2013届高三模拟试卷(06)数学(理)

2013 届高三模拟试卷(06) 数学
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一个选项是符合题目要求的. 1.在复平面内,复数 A.第一象限

? 2 ? 3i ( i 是虚数单位)所对应的点位于( 3 ? 4i
B.第二象限

) D.第四象限 )

x 2. 设集合 M ? {x | x 2 ? 2 x ? 3 ? 0} , N ? x 2 ? 2 ,则 M ? C R N 等于(

?

C.第三象限

?

A. ?? 1,1?

B. (?1,0)

C. ?1,3?

D. (0,1)

3.两个变量 x,y 与其线性相关系数 r 有下列说法 (1)若 r>0,则 x 增大时,y 也相应增大; (2)若 r<0,则 x 增大时,y 也相应增大; (3)若 r=1 或 r=-1,则 x 与 y 的关系完全对应(有函数关系),在散点图上各个散点均 在一条直线上.其中正确的有( ) A. ① B. ②③ C. ①③ D. ①②③ 4. ? ? “

?
2

”是“函数 f ?x ? ? cos x 与函数 g ?x ? ? sin?x ? ? ? 的图像重合”的( B.必要而不充分条件

)

A.充分而不必要条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5. 观察这列数:1,2,3,2,1,2,3,4,3,2,3,4,5,4,3,4,5,6,5,4 ??,则第 2013 个数是( A . 403 B. 404 C. 405 D. 406
6.已知函数



1 ? x ? cos x ,则方程 f ( x) ? 所有根的和为( ) 2 4 3? ? ? A. 0 B. C . D. 2 4 2 2 2 7. 在平面直角坐标系 xOy 中,圆 C 的方程为 x ? y ? 8x ? 15 ? 0 ,若直线 y ? kx ? 2 上至少存在 一点,使得以该点为圆心,1 为半径的圆与圆 C 有公共点,则 k 的取值范围是( ) 4 4 A. 0 ? k ? B. k <0 或 k > 3 3 3 4 4 ?k? C. D. k ? 0 或 k > 4 3 3 f ( x) ?
8. 用 S ( M ) 表 示 有 限 集 合 M 的 子 集 个 数 , 定 义 在 实 数 集 R 上 的 函 数

?S ( M ), x ? M f M ( x) ? ? 若 集合A ? ?1? ,集合 B ? ?2,3? , ?0, x ? M

则F ( x) ? f A?B ( x) ? f A ( x) ? f B ( x) 的值域为(
A. ?4, 6, 0? B. ?4, 0?

) C. {0} D. ?4, 6?

9. 抛 物 线 y 2 ? 4 x 的 焦 点 为 F , 点 A, B 在 抛 物 线 上 , 且

2 ?AFB ? π , 弦 AB 中 点 M 在 准 线 l 上 的 射 影 为 3
M ?, 则 | MM ? | 的最大值为( | AB |

D1

C1

)
A1 D1

4 3 A. 3

3 B. 3

2 3 C. 3

D. 3
D C

10. 如图,已知正方体 ABCD ? A B1C1D1 的棱长为 1,动点 P 在此 1 正方体的表面上运动,且 PA ? x,(0 ? x ? 3) ,记点 P 的轨迹的 长度为 f ( x ) ,则函数的图像 f ( x ) 可能是( )
A

B

第Ⅱ卷
二、填空题:本大题有4小题,每小题5分,共 20分.把答案填在答题卷的相应位置. 11.为了“城市品位、方便出行、促进发展” ,南昌市拟修建穿江隧道, 频率/组距 市某部门问卷调查了 n 个市民,其中赞成修建穿江隧道的市民占 80%, 0.0350 在赞成修建穿江隧道的市民中又 按年龄分组,得样本频率分布直方图 如图,其中年龄在 ? 20,30 ? 岁的有 400 人, ? 40,50 ? 岁的有 m 人, 则 n= 12. , m= 0.0125 20 30 40 50 60 70 岁 第 11 题 图

13. 经过原点 ?0,0? 做函数 f ( x) ? x ? 3x 的切线,则切线方程为
3 2



14.在 ΔABC 中, 2sin

2

A AC ? 3 sin A , sin( B ? C ) ? 2cos B sin C ,则 __________。 2 AB

三、选 做 题 : 请 考 生 在 下 列 两 题 中 任 选 一 题 作 答 . 若 两 题 都 做 , 则 按 做 的 第 一 题 评 阅 计 分 . 本 题 共 5 分. 15.⑴(坐标系与参数方程选做题)化极坐标方程 ? 2 cos ? ? ? ? 0 为直角坐标方程 为 . ⑵(不等式选择题)不等式 | 2 ? x | ? | x ? 1 |? a 对任意 x ? [0,5] 恒成立的实数 a 的取值

范围为_____________ 四.解答题:本大题共 6 小题,满分 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分 12 分)已知向量 a

?

