121-122基本初等函数的导数公式及四则运算(1)92765-PPT精选文档_图文

1.2.1-1.2.2基本初等函数的导数 公式及导数的运算法则

一、复习
1.导数的几何意义: 曲线在某点处的切线的斜率;
物理意义: 物体在某一时刻的瞬时度。
(瞬时速度或瞬时加速度)

2、由定义求导数(三步法) 步骤:

( 1 ) 求增量 ? y ? f ( x ? ? x ) ? f ( x );
? yf ( x ? ? x ) ? f ( x ) ( 2 ) 算比值 ? ; ? x ? x

? y ( 3 ) 当 ? x ? 0 , ? f? ( x ) ? x

二、新课 (一).导函数
由函数f(x)在x=x0处求导数的过程可以看到, f’(x0) 是一个确定的数. 那么, 当x变化时, f’(x)

便是 x的一个函数, 我们叫它为f(x)的导函数.即:

?y f (x ? ?x) ? f (x) f ? ( x ) ? y ? ? lim ? lim ?x? 0 ? x ?x? 0 ?x
在不致发生混淆时,导函数也简称为导数.

函数 y ? f ( x )在点 x0处的导数 f ?( x0 ) 等于导函数 f ?( x )在点 x0处的函数值.

? 例 : 已 知 y ?x , 求 y .
? y x ? ? x ?x ? 解 : y ? l i m ? l i m ? x ? 0 ? 0 ? x x x
(x ? ?? x x ) (x ? ?? x x ) ? l i m x ? 0 x (x ? ?? x x )

1 1 ?l i m ? . ?? x 0 x ? ? x? x 2 x

二、几种常见函数的导数
根据导数的定义可以得出一些常见函数的导数公式. 1) 函数y=f(x)=c的导数.
? y 解 :y ? f( x )? C ,?? y f( x ? ? x ) ? f( x )? CC ?, ? 0 , ? x ? y ?? ? f? ( x )? C l i m ? 0 . ? x ? 0 ? x

公式1: C ? = 0 (C为常数)

请同学们求下列函数的导数:

2)y ? f (x) ? x, y'?1 3 ) y ? f ( x ) ? x , y ' ? 2x
2

表示y=x图象上每一点 处的切线斜率都为1

这又说明什么?

1 1 4 ) y ? f (x ) ? , y'? ? 2 x x
公式2:
.) ?? ( x) nx( n ? Q
n n ? 1

公式3:

?? (sin x ) cos x

公式4:

?? (cos x ) ? sin x

公式5:对数函数的导数

1 ? ( 1 )( l o g x ) ? ( a ? 0 , a ? 1 ) . a x l n a 1 (2) (ln x)? ? . x

公式6:指数函数的导数
x x

? ( 1 )() a ? a l n a ( a ? 0 , a ? 1 ) .

? ?e . ( 2 ) ( e)
x x

a 是两个不同 注意:关于ax和 x

的函数,例如:

( 1 )( 3 )? ? 3 ln a
x

x

(2)(x )? ? 3 x
3

2

总结:我们今后可以直接使用的基本初等函数 的导数公式
公 式 1 .若 f ( x ) ? c , 则 f '( x ) ? 0; 公 式 2 .若 f ( x ) ? x n , 则 f '( x ) ? n x n ? 1 ; 公 式 3 .若 f ( x ) ? s in x , 则 f '( x ) ? c o s x ; 公 式 4 .若 f ( x ) ? c o s x , 则 f '( x ) ? ? s in x ; 公 式 5 .若 f ( x ) ? a x , 则 f '( x ) ? a x ln a ( a ? 0 ); 公 式 6 .若 f ( x ) ? e x , 则 f '( x ) ? e x ; 1 公 式 7 .若 f ( x ) ? lo g a x , 则 f '( x ) ? ( a ? 0 , 且 a ? 1); x ln a 1 公 式 8 .若 f ( x ) ? ln x , 则 f '( x ) ? ; x

例1:求下列函数的导数

( 1 )y?x

? 5

( 2 )y? x x x

例2: ( ? 1 ) 已知 y ? x , 求 f ( 2 ).
3
3 3 ? 1 2 ? ? 解 ? y : ? ( x ) ? 3 x ? 3 x
2 ? ? f( 2 )? 3 ? ( 2 )? 12

? 2 ? 2 ? 1 ? 3 ? ? 解: ? y ? ( x ) ? ? 2 x ? ? 2 x

1 ( 2 ) 已知 y? 2,求 f? ( 3 ). x
? 3

1 2 ? ? f ( 3 ) ? ? 2 ? ( 3 )? ? 2 ? ? ? 27 27

例3.求下列函数的导数
( 1 )y? sin( ? x ) 2 ( 3 )y? cos( 2 ?? x )

?

( 2 )y? sin 3

?

