2012线性代数期终试卷B


复旦大学计算机科学技术学院
2011-2012 学年第二学期《线性代数》期终考试试卷 B卷 共 9页

课程代码:COMP120004.02 考试形式:□开卷 □ √闭卷 2012 年 9 月 (本试卷答卷时间为 120 分钟,答案必须写在试卷上,做在草稿纸上无效)

专业
题号 得分 一 二

学号
三 四 五

姓名
六 七 八

成绩
九 十 总分

一、名词解释(10%)
1. 矩阵的秩

( 装 订 线 内 不 要 答 题 )

2. 齐次线性方程组的基础解系

第 1 页

3. 线性空间的维数

4. 分别写出非齐次方程组 Ax ? b 的解存在与齐次方程组 Ax ? 0 的解存在的充分必要条件

5. 二次型的标准形与规范形

第 2 页

二、选择题(10%)
1. 在 n 阶行列式 A 中将第 i 行第 j 列的元素乘以 b i ? j (i, j ? 1,2,? ? ?, n) ,其值变为 A. A B. b n A C. (b)
n ( n ?1) 2



A

D. b A 。

2. 改变一个 n 阶行列式 A 的每一个元素为原来的一半,其值将变为

1 A A. 2

B. 2 A

1 C. ( ) 2

n ( n ?1) 2

A

D. ( ) A

1 2

n

3. 假设 A, B 都为 n 阶矩阵, k 为正整数,下列正确的是 A. 若 A ? 0 ,则 A ? 0 C. A ? B ? A ? B B. ? A ? A D. A
k



( 装 订 线 内 不 要 答 题 )

? A

k

4. 假设 D ? ?

?A 0? ? ,其中 A 为 m 阶矩阵, B 为 n 阶矩阵,则 rD ? 0 B ? ?
B. max( rA , rB ) C. rAB



A. min(rA , rB )

D. rA ? rB

5. n 阶实反对称矩阵的全体按矩阵通常的加法与数乘构成实数域 R 上的线性空间 V ,此空间 的维数为 A. n 。 B. n
2

C. n!

D.

n( n ? 1) 2

三、填空题(10%)

1. 在 n 阶行列式 A 中位于某 k 行, 某 l 列交叉点的 kl 个元素全为 0, 且k ? l ? n, 则 A? 2. 假设 A 是 m ? n 矩阵, 则齐次方程组 Ax ? 0 只有零解的充要条件是 rA 非零解的充要条件是 rA 。



;Ax ? 0 有

第 3 页

?1 ?2 3. 假设矩阵 A ? ? ?8 ? ?1

0 3 4 9

0 0 1 2

0? 0? ? , A* 是矩阵 A 的伴随矩阵, ( A* ) ?1 = 0? ? 5?



3 4. 假设 A 是四阶矩阵,它的特征值分别是 1,-1,2,-2。则行列式 A ? 2 A =



5. 假设向量组 ?1 , ? 2 ,? ? ?, ? s 线性无关,其中 s 是奇数。 且 为

?1 ? ?1 ? ? 2 , ? 2 ? ? 2 ? ? 3 ,? ? ?, ? s ? ? s ? ?1 , 生 成 子 空 间 L(?1 , ? 2 ,? ? ?, ? s ) 的 维 数


四、是非题(10%)
1. 假设 A 是 m ? n 矩阵, 对于非齐次线性方程组 Ax ? b , 有 rA ? m , 则此方程必相容。 【 2. 假设 A 是 m ? n 矩阵 ,其秩为 r ,则 A 中必定存在一个 r ? 1 阶子式不为零。 【 】 】 】 】 】

3. 假设 A 是 m ? n 矩阵,它的 m 个行向量线性相关,则它的 n 个列向量也线性相关。 【 4. 假设 R 为实数域, C 为复数域,则 R 是复数域 C 上的线性空间。 5. 假设 A, B 都是 n 阶对称矩阵,且 ?I n ? A ? 【 【

?I n ? B ,则 A 与 B 相似。

五、行列式计算(10%)
0 1
1. 行列式 An ?

1 0 1 1 1

1 1 0 1 1

??? ??? ??? ??? ???

1 1 1 0 1

1 1 1 1 0

1 1 1

??? ??? ??? ??? ??? ???

第 4 页

六、计算逆阵(10%)

?1 ?2 1. A ? ? ?1 ? ?1

2 3 4? 3 1 2? ? 1 1 ? 1? ? 0 ? 2 ? 6?

( 装 订 线 内 不 要 答 题 )

第 5 页

七、计算非齐次方程组的通解(10%):
? x1 ?? 2 x ? 1 1. ? ? x1 ? ? ? 2 x2 ? 5 x2 ? 2 x2 x2 ? 6 x3 ? 2 x4 ? 3x4 ? 3x4 ? ?7 ? ? ? 10 0 10 ? 10x3 ? 4 x3 ? 2 x3

第 6 页

八、计算题(10%)
1. 已知线性空间 P[ x]3 的向量组:

f1 ? 1 ? x ? 3x 2 ? x 3 , f 2 ? 1 ? x ? 2 x 2 , f 3 ? 1 ? x ? x 2 ? x 3 , f 4 ? x 2 ? x 3
(1)计算子空间 L( f1 , f 2 , f 3 , f 4 ) 的维数和一个基; (2)确定 f 5 ? f1 ? f 2 ? f 3 ? f 4 在这个基下的坐标; (3)向量 f 6 ? 1 ? x 是否属于子空间 L( f1 , f 2 , f 3 , f 4 ) 。

( 装 订 线 内 不 要 答 题 )

第 7 页

九、证明题(20%) 1. 假设 A 是 n 阶矩阵,试证: (1) 矩阵 A 可以分解成实对称矩阵 B 与实反对称矩阵 C 之和; (2) 若 A? B?C , 其 中 B 是 实 对 称 矩 阵 , C 是 实 反 对称 矩 阵 , 而 且

BC ? CB ? 0, A2 ? 0 ,则 A ? 0 。

第 8 页

2.

设 V 是数域 P 上的 n 维线性空间, ? ,? 是空间 V 上的线性变换, ? 在数域 P 上有 n 个 不同的特征值,证明: (1) ? 的特征向量都是 ? 的特征向量的充要条件是 ?? ? ?? ; (2)若 ?? ? ?? ,则 ? 是 ? , ? , ? 2 ,? ? ?, ? n?1 的线性表示,其中 ? 表示 V 上的恒等变换。

( 装 订 线 内 不 要 答 题 )

第 9 页


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