新疆生产建设兵团2016_2017学年高二数学下学期第四次月考试题理

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2018 届高二第二学期第四次月考 数学(理)试卷
时间:120 分钟 满分:150 分

Ⅰ卷

一、选择题(共 12 小题,共 60 分)

1.设 a、b、c∈R,给出下列命题 : >b ; ④a<b<c,a>0? > 其中正确命题的个数是( A.1 个 B.2 个 ) C.3 个
2

①a>b? ac >bc ; ②a>b? a >b ; ③a>|b|? a

2

2

2

2

2

c c a b

D.4 个 )

2.圆 ρ = 2(cosθ +sinθ )的圆心的极坐标是 (

? π? A.?1, ? 4? ?

?1 π ? B.? , ? ?2 4 ?

π? ? C.? 2, ? 4? ?

? π? D.?2, ? 4? ?
)

1 3.极坐标方程 ρ =cos θ 与 ρ sin θ = 的图形是( 2

2 4.过点 P(4,3),且斜率为 的直线的参数方程为( 3

)

? x ? 4? ? ? A. ? ?y ? 3? ? ?

3 t 13 (t 为参数) 2 t 13

? x ? 3? ? ? B. ? ?y ? 4? ? ?

3 t 13 (t 为参数) 2 t 13

-1-

? x ? 4? ? ? C. ? ?y ? 3? ? ?

2 t 13 (t 为参数) 3 t 13

? x ? 3? ? ? D. ? ?y ? 4? ? ?

2 t 13 (t 为参数) 3 t 13

5. “微信抢红包”自 2015 年以来异常火爆,在某个微信群某次进行的抢红包活动中,若所 发红包的总金额为 10 元,被随机分配为 1.49 元,1.81 元,2.19 元,3.41 元,0.62 元,0.48 元,共 6 份,供甲、乙等 6 人抢,每人只能抢一次,则甲、乙二人抢到的金额之和不低于 4 元的概率是( A. ) B.

1 2

1 4

C.

1 3

D.

1 6
)

6.若关于 x 的不等式|a-1|≥|2x+1|+|2x-3|的解集非空,则实数 a 的取值范围为( A.(-∞,-3]∪[5,+∞) C.[-3,5] B.(-∞,-3)∪(5,+∞) D.(-3,5) )

7.已知 a,b 是实数,则“| a+b |=| a |+| b |”是“ab>0”的( A.充分不必要条件 C.充分必要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

8.某学校为了提高学生的意识,防止事故的发生,拟在未来连续 7 天中随机选择 3 天进行紧急 疏散演练,则选择的 3 天中恰好有 2 天连续的情况有( A.10 种 B.20 种 C.25 种 ) D.30 种 )

9 .已知 ? ? (0, ? ) ,则 y ? A.6 B.10

1 9 ? 的最小值为( 2 sin ? cos 2 ?
C.12 D.16

10.已知 a>b>0,且 ab=1,若 c= A.P<M<N C.N<P<M

2 ,P=logca,N=logcb,M=logc(ab),则( a+b B.M<P<N D.P<N<M

)

?3 x ? 8 y ? 4 ? 0 ? 11 .已知实数 x , y 满足约束条件 ? x ? 8 y ? 4 ? 0 ,若 z ? ax ? by? a ? 0, b ? 0? 的最大值为 ? x ? 0, y ? 0 ?
12,则

9 1 ? 的最小值为( ) a b 43 49 A. B. 12 12

C.

25 12

D.

85 12

-2-

12.已知函数 f ? x ? ? x ? ln x ? ax ? 有两个极值点,则实数 a 的取值范围是( A. (-?,0)

)

( 0, ) B.

1 2

(0,1) C.

(0, +?) D.

Ⅱ卷 二、填空题(共 4 小题,共 20 分) 13 . 若 关 于 x 的 不 等 式 |2x+m|≤1 的 整 数 解 有 且 仅 有 一 个 值 为 -3 , 则 整 数 m 的 值 为 .
2

14. 在 ?1 ? x ? ? ?1 ? x ? ?

