四川省成都市锦江区2016-2017学年高一数学下学期期中试题

四川省成都市锦江区 2016-2017 学年高一数学下学期期中试题

考试时间:120 分钟

总分:150 分

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给的四个选项中,只有一项是符合题目要求

的)

1.式子 sin15? ? sin 75? 的值为(



(A) 1 2

(B) 1 4

2.下列命题中正确的是( )

(A) a ? b, c ? d ? a ? c ? b ? d

(C) ac ? bc ? a ? b

(C) 3 2

(D) 3 4

(B) a ? b ? a ? b cc
(D) ac2 ? bc2 ? a ? b

3.已知正数 a, b 满足 a2 ? b2 ? 1,则 ab 的最大值为( )

(A)1

(B) 2 2

(C) 1 2

(D) 1 4

4.在等差数列{an } 中,若 a1 , a3 , a4 成等比数列,则该等比数列的公比为(



(A) 1 2

(B)1

(C)1 或 1 2

(D)无法确定

5.在三角形 ABC 中,已知 ?B ? 45 ? , c ? 2 2, b ? 4 3 ,则角 A 的大小是(



3

(A)15?

(B) 75?

(C)105?

(D)15? 或 75?

6.已知 tan(? ? ? ) ? 2 ,则 sin 2? ?(



4

(A) 1 3

(B) ? 1 3

(C) ? 3 5

(D) 3 5

7.已知正项等差数列{an } 和正项等比数列{bn }满足, a5 ? b5 ,则下列关系正确的是(



(A) a1 ? a9 ? b1 ? b9

(B) a1 ? a9 ? b1 ? b9

(C) a1 ? a9 ? b1 ? b9

(D) a1 ? a9 ? b1 ? b9

8.若实数 x, y, m, n 满足 x 2 ? y 2 ? a, m2 ? n2 ? b ,则 mx ? ny 的最大值为( )

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(A) a ? b 2

(B) ab

(C) a 2 ? b2 2

(D) ab a?b

9.在 ?ABC 中, sin A ? sin B ? 3 , cos A ? cos B ? 3 ,则 ?ABC 的形状是(



2

2

(A)锐角三角形 (B)钝角三角形

(C)直角三角形

(D)等腰直角三角形

10.已知公差不为零的等差数列{?n} 的前 n 项和为 Sn ,且 S8 ? 4? ,函数 f (x) ? cosx(2sin x ?1) ,


f (?1) ? f (?2 ) ?? ? f (?8 ) 的值为( )

(A) 0

(B) 4?

(C) 8?

(D)与?1 有关

11.若不等式 m ? 1 ? 2 当 x ? (0,1) 时恒成立,则实数 m 的最大值为(



2x 1? x

(A) 9

(B) 9 2

(C) 5

(D) 5 2

12.如图 l1, l2 , l3 是同一平面内的三条平行线, l1与l2 间的距离为 1, l2与l3 间的距离为 2,正三角形

ABC 的三顶点分别在 l1, l2 , l3 上,则△ABC 的边长是( )

(A) 2 3 (C) 3 17
4

(B) 4 6 3
(D) 2 21 3

A l1
B l2
l3 C

二、填空题(本大题共 4 小 题,每小题 5 分)

13.在锐角 ?ABC 中, 2a ? 2bsin A ,则角 B ?

.

14.函数 f (x) ? 2cosx ? cos2x(x ? R) 的值域为

.

15.已知角?, ? ,? 构成公差为 ? 的等差数列.若 cos ? ? ? 2 ,则 cos? ? cos? ?

.

3

3

16.

在数列

{an }

中,

a1

?1



an

?

n2 n2 ?

1

an?1

(n

?

2,

n

?

N*

)

,则数列

{nan2 }

的前 n 项和

Tn =



2教学资料最新版本

三、解答题(解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17.(本小题 10 分)已知 ?ABC 三内角 A, B,C 所对边分别为 a,b, c . (Ⅰ)若 a, b, c 成等比数列,求角 B 的 最大值; (Ⅱ)若 a2 , b2 , c2 成等差数列,求角 B 的最大值.

18.已知数列{an

} 的首项

a1

?

2

,前

n

项和为

S

n

, 3Sn

?

4,

an ,2

?

3Sn?1 2

,

(n

?

2)

总是成等差数列.

(1 )证明数列{an } 为等比数列;

(2)求满足不等式 an ? (?4)n?1 的正 整数 n 的最小值.