例4.求下列函数的导数

( 1 ) y ? 4
x

( 2 ) y ? x l o g
3

(三)函数的和、差、积、商的求导法则 设f(x)、g(x)是可导的

f ( x ) ? g ( x )]' ? f ' ( x ) ? g ' ( x ); (1) [
' ' '

(2) ( f ( x ) g ( x )) ? f ( x ) g ( x ) ? f ( x ) g ( x )

f( x )' f ( x ) g ( x ) ? f( x ) g ( x ) )? (3) ( 2 g ( x ) g( x )
特殊地 (c为常数) ( c f(x ) ) ?c f (x )
' '

'

'

g ? x? 1 ' ( ) ?? 2 g(x) g (x)
'

注意:1、前提条件导数存在; 2、和差导数可推广到任意有限个; 3、商的导数右侧分子中间“-”, 先 子导再母导。

例 1 求 f ( x ) ? x ? 2 x ? s i n x 在 x ? 0 时 的 导 数 .
3 2

例2

设 y = xlnx , 求 y ?.

例3


设 y?

x ?1 , 求 y ?. 2 x ?1

根据除法公式,有

? 2 2 ? ? x ? 1 x ? 1 )( x ? 1 ) ? ( x ? 1 ) ( x ? 1 ) ? ? ( y ? ? ? ?2 ? 2 2 x ? 1 ( x ? 1 ) ? ?
2 2 ( x ? 1 )[( x ) ? ? ( 1 ) ? ] ? [( x ) ? ? ( 1 ) ? ]( x ? 1 ) ? 2 2 ( x ? 1 )

2 2 ( x ? 1 ) ? 2 x ( x ? 1 ) 2 x ? x ? 1 ? ? 2 2. 2 2 ( x? 1 ) ( x? 1 )

? 1 , 1:求过曲线y=cosx上点P( 3 2
的切线的直线方程.
解: ? f( x )? cos x , ? f? ( x )? ? sin x , 3 ? f ( )? ? sin ? ? . 3 3 2

切线问题

)

? ?

?

3 故曲线在点 P ( , ) 处的切线斜率为 ? , 32 2 1 3 ? ? 所求的直线方程为 y? ?? (x? ), 2 2 3 3 ? 即3 x? 2 y? 1 ? ?0 . 3

?1

2.

如果曲线 y=x3+x-10 的某一切线与直线 y=4x+3 平行, 求切点坐标与切线方程. 解: ∵切线与直线 y=4x+3 平行, ∴切线斜率为 4. 又切线在 x0 处斜率为 y? | x=x0 =(x3+x-10)? | x=x0 =3x02+1. ∴3x02+1=4. ∴x0=?1. 当 x0=1 时, y0=-8; 当 x0=-1 时, y0=-12. ∴切点坐标为 (1, -8) 或 (-1, -12).

切线方程为 y=4x-12 或 y=4x-8.

3、若直线y=3x+1是曲线y=ax3
的切线,试求a的值.
解:设直线y=3x+1与曲线y=ax3相切于点 P(x0,y0),则有: y0=3x0+1①, y0=ax03②, 3ax02=3.③ 由①,②得3x0+1=ax03,由③得ax02=1,代 入上式可得:3x0+1=x0,x0=-1/2.
所以a?(-1/2)2=1,

即:a=4

练 习 : 1 若 直 线 y?? x?b 为 函 数 y? 图 象 的 切 线 , x 求的 b 值 和 切 点 的 坐 标 .

4.已知曲线 C: y=x3-3x2+2x, 直线 l: y=kx, 且直线 l 与 曲线
C 相切于点 (x0, y0)(x0?0), 求直线 l 的方程及切点坐标. y0 解: 由直线 l 过点(x0, y0),其斜率 k= x , 0 ∵点 (x0, y0) 在曲线 C 上, ∴y0=x03-3x02+2x0. y0 ∴ x =x02-3x0+2. 又 y?=3x2-6x+2, 0 ∴在点 (x0, y0) 处曲线 C 的切线斜率 k=y?|x=x0. ∴x02-3x0+2=3x02-6x0+2. 整理得 2x02-3x0=0. 解得 x0= 3 (∵x0?0). 2 3 1 这时 y0=- 8 , k=- 4 . 3 , - 3 ). 切点坐标是 ( ∴直线 l 的方程为 y=- 1 x , 8 2 4

5 . 已 知 直 线 y ? x ? 1 , 点 P 为 y ? x 上 任 意 一 点 ,
2

求 P 在 什 么 位 置 时 到 直 线 的 距 离 最 短 ?

1 练习:已知曲线 y ? x 3 在点P(1,1)处的切线与直线m平

行且距离等于 10 ,求直线m的方程.

1 1 ? 3 ? 4 ? ? ? 解: y ?3 , y ? (3 ) ? ( x ) ? ? 3 x ; x x

?| ? 曲线在 P ( 1 , 1 ) 处的切线的斜率为 k ? y ? ? 3 , x ? 1 从而切线方程为 y ? 1 ? ? 3 ( x ? 1 ), 即 3 x ? y ? 4 ? 0 .

