2017-2018学年高中数学人教A版必修5课件:2.1.2数列的性质和递推公式_图文

【课标要求】 1.了解数列递推公式的概念;知道递推公式是给出数列的一 种方法. 2.能根据数列的递推公式写出数列. 3.能根据数列的通项公式研究数列的单调性,会求数列中的 最大(小)项. 4.了解数列的周期性,能解决相关的简单问题. 自主学习 |新知预习| 基础认识 1.数列与函数的关系 数列可以看成以正整数集 N+(或它的有限子集{1,2,3,?, n})为定义域的函数,当自变量按照从小到大的顺序依次取值时 所对应的一列函数值. 2.数列的递推公式 如果数列{an}的第 1 项或前几项已知,并且数列{an}的任一 项 an 与它的前一项 an-1(或前几项)间的关系可以用一个式子来表 示,那么这个式子就叫做这个数列的递推公式. |化解疑难| 1.数列通项公式和递推公式各有什么作用? (1)数列的通项公式是给出数列的主要形式,如果已知数列 {an}的通项公式 an=f(n),可求出数列中的各项与指定项,还可 以根据函数的性质,进一步探讨数列的增减性,数列中项的最大 值或最小值. (2)数列的递推公式是给出数列的另一重要形式.一般地, 只要给出数列的首项或前几项以及数列的相邻两项或几项之间 的运算关系,就可以依次求出数列的各项. 2.通项公式与递推公式的关系示意图: |自我尝试| 1.判断正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)递推公式也是表示数列的一种方法.( √ ) (2)所有数列都有递推公式.( × ) (3)有些数列可能不存在最大项.( √ ) 1 2. 已知数列{an}满足 an>0, 且 an+1=2an, 则数列{an}是( A.递增数列 B.递减数列 C.常数列 D.摆动数列 ) an+1 1 解析:因为 a =2<1,an>0,所以 an+1<an,故数列{an}为 n 递减数列. 答案:B 3.数列 1,3,6,10,15,?的递推公式是( A.an+1=an+n,n∈N+ B.an=an-1+n,n∈N+,n≥2 C.an+1=an+(n+1),n∈N+,n≥2 D.an=an-1+(n-1),n∈N+,n≥2 ) 解析:a2=a1+2,a3=a2+3,a4=a3+4,a5=a4+5,?. ∴an=an-1+n(n≥2). 答案:B 4 4.已知数列{an}的通项公式为 an= ,则满足 an+1<an 11-2n 的 n 的取值为( ) A.3 B.4 C.5 D.6 4 4 解 析 : 由 an + 1<an , 得 an + 1 - an = - = 9-2n 11-2n 8 9 11 <0,解得2<n< 2 ,又 n∈N*, ?9-2n??11-2n? 所以 n=5. 答案:C 5.已知数列{an}满足 a1=1,a2=1,an+2=an+an+1(n∈N*), 则 a6=________. 解析:因为 an+2=an+an+1, 所以 a3=a1+a2=2,a4=a2+a3=3, a5=a3+a4=5,a6=a4+a5=8. 答案:8 课堂探究 互动讲练 类型一 判断数列的单调性 [ 例 1] 1-2x 已 知 函 数 f(x) = (x≥1) , 构 造 数 列 an = x+1 f(n)(n∈N*). (1)求证:an>-2; (2)数列{an}是递增数列还是递减数列?为什么? 1-2x 3-2?x+1? 3 【解析】 (1)因为 f(x)= = =-2+ , x+1 x+1 x+1 3 所以 an=-2+ . n+1 因为 n∈N*,所以 an>-2. (2)数列{an}为递减数列.理由如下: 3 因为 an=-2+ ,所以 n+1 ? ? 3 ? 3 ? ? ? ? an+1-an=?-2+n+2?-?-2+n+1? ? ? ? ? ? -3 3 3 = - = n+2 n+1 ?n+2??n+1? 即 an+1<an 所以数列{an}为递减数列. 方法归纳 数列单调性的判断方法 (1)作差法: 若 an+1-an>0, 则{an}是递增数列; 若 an+1-an<0, 则{an}是递减数列; an+1 an+1 * (2)作商法:若 a >1(an>0,n∈N )或 a <1(an<0,n∈N*), n n an+1 an+1 * 则{an}是递增数列; 若 a <1(an>0, n∈N )或 a >1(an<0, n∈N*), n n 则{an}是递减数列. 2n 跟踪训练 1 已知数列 {an} 的第 n 项可以表示为 , 3n+1 n∈N*,试判断数列的增减性. 2n 解析:因为{an}的第 n 项为 , 3n+1 2?n+1? 所以{an}的第(n+1)项为 . 3?n+1?+1 2?n+1? 2n+2 2n 2n 因为 - = - 3?n+1?+1 3n+1 3n+4 3n+1 ?2n+2??3n+1?-2n?3n+4? = ?3n+4??3n+1? 6n2+8n+2-6n2-8n 2 = = >0, ?3n+4??3n+1? ?3n+4??3n+1? 2?n+1? 2n 所以 > , 3?n+1?+1 3n+1 所以数列{an}的第(n+1)项大于第 n 项, 故数列{an}是递增数列. 类型二 数列的最大项、最小项问题 [例 2] 已知数列{an}的通项公式是 ?10? an=(n+1)?11?n, 试问该 ? ? 数列有没有最大项?若有, 求出最大项和最大项的序号; 若没有, 请说明理由. 【解析】 方法一:∵an+1-an ?10? + ?10? n 1 =(n+2)?11? -(n+1)?11?n ? ? ? ? ?10? 9-n n =?11? × 11 , ? ? 当 n<9 时,an+1-an>0,即 an+1>an; 当 n=9 时,an+1-an=0,即 an+1=an; 当 n>9 时,an+1-an<0,即 an+1<an. ∴a1<a

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