19.已知 tan? ? 1 ,sin(? ? ? ) ? ? 2 ,其中?, ? ?(0,? ) .

2

10

(1)求 cos? 的值;

(2)求? ? ? 的值.

3教学资料最新版本

20.在△ABC 中,已知内角 A, B,C 所对的边长分别为 a,b, c ,且满足 2a sin(B ? ? ) ? c . 4
(Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)若△ABC 为锐角三角形,求 sin Bsin C 的取值范围.
21.(本小题 12 分) ?ABC 的三内角 A, B,C 所对边长分别为 a, b, c , D 为线段 BC 上一点,满足 b AB ? c AC ? bc AD , a2 ? b2 ? bc ,且 ?ACD 与 ?ABD面积之比为 1:2. (Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)求 ?ABC 的面积.

22.(本小题 12 分)已知数列{an?1 ? 2an} (n ? N * ) 是公比为 2 的等比数列,其中 a1 ? 1, a2 ? 4 . (Ⅰ)证明:数列{2ann } 是等差数列; (Ⅱ)求数列{an} 的前 n 项和 S n ;

(III)记数列 cn

?

2an ? 2n ,(n ? 2) ,证明: 1

n

2

? (1)n 2

?

1 c2

?

1 c3

???

1 cn

? 1 ? ( 1 )n?1 . 2

成都七中嘉祥外国语学校高一下期半期考试
4教学资料最新版本

高一年级数学试卷

考试时间:120 分钟

总分:150 分

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给的四个选项中,只有一项是符合题目要求

的)

BDCCDADBCABD

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分)

13. ? 4

14. [? 3 ,3] 2

15. ? 2 3

16. 2n n ?1

三、解答题(解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)

1 7.解(1)由已知得 b2 ? ac ,

由余弦定理 cos B ? a2 ? c2 ? b2 ? a2 ? c2 ? ac ? 1 ( a ? c ) ? 1 ? 1 ? 2 ? 1 ? 1 ,

2ac

2ac

2c a 2 2 2 2

当 a ? c 时, cosB 取得最小值,即角 B 取得最大值 ? 3

…………………5 分

(2)由已知得 b2 ? a2 ? c2 , 2

由余弦定理 cos B ? a2 ? c2 ? b2 ? a2 ? c2 ? 1 ( a ? c ) ? 1 ? 2 ? 1 ,

2ac

4ac 4 c a 4 2

当 a ? c 时, cosB 取得最小值,即角 B 取得最大值 ? 3

18.解:(1)? 2an

?

3Sn

?

4

?

2

?

3Sn?1 2

,整理得:

…………………10 分

4an ? 6Sn ? 4 ? 3Sn?1 , (n ? 2) ,

4an?1 ? 6Sn?1 ? 4 ? 3Sn?2 , (n ? 3) ,

相减得: 4an

?

4an?1

?

6an

?

3an?1

, (n

?

3)

,即 an

?

?

1 2

an?1 , (n

?

3)

…………4 分

又? 2a2

?

3S2

?

4

?

2

?

3S1 2

,得 a2

?

?1 ,即 a2

?

?

1 2

a1 ,

综上,数列{an } 是以

?

1 2

为公比的等比数列

…………………6 分

(2) an

?

2 ? (?

1 )n?1 2

?

(?4)n?1

?

( ?1) n?1 22?n

?

(?1)n?122n?2 ,…………………8



5教学资料最新版本

当 n 为奇数时, 22?n ? 22n?2 ? 2 ? n ? 2n ? 2 ? n ? 4 , 3
当 n 为偶数时, 22?n ? 22n?2 ? 2 ? n ? 2n ? 2 ? n ? 4 ,此时无解 3

综上得 正整数 n 的最小值为 3

…………………12 分

19.解:(1)由 t anα = 1 ,且 0<α <π 得:0<α < π , …………………………(1 分)

2

2

且 sinα = 5 ,cosα = 2 5 . ……………………………………(2 分)

5

5

又 0<β <π ,所以 0<α +β < 3π . …………………………………(3 分) 2

又由 sin(α +β )= ? 2 <0 得: 10

π <α +β < 3π ,且 cos(α +β )= ? 7 2 .…………………………(4 分)

2

10

故 cosβ =cos[(α +β )-α ]=co s(α +β )cosα +sin(α +β )sinα

= ? 7 2 ? 2 5 ? 2 ? 5 = ? 3 10 .…………………………(6 分) 10 5 10 5 10

(2)由 cosβ = ? 3 10 <0 且 0<β <π 得, π <β <π ,且 sinβ = 10 . (8 分)