? ?1 ? x ? 的展开式中,x 2 项的系数是__________ (用数字作答) .
6

15. 已知不等式|x+3|+|x-1|≥a2-3a 对任意实数 x 恒成立,则实数 a 的取值范围为 16.已知直线?
? ?x=2-tsin30°, ?y=-1+tsin30° ?
2 2

.

(t 为参数)与圆 x +y =8 相交于 B、C 两点,O 为原点,则

△BOC 的面积为

.

三、解答题(共 6 小题,共 70 分。解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程) 17. (本小题满分 10 分)设函数 f(x)=|2x+1|-|x-4|. (Ⅰ) 解不等式 f(x)>2; (Ⅱ) 求函数 y=f(x)的最小值.

18. (本小题满分 12 分) (Ⅰ) 设不等式 | 2 x ? 1 |? 1 的解集是 M , a, b ? M .试比较 ab ? 1 与 a ? b 的大小; (Ⅱ)设 a ? 0, b ? 0, c ? 0 ,且 ab ? bc ? ca ? 1 .求证: a ? b ? c ? 3 .

19. (本小题满分 12 分)在平面直角坐标系中,以原点为极点, x 轴为极轴建立极坐标系,曲
-3-

线 C1 的方程为 ?

? x ? 2 cos ? ? ( ? 为参数) ,曲线 ? ? y ? sin ?

C2 的极坐标方程为 C2 : ? cos? ? ? sin ? ? 1 ,若
曲线 C1 与 C2 相交于 A 、 B 两点. (Ⅰ) 求 | AB | 的值; (Ⅱ) 求点 M (?1, 2) 到 A 、 B 两点的距离之积.

20. (本小题满分 12 分) 在直角坐标系 xOy 中, 曲线 C1 :x ? y ? 4 , 曲线 C2 :? ( ? 为参数) , 以坐标原点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (Ⅰ) 求曲线 C1 , C2 的极坐标方程; (Ⅲ)若射线 l : ? ? ? ( ? ? 0 )分别交 C1 , C2 于 A, B 两点, 求

? x ? 1 ? cos ? ? y ? sin ?

| OB | 的最大值. | OA |

21. (本小题满分 12 分)为研究家用轿车在高速公路上的车速情况,交通部门随机选取 100 名家用轿车驾驶员进行调查,得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为:在 55 名男性驾 驶员中,平均车速超过 100 km/h 的有 40 人,不超过 100 km/h 的有 15 人,在 45 名女性驾驶 员中,平均车速超过 100 km/h 的有 20 人,不超过 100 km/h 的有 25 人. (Ⅰ) 完成下面 2×2 列联表,并判断有多大的把握认为“平均车速超过 100 km/h 与性别 有关”?

n ? ad ? bc ? 附: K ? , ? a ? b ?? c ? d ?? a ? c ?? b ? d ?
2 2

其中 n ? a ? b ? c ? d

-4-

(Ⅱ) 在被调查的驾驶员中,从平均车速不超过 100 km/h 的人中随机抽取 2 人,求这 2 人 恰好有 1 名男性驾驶员和 1 名女性驾驶员的概率; (Ⅲ) 以上述样本数据估计总体,从高速公路上行驶的家用轿车中随机抽取 3 辆,记这 3 辆车平均车速超过 100 km/h 且为男性驾驶员的车辆数为 X,求 X 的分布列和数学期望 E(X).

22.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)=alnx+x2+bx (a,b 为常数). (Ⅰ) 若 a ? ?2, b ? ?3 ,求函数 f(x)的单调区间; (Ⅱ) 若 b ? 0, a ? ?2e2 ,求函数 f(x)在[1,e]上的最小值及相应的 x 值; (Ⅲ) 设 b=0,若存在 x∈[1,e],使得 f(x)≤(a+2)x 成立,求实数 a 的取值范围.

