高中数学第三章三角恒等变换3.3几个三角恒等式导学案

教案、学案、试题、试卷、复习资料 3.3 几个三角恒等式 课堂导学 三点剖析 1.三角函数恒等式应用举例 【例 1】 运用三角函数变换证明 tan ? 1 ? cos ? sin ? ? = . sin ? 1 ? cos ? 2 思路分析:由于角不一致,首先应统一角度,即运用倍角公式设法将 tan ? 变成角 α 的三角函数. 2 ? 证明:tan = 2 2 sin = 2 ? sin ? ? 2 2 cos 2 sin ? 2 2 cos ? 2 ? 1 ? cos? . sin ? tan ? = 2 sin ? ? 2 2 cos 2 sin = ? 2 cos ? 2 ? 2 ? 1 ? cos ? sin ? ? ∴tan = 成立. sin a 1 ? cos ? 2 温馨提示 这组公式的结构特征是用 cosα 与 sinα 表示 2 cos2 ? sin ? . 1 ? cos? ? 的正切值,可称为半角公式. 2 2.三角函数变换的应用 【例 2】 将下列各式化简为 Asin(ω x+φ )的形式: (1)cosx-sinx; (2)3sinx+ 3 cosx; (3)3sinx-4cosx; (4)asinx+bcosx(ab≠0). 思路分析:本题主要考查两角和(差)的正余弦公式的恒等变形. 解: (1)cosx-sinx=-(sinx-cosx) =? =? =? 2( 2 2 sinxcosx) 2 2 2 (sinxcos 2 sin(x- ? ). 4 ? ? -cosxsin ) 4 4 教案、学案、试题、试卷、复习资料 本题化简结果不唯一,也可这样变换: cosx-sinx= 2 ( = 2 (sinxcos 2 2 cosxsinx) 2 2 3? 3? 3? +cosxsin )= 2 sin(x+ ). 4 4 4 1 3 sinx+ cosx) 2 2 (2)3sinx+ 3 cosx=2 3 ( =2 3 (sinxcos =2 3 sin(x+ ? ). 6 ? ? +cosxsin ) 6 6 (3)3sinx-4cosx=5( 令 cosφ = 3 4 sinx ? cosx) 5 5 3 4 ,φ 为第一象限角,则 sinφ = . 5 5 ∴3sinx-4cosx=5(sinxcosφ -cosxsinφ ) =5sin(x-φ ). (4)asinx+bcosx = a 2 ? b2 ( a a2 ? b2 sinx+ b a 2 ? b2 cosx) = a 2 ? b 2 (sinxcosφ +cosxsinφ ) = a 2 ? b 2 sin(x+φ ). 其中 cosφ = 温馨提示 形如 asinx+bcosx 的式子均可化成 a 2 ? b 2 ·sin(x+φ )的形式,这种变换的主要功能是把 asinx+bcosx 形的三角函数式表示成一个角的一个三角函数, 这样做有利于研究 f(x)=asinx+bcosx 的图象和性质,或化简、求最值问题. 3.在解题过程中怎样选择合适的公式 【例 3】已知函数 f(x)=2asinxcosx+2bcos x,且 f(0)=8,f( 求 a,b 的值及 f(x)的周期和最大值. 2 解:∵f(0)=2asin0cos0+2bcos 0=2b=8,∴b=4. 又 f( 2 a a2 ? b2 ,sinφ = b a 2 ? b2 . ? 3 3. )=6+ 6 2 ? ? ? 3 3 3 3 2? 3. )=2asin cos +2bcos = a+ b= a+6=6+ 6 6 6 6 2 2 2 2 3 4 ,sinφ = ), 5 5 ∴a=3. ∴f(x)=3sin2x+4cos2x+4=5(sin2x+φ )+4(其中 cosφ = 教案、学案、试题、试卷、复习资料 ∴f(x)的周期是 T= 2? =π . 2 当 sin(2x+φ )=1 时,f(x)最大值=9. 温馨提示 当 f(x)的解析式中有待定常数 a,b 时,可根据条件列关于 a,b 的两个条件等式,再通过解 方程组求出 a,b;求 f(x)的周期和最值,通常需把 f(x)化成 Asin(ω x+φ )+k 的形式.本例中(2) 问是根据方程根的意义得到两个三角等式,再通过三角变换变出所需要的式子. 各个击破 类题演练 1 已知 cosθ = 3 ? ? ,且 θ ∈(0, ) ,求 tan . 5 2 2 解:∵θ ∈(0, ∴θ []2∈(0, ∴tan ? >0, 2 ? ), 4 ? ) , 2 3 1 ? cos? ? 5 ? 1. ? ∴tan = 3 2 2 1 ? cos? 1? 5 1? 变式提升 1 1 [sin(α +β )+sin(α -β )]; 2 ? ?? ? ?? (2)sinθ +sinφ =2sin cos . 2 2 求证: (1)sinα cosβ = 证明: (1)因为 sin(α +β )=sinα cosβ +cosα sinβ , sin(α -β )=sinα cosβ -cosα sinβ . 将以上两式的左右两边分别相加,得 sin(α +β )+sin(α -β )=2sinα cosβ , 即 sinα ·cosβ = 1 [sin(α +β )+sin(α -β )]. 2 (2)由(1)可得, sin(α +β )+sin(α -β )=2sinα cosβ (*) 设 α +β =θ ,α -β =φ , 那么 α = ? ?? 2 ,β = ? ?? 2 . 把 α ,β 的值代入(*) ,得 sinθ +sinφ =2sin ? ?? 2 cos ? ?? 2 . 温馨提示 本例是积化和差、和差化积

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