10

2

10

所以 cos(α -β )=cosα cosβ +sinα sinβ

= 2 5 ?( ? 3 10 )+ 5 ? 10 = ? 2 .…………(10 分)

5

10

5 10

2

又由 0<α < π , π <β <π ,得-π <α -β <0.…………………………(11 分) 22
所以α -β = ? 3π .……………………………………………………(12 分) 4

20.解:(Ⅰ) 2a sin(B ? ? ) ? c ? a(sin B ? cosB) ? c , 4
由正弦定理得 sin A(sin B ? cosB) ? sin C ? sin(A ? B) ,

……………3 分

所以 sin Asin B ? sin AcosB ? sin AcosB ? cosAsin B , 即 sin Asin B ? cosAsin B ? sin A ? cosA ,

6教学资料最新版本

解得 A ? ? . 4

…………………6 分

(Ⅱ) sin B sin C ? sin B sin(3? ? B) ? 2 sin B cos B ? 2 sin 2 B ,

4

2

2

? 2 sin 2B ? 2 cos 2B ? 2 ? 1 sin(2B ? ? ) ? 2 ,

4

4

42

44

因为 0 ? B ? ? ,且 0 ? 3? ? B ? ? ,

2

4

2

所以 ? ? B ? ? ,即 ? ? 2B ? ? ? 3? ,

4

24

44

……………9 分

所以 sin Bsin C 的取值范围是 ( 2 , 2 ? 2 ] . 24

…………………12 分

21. 解(1)由 a2 ? b2 ? bc 得 a2 ? c2 ? b2 ? bc ? c2 ,

A

2ac

2ac

由正弦及余弦定理得: cosB ? sin B ? sin C ,…………………2 分

2sin A

C

D

B

? 2sin AcosB ? sin B ? sin(A ? B) ,

整理得 sin(A ? B) ? sin B ,即 A ? 2B ,

…………………4 分

由 b AB

? c AC

? bc AD



AB c

?

AC b

?

AD

,即

AD 为角

A 的平分线,且 S?ACD

: S?ABD

?1: 2,

所以 c ? 2b, a ? 3b ,

…………………6 分

所以 sin A ? 3 sin B ? sin 2B ? 3 sin B ? cos B ? 3 , 2

即B?? ,A?? . 63

…………………8 分

(2)由 AB ? AC ? AD 及 A ? ? 得: AD ? 3

cb

3

…………………10 分

所以 AD ? BD ? 3,CD ? 3 , AC ? 3 ,

2

2

7教学资料最新版本

? S?ABC

?

1 2

?

33 2

?

3 2

?

93 8



…………………12 分

22.解(1)由已知得 an?1 ? 2an ? (a2 ? 2a1) ? 2n?1 ? 2n , …………………2 分

两端同除

2n

?1

得:

an?1 2n?1

?

an 2n

?

1, 2

所以数列

{

an 2n

}

是以首项为

1 2

,公差为

1 2

的等差数列,

(2)由 (1)知 an 2n

?

1 2

n

,所以

an

? n ? 2n?1 ,

…………………3 分

Sn ? 1? 20 ? 2 ? 21 ? ? ? n ? 2n?1,

则 2Sn ? 1? 21 ? 2 ? 22 ??? n ? 2n ,

相减得: ? Sn ? 1? 20 ? 21 ? ? ? 2n?1 ? n ? 2n ,

所以 ?

Sn

?

1? 2n 1? 2

?

n ? 2n ,

即 Sn ? (n ? 1)2n ? 1.

…………………6 分

(3) cn ?? 2n ? 2, (n ? 2)

?1 ? 1 ? 1 cn 2n ? 2 2n

?1

?

1

???

1

?

1

?

1

???

1

?

1 [1 ? 4

( 1 )n?1 ] 2

?

1

?

(1)n

c2 c3

cn 22 23

2n

1? 1

22

2

又? 1 cn

?

1 2n ? 2

?

2 2n

? ( 1 )n?1 , (n ? 3) ,当 n ? 2 时, 1

2

c2

?

1 2

?1 c2

?1 c3

??? 1 cn

?

1 21

?

1 22

???

1 2 n ?1

?

1 [1 ? (1)n?1 ] 22
1? 1

? 1 ? ( 1 )n?1 2

2

所以原不等式得证

…………………12 分

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