-5-

兵团二中 2018 届高二第二学期第四次月考 数学(理)试卷 时间:120 分钟 满分:150 分

Ⅰ卷

一、选择题(共 12 小题,共 60 分)

1.设 a、b、c∈R,给出下列命题 : >b ; ④a<b<c,a>0? >
2

①a>b? ac >bc ; ②a>b? a >b ; ③a>|b|? a

2

2

2

2

2

c c a b

其中正确命题的个数是( B ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 A )

2.圆 ρ = 2(cosθ +sinθ )的圆心的极坐标是 (

? π? A.?1, ? 4? ?

?1 π ? B.? , ? ?2 4 ?

π? ? C.? 2, ? 4? ?

? π? D.?2, ? 4? ?
A )

1 3.极坐标方程 ρ =cos θ 与 ρ sin θ = 的图形是( 2

2 4.过点 P(4,3),且斜率为 的直线的参数方程为( A 3

)

? x ? 4? ? ? A. ? ?y ? 3? ? ? ? x ? 4? ? ? C. ? ?y ? 3? ? ?

3 t 13 (t 为参数) 2 t 13 2 t 13 (t 为参数) 3 t 13

? x ? 3? ? ? B. ? ?y ? 4? ? ? ? x ? 3? ? ? D. ? ?y ? 4? ? ?

3 t 13 (t 为参数) 2 t 13 2 t 13 (t 为参数) 3 t 13

5. “微信抢红包”自 2015 年以来异常火爆,在某个微信群某次进行的抢红包活动中,若所 发红包的总金额为 10 元,被随机分配为 1.49 元,1.81 元,2.19 元,3.41 元,0.62 元,0.48

-6-

元,共 6 份,供甲、乙等 6 人抢,每人只能抢一次,则甲、乙二人抢到的金额之和不低于 4 元的概率是( C ) A.

1 2

B.

1 4

C.

1 3

D.

1 6
A )

6.若关于 x 的不等式|a-1|≥|2x+1|+|2x-3|的解集非空,则实数 a 的取值范围为( A.(-∞,-3]∪[5,+∞) C.[-3,5] B.(-∞,-3)∪(5,+∞) D.(-3,5) )

7.已知 a,b 是实数,则“| a+b |=| a |+| b |”是“ab>0”的( B A.充分不必要条件 C.充分必要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

8.某学校为了提高学生的意识,防止事故的发生,拟在未来连续 7 天中随机选择 3 天进行紧急 疏散演练,则选择的 3 天中恰好有 2 天连续的情况有( B ) A.10 种 B.20 种 C.25 种 D.30 种

9 .已知 ? ? (0, ? ) ,则 y ? A.6 B.10

1 9 ? 的最小值为( D ) 2 sin ? cos 2 ?
C.12 2 D.16 A )

10.已知 a>b>0,且 ab=1,若 c= A.P<M<N C.N<P<M

a+b

,P=logca,N=logcb,M=logc(ab),则( B.M<P<N D.P<N<M

?3 x ? 8 y ? 4 ? 0 ? 11 .已知实数 x , y 满足约束条件 ? x ? 8 y ? 4 ? 0 ,若 z ? ax ? by? a ? 0, b ? 0? 的最大值为 ? x ? 0, y ? 0 ?
12,则

9 1 ? 的最小值为( B ) a b 43 49 A. B. 12 12

C.

25 12

D.

85 12
)

12.已知函数 f ? x ? ? x ? ln x ? ax ? 有两个极值点,则实数 a 的取值范围是( B A. (-?,0)

( 0, ) B.

1 2

(0,1) C.

(0, +?) D.

-7-

Ⅱ卷 二、填空题(共 4 小题,共 20 分) 13 . 若 关 于 x 的 不 等 式 |2x+m|≤1 的 整 数 解 有 且 仅 有 一 个 值 为 -3 , 则 整 数 m 的 值 为 6 .
2

14. 在 ?1 ? x ? ? ?1 ? x ? ? 答) .