? ? ? 3 ? ? (sin x, ), b ? (cos x, ?1) . f ( x) ? 2(a ? b) ? b 4

(1)求 f ( x ) 的增区间; (2)已知△ ABC 内接于半径为 6 的圆,内角 A、B、C 的对边分别 为 a、b、c ,若

b 5 ? 24, f ( A) ? ,求边长 c 1 ? cos B 2

17.(本小题满分 12 分)已知数列{ a n }的前 n 项和为 Sn ? 2 ? ( ? 1)an (1)求证:数列 ?

2 n

(n ? N ? )

? an ? ? 是等比数列; ?n?

(2)设数列{ 2n ?1 an ? 1}的前 n 项和为 Tn ,求

1 1 1 1 ? ? ??? 。 T1 T2 T3 Tn

18. (本小题满分 12 分)如图,在四边形 ABCD 中, AB ? AD ? 4 , BC ? CD ?

7 ,点

E 为线段 AD 上的一点.现将 ?DCE 沿线段 EC 翻折到 PAC (点 D 与点 P 重合) ,使得平 面 PAC ? 平面 ABCE ,连接 PA , PB . (Ⅰ)证明: BD ? 平面 PAC ; (Ⅱ)若 ?BAD ? 60? ,且点 E 为线段 AD 的中点,求二面角 P ? AB ? C 的大小.

19. (本小题满分 12 分)某校高三年级组为了缓解学生的学习压力,举办元宵猜灯谜活动。 规定每人最多猜 3 道,在 A 区猜对一道灯谜获 3 元奖品;在 B 区猜对一道灯谜获 2 元奖品, 如果前两次猜题后所获奖品总额超过 3 元即停止猜题,否则猜第三道题。假设某同学猜对 A 区的任意一道灯谜的概率为 0.25, 猜对 B 区的任意一道灯谜的概率为 0.8,用 ? 表示该同学

猜灯谜结束后所得奖品的总金额。 (1)若该同学选择先在 A 区猜一题,以后都在 B 区猜题,求随机变量 ? 的数学期望 E? ; (2)试比较该同学选择都在 B 区猜题所获奖品总额超过 3 元与选择 (1) 中方式所获奖品总 额超过 3 元的概率的大小。

20.(本小题满分 13 分)如图,直角坐标系 xOy 中,一直角三角形 ABC , ?C ? 90? ,B、D 在 x 轴上且关于原点 O 对称, D 在边 BC 上,BD=3DC,△ABC 的周长为 12.若一双曲线 E 以 B、 C 为焦点,且经过 A、D 两点. ⑴ 求双曲线 E 的方程; ⑵ 若一过点 P (m, 0) ( m 为非零常数)的直线 l 与双曲线 E 相交于不同于双曲线顶点的
???? ???? 两点 M 、 N ,且 MP ? ? PN ,问在 x 轴上是否存在定点 G ,

??? ? ???? ? ???? 使 BC ? (GM ? ?GN ) ?若存在,求出所有这样定点 G 的坐标;
若不存在,请说明理由
B O

y A

D

C

x

( x ? a) 2 21. (本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? (其中 a 为常数). ln x
(Ⅰ)当 a ? 0 时,求函数的单调区间; (Ⅱ) 当 0 ? a ? 1 时,设函数 f (x) 的 3 个极值点为 x1,x2,x3 ,且 x1 ? x2 ? x3 . 证明: x1 ? x3 ?

2 e

.

数学 (理)参考答案
一、选择题(5×10=50 分) 题号 答案

1 B

2 C

3 C

4 A

5 C

6 C

7 D

8 A

9 B

10 B

二、填空题(5×4=20分) 11.4000 1120 12.4 13. y ? 0或9 x ? 4 y ? 0 14.

1 ? 13 2

三、选 做 题 : (共5分) 15 .(1) x2 ? y 2 ? 0或x ? 1,(2) [9,??) 四、解答题(共75分) 16. 解: (1)

? ? ? ? 3 f ( x) ? 2( a ? b) ? b ? 2 sin(2 x ? ) + 4 2

????3 分

4 2 3? ?? ? ? f ( x)的增区间为 ? k? ? , k? ? ? .(k ? Z )??? 6分 8 8? ?
(2)由 f ( A) ?

令 2 k? ?

?
2

? 2x ?

?

? 2 k? ?

?

, 得k? ?

3? ? ? x ? k? ? .(k ? Z ) 8 8

5 ? 可得 A ? 2 4

????8 分



b 3 4 ? 24得2 R sin B ? 24(1 ? cos B)即可求得 cos B ? ,sin B ? ??10 分 1 ? cos B 5 5

? sin C ? sin( A ? B) ?

