创新课堂2013高考数学总复习 第3节 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词_图文

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第一单元

第一单元 集合与常用逻辑用语

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第一单元

第三节 简单的逻辑联结词、全称量词与存 在量词

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第一单元

考纲解读
1. 简单的逻辑连结词

了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义.
2. 全称量词与存在量词 (1)理解全称量词和存在量词的意义. (2)能正确地对含一个量词的命题进行否定.

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第一单元

知识汇合
?

p且q型:若p、q真,则p且q为
且q为

;若p、q一真一假,则p 真 .

;若p、q假,则p且q为 假 ;若p、q假,则p或q为 .

?

p或q型:若p、q真,则p或q为 假
则p或q为

;若p、q一真一假,



真 假

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2. 全称量词

第一单元

所有的 任意一个 (1)短语“________”、“ ________”在逻辑中通常叫做全称量词,并

用符号“?”表示.
全称量词 (2)含有________的命题,叫做全称命题.

(3) 全 称 命 题 “ 对 M 中 任 意 一 个 x , 有 p(x) 成 立 ” 可 用 符 号 简 记 为 :
___________ ,读作“______________________”. ?x∈M,p(x) 对任意x属于M,有p(x)成立

3. 存在量词 (1)短语“________”、“________”在逻辑中通常叫做存在量词,并用 存在一个 至少有一个

符号“?”表示.
存在量词 (2)含有________的命题,叫做特称命题.

(3)特称命题“存在M中的元素x0 ,使p(x0)成立”可用符号简记为:
?x0∈M,p(x0) 存在一个x0属于M,使p(x0)成立 ____________ ,读作“___ ________________________”

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4. 含有一个量词的命题的否定 命题

第一单元
命题的否定

?x∈M,p(x)
?x0∈M,p(x0)

_______________ ?x0∈M, ? p(x0)
?x∈M, ?p(x) _________________

?

?

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第一单元

典例分析
考点一 判断含有逻辑联结词的命题的真假 【例1】 分别指出下列复合命题的形式及构成它的简单命题,并指出复合 命题的真假. (1)5或7是30的约数; (2)菱形的对角线互相垂直平分;

(3)8x-5<2无自然数解.
解 (1)是“p或q”的形式.其中p:5是30的约数(真);q:7是30的约数 (假).为真命题.

(2) 是“p且q”的形式. 其中p:菱形的对角线互相垂直(真);q:菱形的对角 线互相平分(真).为真命题.
(3)是“非p”的形式.其中p:8x-5<2有自然数解.如x=0,则p为真命题. 故“非p”为假命题.

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点拨1

第一单元

正确理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义是解题的关键,应
根据组成各个复合命题的语句中所出现的逻辑联结词进行命题结构与真 假的判断.其步骤为:

确定复合命题 的构成形式



判断其中简单 命题的真假



根据真值表判 断复合命题的 真假

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考点二 全称命题与特称命题真假的判断
【例2】 给出下列命题:①?x∈R,x2+2>0;②?x∈N,x4≥1; ③?x∈Z,x3<1;④?x∈Q,x2=3.其中真命题的个数为( )

第一单元

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

解 因为①中由?x∈R,显然x2≥0,故x2+2>0,所以为真命题; ②中令x=0,易知x4=0,故x4≥1不成立,为假命题;

③中令x=0,易知?x∈Z,x3<1成立,为真命题;
④中由x∈Q得知使x2=3成立的元素x不存在,为假命题.所以真命题的个数 为2,故选B.

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第一单元

点拨2:

1. 要判断一个全称命题是真命题,必须对给定的集合M中的每一个元素x,
验证p(x)成立. 2. 要判断一个全称命题是假命题,只要能举出集合M中的一个x=x0,使 p(x0)不成立即可. 3. 要判断一个特称命题是真命题,只要在给定的集合M中,至少能找到一

个x=x0,使p(x0)成立即可,否则这一特称命题就是假命题.

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考点三 全称命题、特称命题的否定 【例3】 写出下列命题的否定,并判断真假. (1)p:对任意的正数x,>x-1; (2)q:三角形有且仅有一个外接圆;

第一单元

(3)r:存在一个三角形,它的内角和大于180°. ?
解 (1) : ? p:存在正数x,≤x-1,真命题. (2) ? q:存在一个三角形有两个或两个以上的外接圆或没有外接圆,假命 题. (3) ? r:所有三角形的内角和小于或等于180°,真命题.

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点拨3:

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1. 弄清命题是全称命题还是特称命题,是正确写出命题否定的前提. 2. 注意命题所含的量词,没有量词的要结合命题的含义加上量词,再进 行否定. 3. 要判断“ ?p”的真假,可以直接判断,也可以判断“p”的真假,因为p 与 ? p的真假相反. 4. 常见词语的否定形式有: 原语 句 否定 形式 至少有 一个 一个也 没有 至多有 一个 至少有 两个 对任意x∈A使 p(x)真 存在x0∈A使 p(x0)假

是 不 是

都是 不都 是





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第一单元

高考体验
从近两年的高考题来看,全称命题、特称命题的真假判断是高考的热点, 题型为选择题,分值为5分,属中档题目,题目虽小,但考查功能强大, 既考查了基本知识、基本技能,又考查了逻辑推理能力.

预测2013年高考中,全称命题、特称命题的真假判断仍是高考的重点,同 时全称命题、特称命题的否定在2012年高考中极有可能出现,应加强练 习.