? ?1 ? x ? 的展开式中, x 2 项的系数是____35______(用数字作
6

15.已知不等式|x+3|+|x-1|≥a2-3a 对任意实数 x 恒成立,则实数 a 的取值范围为 [-1,4] 16.已知直线? .
?x=2-tsin30°, ? ? ?y=-1+tsin30°

(t 为参数)与圆 x +y =8 相交于 B、C 两点,O 为原点,则 .

2

2

△BOC 的面积为

15

三、解答题(共 6 小题,共 70 分。解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程) 17. (本小题满分 10 分)设函数 f(x)=|2x+1|-|x-4|. (Ⅰ) 解不等式 f(x)>2; (Ⅱ) 求函数 y=f(x)的最小值. 解:(1)令 y=|2x+1|-|x-4|,则 -x-5, x≤- , 2 ? ? 1 y=? 3x-3,- <x<4, 2 ?x+5, ? x≥4. 1

?5 ? 作出函数 y=|2x+1|-|x-4|的图像, 它与直线 y=2 的交点为(-7,2)和? ,2?.于是|2x ?3 ? ?5 ? +1|-|x-4|>2 的解集为(-∞,-7)∪? ,+∞?. ?3 ?
1 (2)由函数 y=|2x+1|-|x-4|的图像可知,当 x=- 时,y=|2x+ 2 9 1|-|x-4|取得最小值- . 2 18. (本小题满分 12 分) (Ⅰ) 设不等式 | 2 x ? 1 |? 1 的解集是 M , a, b ? M .试比较 ab ? 1 与
-8-

a ? b 的大小;
(Ⅱ)设 a ? 0, b ? 0, c ? 0 ,且 ab ? bc ? ca ? 1 .求证: a ? b ? c ? 3 . 证明:

2x ?1 ? 1,?0 ? x ? 1,?M ? ?x | 0 ? x ? 1?

?1 ? ab ? (a ? b) ? (1 ? a)(1 ? b) ? 0,?1 ? ab ? a ? b

(2)

a 2 ? b 2 ? 2ab; b 2 ? c 2 ? 2bc; c 2 ? a 2 ? 2ac
2

? a 2 ? b 2 ? c 2 ? ab ? bc ? ca ? ? a ? b ? c ? ? a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2ab ? 2bc ? 2ca ? ab ? bc ? ca ? 2ab ? 2ba ? 2ca ? 3 a?b?c ? 0 ?a ? b ? c ? 3
19. (本小题满分 12 分)在平面直角坐标系中,以原点为极点, x 轴为极轴建立极坐标系,曲 线 C1 的方程为 ?

? ? x ? 2 cos ? ( ? 为参数) , 曲线 C2 的极坐标方程为 C2 : ? cos? ? ? sin ? ? 1 , y ? sin ? ? ?

若曲线 C1 与 C2 相交于 A 、 B 两点. (Ⅰ) 求 | AB | 的值; (Ⅱ) 求点 M (?1, 2) 到 A 、 B 两点的距离之积.

解(1) 曲线 C1 的普通方程为

x2 ? y 2 ? 1, C2 : ? cos? ? ? sin ? ? 1 , 2

? ? x ? ?1 ? ? 则 C2 的普通方程为 x ? y ? 1 ? 0 ,则 C2 的参数方程为: ? ? y ? 2? ? ?
代入 C1 得 3t ? 10 2t ? 14 ? 0 , AB ? t1 ? t2 ?
2

2 t 2 t为参数 ? ? 2 t 2
4 2 . 3

(t1 ? t2 )2 ? 4t1t2 ?

(2) MA MB ? t1t2 ?

14 . 3

20. (本小题满分 12 分) 在直角坐标系 xOy 中, 曲线 C1 :x ? y ? 4 , 曲线 C2 :?