7 2 42 2 ????12 分 , c ? 2R sin C ? 10 5

17.解: (1)证明: a1 ? s1 ? 2 ? 3a1 得 a1 ?

1 2
2 ? 1)an ?1 , n ?1

当 n ≥2 时,由 sn ? 2 ? ( ? 1) an 得 sn ?1 ? 2 ? ( 于是 an ? sn ? sn ?1 ? ( 整理得

2 n

2 2 ? 1)an ?1 ? ( ? 1)an , n ?1 n

an 1 an ?1 ( n ≥2) , ? × n 2 n ?1 a 1 所以数列{ n }是首项及公比均为 的等比数列。????6 分 2 n a 1 1 n ?1 1 (2)由(1)得 n ? × ( ) ? n 。 2 n 2 2
于是 2n?1 an ?1 ? 2n ?1, Tn ? 3 ? 5 ? 7 ? ?? (2n ?1) ? n ? n ? 2? ,???8分 ,

1 1 1 1 1 ? ? ( ? )????10分 Tn n(n ? 2) 2 n n ? 2

?

1 1 1 1 3 2n ? 3 ? ? ?? ? ? ? ????12分 T1 T2 T3 Tn 4 2(n ? 1)(n ? 2)

18.解:(Ⅰ)连接 AC , BD 交于点 O ,在四边形 ABCD 中, ∵ AB ? AD ? 4 , BC ? CD ?

7

∴ ?ABC ? ?ADC ,∴ ?DAC ? ?BAC , ∴ AC ? BD 又∵平面 PAC ? 平面 ABCE ,且平面 PAC ? 平面 ABCE = AC ∴ BD ? 平面 PAC ??? 6 分

(Ⅱ)如图,以 O 为原点,直线 OA , OB 分别为 x 轴, y 轴,平面 PAC 内过 O 且垂直于直 线 AC 的直线为 z 轴建立空间直角坐标系,可设点 P( x,0, z ) 又 A(2 3,0,0) , B(0,2,0) , C(? 3,0,0) , E( 3,?1,0) ,且由 PE ? 2 , PC ? 7 有

?( x ? 3 ) 2 ? 1 ? z 2 ? 4 2 2 2 3 ,∴ P( 3 ,0, 3) ,解得 x ? z ? ? 2 2 3 3 3 ? ( x ? 3) ? z ? 7
则有 AP ? (?

????8分

4 3 2 3 ,0, ) ,设平面 PAB 的法向量为 n ? (a, b, c) , 3 3
??? 10分

由?

? AP ? n ? 0 ? z ? 2x ? ,即 ? ,故可取 n ? (1, 3,2) ? AB ? n ? 0 ? y ? 3x ?

又易取得平面 ABC 的法向量为 (0,0,1) ,并设二面角 P ? AB ? C 的大小为 ? , ∴ cos? ?

(0,0,1) ? (1, 3,2) 1? 8

?

? 2 ,∴ ? ? 4 2
? . 4
???????12分

∴二面角 P ? AB ? C 的大小为

19.解:(1)随机变量 ? 的分布列为

?
P

0 0.03

2 0.24

3 0.01

4 0.48

5 0.24

? E? =0 ? 0.03 ? 2 ? 0.24 ? 3 ? 0.01 ? 4 ? 0.48 ? 5 ? 0.24 ? 3.63???6分。
(2)该 同 学 选 择 都 在 B 区 猜 题 所 获 奖 品 总 额 超 过 3 元 的 概 率

P ? 0.2 ? 0.8 ? 0.8 ? 0.8 ? 0.2 ? 0.8 ? 0.8 ? 0.8 ? 0.896???9分; 1
选择(1)中方式所获奖品总额超过 3 元的概率 P =0.48+0.24=0.72 2 所以该同学选择都在 B 区猜题所获奖品总额超过 3 元比选择(1)中方式所获奖品总额超过 3 元的概率要大。 20 解:(1) 设双曲线 E 的方程 为
?| AB |2 ? | AC |2 ? 16a 2 , ? ∴ ?| AB | ? | AC |? 12 ? 4a, ?| AB | ? | AC |? 2a. ?

???12分

x2 y 2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) ,则 B(?c,0), D(a,0), C (c,0) . a 2 b2 由 BD ? 3DC ,得 c ? a ? 3(c ? a) ,即 c ? 2a .
y

???????.3 分

A

解之得 a ? 1 ,∴ c ? 2, b ? 3 .