设直线m的方程为3x+y+b=0,由平行线间的距离公 式得:
| b ? ( ? 4 ) | ? 10 ? | b ? 4 | ? 10 , ? b ? 6 或 b ? ? 14 ; 2 3 ? 1

故所求的直线m的方程为3x+y+6=0或3x+y-14=0.

? ? 1、设 f (x) = (1+x)(1+2x) ? (1+10x),

求 f' (0) .

2、求曲线

y? 2 x ?x上与 x 轴
3

平行的切线方程.

f(x)=(x-1)(x-2)…(x-9)(x-10)


f (10) ?

'

9!

3.求曲线 上与 轴平行的切线方 3 x y? 2 x ?x 程.

解:

k ?0

2 ?? y 2 ? 3 x

2 ? y ? 0 ? 2 ? 3 x ? 0 令

x1 ?

2 3

2 x2 ? ? 3
? 2 4 6? ?? , ? ? 9 ? ? 3

? 2 4 6? 切点为 ? , ? ? 3 9 ?

4 6 4 6 所求切线方程为 y ? 和 y?? 9 9

4 、 求曲线y=xlnx平行于x-y+1=0的切线方程
? ? ∴ 切线的斜率为1 x y 解:设切点p 0 0

y ' ? ( x ln x ) ? ( x ) ln x ? x (ln x ) ? ln x ? 1
' ' '

∴1 ? ln x 1 0?

x 0 ∴ ln 0?

∴ x0 ?1 y0 ? 0 ∴ 切线方程为y=x-1

即x-y-1=0

5、 求曲线y=ln(2x-1)上的点到直线2x-y+3=0
的最短距离

? ? 处的切线与2x-y+3=0 x 解:设曲线点在 p 0y 0
平行则切点p到直线2x-y+3=0的距离即为 所求

2 ∵ y ? 2 x ?1
'



2 2 x0 ? 1

?2

∴ x0 ?1

∴切点为(1,0)

5 ? ? 5 ∴ d min 5

小结:基本初等函数的导数公式
公 式 1 .若 f ( x ) ? c , 则 f '( x ) ? 0; 公 式 2 .若 f ( x ) ? x n , 则 f '( x ) ? n x n ? 1 ; 公 式 3 .若 f ( x ) ? s in x , 则 f '( x ) ? c o s x ; 公 式 4 .若 f ( x ) ? c o s x , 则 f '( x ) ? ? s in x ; 公 式 5 .若 f ( x ) ? a x , 则 f '( x ) ? a x ln a ( a ? 0 ); 公 式 6 .若 f ( x ) ? e x , 则 f '( x ) ? e x ; 1 公 式 7 .若 f ( x ) ? lo g a x , 则 f '( x ) ? ( a ? 0 , 且 a ? 1); x ln a 1 公 式 8 .若 f ( x ) ? ln x , 则 f '( x ) ? ; x

注意:牢记公式呦

弄清“函数f(x)在点x0处的导数”、“导函数”、 “导数” 之间的区别与联系。 (1)函数在一点处的导数,就是在该点的函数的改 变量与自变量的改变量之比的极限,它是一个 常数,不是变数。 (2)函数的导数,是指某一区间内任意点x而言的, 就是函数f(x)的导函数 f ?(x) 。 (3)函数f(x)在点x0处的导数 f ?( x0 ) 就是导函数 f ?(x) ? ? ( x ) ? f ( x ) | 在x=x0处的函数值,即 f 。这也是 0 x ? x 求函数在点x0处的导数的方法之一。
0

三、巩固练习
x ) ? sin ? ? cos x则 1、函数 f(
f ' (? ) ?
2

2?x ' x y? 2 2 2、函数 y ? 2 的导数是 ( 2 ? x ? x ) x ?x?2

sin 2x?2x 3、函数 y ? x tan x 的导数是 y ? 2 2cosx
'

2x ' 4、函数 f (x) ? f ( 1 ) ?2 则 a= 2 1?ax

0或3

5、求下列函数的导数 (1)y=xsinx ' ' 解: y? ( x sin x )
'

(2)y=tanx
'

? x sin x ? x (sin x ) ? sin x ? x cos x
'
' '

sinx ' ) 解: y ? ( cosx
(sin x )cos x ? sin x (cos x ) ? 2 cos x
cosx?sin x ? 2 cosx
2 2

1 ? 2 cos x

6、求下列函数的导数
2 (1)y ? ( 3 x? 2 )( x ? 5 )

y ? 9 x? 30 x ? 2
' 2
' 3 2

(2) (3) (4)

? 60 x? 120 x? 21 y ? ( 5 x ? 7 )( 3 x ? 8 ) y
3

x y? 2 x ?1
sin x y? x

1? x y ? 2 2 ( x ? 1)
' 2

x cos x? sin x y? 2 x
'

1 ) ?4 ( x ) ? ax ? 3 x? 2 7、(1)已知 f 若 f (? 则a=( D )
3 2

'

A

19 3

B

16 3

C

13 3

D

10 3

ax ' ? f (x) ? (2) 若 f ( )?3 sinx 2

则a=( B ) D -2

A6

B3 C0


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