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(2012 年高考湖北卷理科 2)命题“ ? x0∈CRQ, A C
?
?
x0
3 3

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∈Q ”的否定是( )

x0?CRQ, x ∈Q
3 0

B D

?
?

x0∈CRQ , x ?Q
0
3 0

x0?CRQ ,

x0

3

∈Q

x0∈CRQ , x ?Q

【答案】D 【解析】存在性命题的否定是全称命题:
?

x0∈CRQ , x ?Q,故选 D.
3 0

(2012 年高考辽宁卷理科 4)已知命题 p:? x1, 2? R, 2) ? f(x1))(x2 ? x1)≥0, x (f(x 则? p 是 (A) (B) (C) (D)
?
?

x1,x2 ? R,(f(x2) ? f(x1))(x2 ? x1)≤0 x1,x2? R,(f(x2) ? f(x1))(x2 ? x1)≤0[来源:学,科,网 Z,X,X,K] x 1,x2? R,(f(x2) ? f(x1))(x2 ? x1)<0 x1,x2 ? R,(f(x2) ? f(x1))(x2 ? x1)<0

?
?

【答案】C 【解析】命题 p 为全称命题,所以其否定 ? p 应是特称命题,又 (f(x2) ? f(x1))(x2 ? x1)≥0 否定为(f(x2) ? f(x1))(x2 ? x1)<0,故选 C.

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练习巩固
1. 判断下列命题的真假: ①?x∈R,-1≤sin x≤1;②?x∈R,sin2x+cos2x>1. 真命题 假命题 命题①为________,②为________. ①② 2.下列命题中真命题的个数是________. ①?x∈R,x≤0;②对于任意自然数n,都有一个自然数s,使得s=n·. n 解析:①②都为真命题.

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3.(2011·大同市高三学情调研)(5) 若函数 (A) (B) (C) (D) 答案:D 解析:易知当 b=0 时,函数 f ( x ) ? x ? b x 是偶函数.[
2

第一单元
,则下列结论正确的是 ?
1

在(0, 在(0, 为奇函数 为偶函数

)上是增函数 )上是减函数

4. 已知命题p且q为假命题,则可以确定(

)

A. p为真命题
B. q为假命题 C. p,q中至少有一个是假命题 D. p,q都是假命题 解析:利用真值表判断.

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真 5. 命题“ 对于任意 x∈R,存在 m∈Z,m2-m<x2+x+1” 是________命题.(填 “ 真” 或“ 假” )
? 1? 3 3 ?x+ ?2+ ≥ >0,故只需 m2 解析:由于对任意 x∈R,x +x+1= 2? 4 4 ?
2

-m≤0,即 0≤m≤1,所以当 m=0 或 m=1 时,对任意 x∈R,m2 -m<x2+x+1 成立,因此命题是真命题. 6.(2012 届浏阳一中高三第一次月考)3.已知条件 p:| x ? 4 | ? 6 ;条 件 q: ( x ? 1) 围是 ( D.(0,+∞) 【答案】B 【解析】因为 | x ? 4 | ? 6 ? ? 2 ? x ? 10 ,
2

? m

2

? 0 (m ? 0)

,若 p 是 q 的充分不必要条件则m 的取值范 B. [9,+∞) C.[19,+∞)

)[来源:学#科#网]

A . [21,+∞)

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第一单元

7.分别指出下列各命题的形式及构成它的简单命题,并指出复合命题的 真假. (1)8或6是30的约数;

(2)矩形的对角线互相垂直平分;
(3)方程x2-2x+3=0没有实数根. 解析:(1)“p或q”,p:8是30的约数(假),q:6是30的约数(真).为真命题. (2)“p且q”,p:矩形的对角线互相垂直(假),q:矩形的对角线互相平分 (真). 为假命题. (3)“非p”, p:x2-2x+3=0有实根(假).故“非p”为真命题.

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③ 8.下列命题的否定表述正确的有________.

①p:面积相等的三角形是全等三角形; ? p:面积相等的三角形不是全 等三角形;

②p:?x∈R,x2-2x+2≥1-x2; ? p:?x∈R,x2-2x+2≥1-x2;
③p:?x∈R,sin x>1; ?p:?x∈R,sin x≤1. ?

解析:① ? p应为:有些面积相等的三角形不是全等三角形;② ? p应为:
?x∈R,x2-2x+2<1-x2.

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2 9.(2 011 年高考陕西卷理科 12)设 n ? N ? , 一元二次方程 x ? 4 x ? n ? 0 有整数根的冲要条件是 n ?

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【答案】3 或 4 【解析】 :由韦达定理得 x 1 ? x 2 ? 4 , 又 n ? N ? 所以 ?
? x1 ? 1 ? x1 ? 2 则 x1 ? x 2 ? 3 或 4 或 ? x2 ? 3 x2 ? 2 ? ?

10.(2011 年高考全国卷理科 3)下面四个条件中,使 a> b 成立的充分而不必要的条件是 (A) a ? b ? 1 【答案】A 【解析】 a ? b ? 1 ? a ? b ? 1 ? a ? b ? 0
? a ? b , 反 之 a ? b 不 能 推 出 a ? b ? 1 故选 A。

(B) a ? b ? 1

(C) a 2 ? b 2

(D) a 3 ? b 3

11.(2011 年高考福建卷理科 2)若 a ? R,则 a=2 是(a-1) (a-2)=0 的 A.充分而不必要条件 C.充要条件 【答案】A 【解析】由 a=2 一定得到(a-1) (a-2)=0,但 反之不成立,故选 A. B.必要而不充分条件 C.既不充分又不必要条件


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