B

O

D

C

x

y2 ? 1 .???????.5 分 3 ??? ? ???? ? ???? (2) 设在 x 轴上存在定点 G(t ,0) ,使 BC ? (GM ? ?GN ) . 设直线 l 的方程为 x ? m ? ky , M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) .
∴双曲线 E 的方程为 x2 ?

y

???? ???? 由 MP ? ? PN ,得 y1 ? ? y2 ? 0 . y 即? ? ? 1 ① ????6 分 y2 ??? ? ???? ? ???? ∵ BC ? (4,0) , GM ? ?GN ? ( x1 ? t ? ? x2 ? ?t , y1 ? ? y2 ) , ??? ? ???? ? ???? ∴ BC ? (GM ? ?GN ) ? x1 ? t ? ? ( x2 ? t ) . 即 ky1 ? m ? t ? ? (ky2 ? m ? t ) . ② ???????.8 分 把①代入②,得 2ky1 y2 ? (m ? t )( y1 ? y2 ) ? 0 ③ ???????.9 分

B O

G

C

P N

x

M

y2 ? 1 并整理得 (3k 2 ? 1) y 2 ? 6kmy ? 3(m2 ? 1) ? 0 3 1 2 其中 3k ? 1 ? 0 且 ? ? 0 ,即 k 2 ? 且 3k 2 ? m 2 ? 1 . 3 2 ?6km 3(m ? 1) . ????? ??.10 分 y1 ? y2 ? 2 , y1 y2 ? 3k ? 1 3k 2 ? 1 6k (m2 ? 1) 6km(m ? t ) 1 代入③,得 ? ? 0 ,化简得 kmt ? k .当 t ? 时,上式恒成立. 2 2 m 3k ? 1 3k ? 1 ??? ? ???? ? ???? 1 因此,在 x 轴上存在定点 G ( ,0) ,使 BC ? (GM ? ?GN ) .???????.13 分 m
把 x ? m ? ky 代入 x2 ? 21.解:(Ⅰ) f ' ( x) ? 令 f ' ( x) ? 0 可得 x ?

x(2 ln x ? 1) ln 2 x

e .列表如下:

x
f ?? x ?

?0,1?
-

?1, e ?
-

e
0

?

e ,??
+

?

f ?x ?





极小值



单调减区间为 ?0,1? , 1, e ;增区间为

? ?

?

e ,?? .------------5 分

?

(Ⅱ)由题, f ' ( x) ?

( x ? a)(2 ln x ? ln 2 x

a ? 1) x

a 2x ? a ? 1 ,有 h' ( x) ? x x2 a a ∴函数 h(x) 在 (0, ) 上单调递减,在 ( ,?? ) 上单调递增 2 2
对于函数 h( x) ? 2 ln x ? ∵函数 f (x) 有 3 个极值点 x1 ? x2 ? x3 , 从而 hmin ( x) ? h( ) ? 2 ln

a 2

a 2 ? 1 ? 0 ,所以 a ? , 2 e

当 0 ? a ? 1 时, h(a) ? 2 ln a ? 0 , h(1) ? a ? 1 ? 0 , ∴ 函数 f (x) 的递增区间有 ( x1 , a) 和 ( x3 ,??) ,递减区间有 (0, x1 ) , (a,1) , (1, x3 ) , 此时,函数 f (x) 有 3 个极值点,且 x2 ? a ; ∴当 0 ? a ? 1 时, x1 , x3 是函数 h( x) ? 2 ln x ?

a ? 1 的两个零点,————9 分 x

? ? 2 ln x1 ? ? 即有 ? ?2 ln x3 ? ? ?

a ?1 ? 0 x1 ,消去 a 有 2 x1 ln x1 ? x1 ? 2 x3 ln x3 ? x3 a ?1 ? 0 x3
1 e
,且 x1 ?

令 g ( x) ? 2 x ln x ? x , g ' ( x) ? 2 ln x ? 1 有零点 x ?

1 e

? x3

∴函数 g ( x) ? 2 x ln x ? x 在 (0,

1 e

) 上递减,在 ( 2 e
2 e

1 e

,??) 上递增

要证明

x1 ? x3 ?

2 e

? x3 ?

? x1 ? g ( x3 ) ? g (

2 e
2

? x1 )

? g ?x1 ? ? g ?x3 ? ? 即证 g ( x1 ) ? g (
构造函数 F ? x ? ? g ( x) ? g (

? x1 ) ? g ( x1 ) ? g (

e

? x1 ) ? 0

2

? 1 ? ? x) ,? F ? ? =0 ? ? e ? e?

只需要证明 x ? (0,

1 e

] 单调递减即可.而 F ??x ? ? 2 ln x ? 2 ln(

2 e

? x) ? 2 ,

F ' ' ?x ? ?

2( x(

2 e 2 e

? 2 x) ? x)

? 0 ? F ??x ? 在 (0,

1

? 1 ? ] 上单调递增, ? F ??x ? ? F ? ??0 ? ? e ? e?

∴当 0 ? a ? 1 时, x1 ? x3 ?

2 e

.————————14分


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