图,在双曲线 (2)证明:线段 AC 的垂直平分线经过某一定点,并求此点坐标.

y C F B A l A 1 B1 C 1 A 2 B2 C 2 x

O
12. (2006 年安徽卷)如图,F 为双曲线 C:

x2 y 2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的右焦点.P 为双曲 a 2 b2 O 线 C 右支上一点, 且位于 x 轴上方, 为左准线上一点, 为坐标原点。 M 已知四边形 OFPM 为平行四边形, PF ? ? OF . (Ⅰ )写出双曲线 C 的离心率 e 与 ? 的关系式; (Ⅱ )当 ? ? 1 时,经过焦点 F 且平行于 OP 的直线交双曲线于 A、B 点,若 AB ? 12 ,求
此时的双曲线方程. y H

M O

P x F


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