? x ? 1 ? cos ? ? y ? sin ?
-9-

( ? 为参数) , 以坐标原点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (Ⅰ) 求曲线 C1 , C2 的极坐标方程; (Ⅲ)若射线 l : ? ? ? ( ? ? 0 )分别交 C1 , C2 于 A, B 两点, 求

| OB | 的最大值. | OA |

21. (本小题满分 12 分)为研究家用轿车在高速公路上的车速情况,交通部门随机选取 100 名家用轿车驾驶员进行调查,得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为:在 55 名男性驾 驶员中,平均车速超过 100 km/h 的有 40 人,不超过 100 km/h 的有 15 人,在 45 名女性驾驶 员中,平均车速超过 100 km/h 的有 20 人,不超过 100 km/h 的有 25 人. (Ⅰ) 完成下面 2×2 列联表,并判断有多大的把握认为“平均车速超过 100 km/h 与性别 有关”?

n ? ad ? bc ? 附: K ? , ? a ? b ?? c ? d ?? a ? c ?? b ? d ?
2 2

其中 n ? a ? b ? c ? d

- 10 -

(Ⅱ) 在被调查的驾驶员中,从平均车速不超过 100 km/h 的人中随机抽取 2 人,求这 2 人 恰好有 1 名男性驾驶员和 1 名女性驾驶员的概率; (Ⅲ) 以上述样本数据估计总体,从高速公路上行驶的家用轿车中随机抽取 3 辆,记这 3 辆车平均车速超过 100 km/h 且为男性驾驶员的车辆数为 X,求 X 的分布列和数学期望 E(X). 【答案】(1)完成的 2×2 列联表如下:

K2=

≈8.249>7.879,

所以有 99.5%的把握认为“平均车速超过 100 km/h 与性别有关”. (2)平均车速不超过 100 km/h 的驾驶员有 40 人,从中随机抽取 2 人的方法总数为 ,记“这 2 ,

人恰好有 1 名男性驾驶员和 1 名女性驾驶员”为事件 A,则事件 A 所包含的基本事件数为

所以所求的概率 P(A)=

.

(3)根据样本估计总体的思想,从总体中任取 1 辆车,平均车速超过 100 km/h 且为男性驾驶员 的概率为 ,故 X~B(3, ).
0 3

所以 P(X=0)= ( ) ( ) = P(X=3)= ( )3( )0= 所以 X 的分布列为 .

;

P(X=1)= ( )( ) =

2

;

P(X=2)= ( ) ( )=

2

;

EX=0×

+1×

+2×

+3×

(或 EX=3×

).

22.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)=alnx+x2+bx (a,b 为常数).
- 11 -

(Ⅰ) 若 a ? ?2, b ? ?3 ,求函数 f(x)的单调区间; (Ⅱ) 若 b ? 0, a ? ?2e2 ,求函数 f(x)在[1,e]上的最小值及相应的 x 值; (Ⅲ) 设 b=0,若存在 x∈[1,e],使得 f(x)≤(a+2)x 成立,求实数 a 的取值范围. 【答案】 (1)当 a=-2,b=-3 时,f(x)=-2lnx+x2-3x,f(x)的定义域为(0,+∞),

f'(x)=- +2x-3=
令 f'(x)=0,得 x=2,

.

所以当 x∈(0,2)时,f'(x)<0,当 x∈(2,+∞)时,f'(x)>0, 所以函数 f(x)的单调递增区间为(2,+∞),单调递减区间为(0,2). (2)因为 b=0,所以 f(x)=alnx+x , 所以 f'(x)= (x>0),又 x∈[1,e],所以 2x2+a∈[a+2,a+2e2].
2

①若 a≥-2,则 f'(x)在[1,e]上非负(当且仅当 a=-2,x=1 时,f'(x)=0), 故函数 f(x)在[1,e]上是增函数, 此时 f(x)min=f(1)=1,且 x=1. ②若-2e <a<-2,则 a+2<0,a+2e >0,
2 2

f'(x)=

,x∈[1,e],

当 x= 当

时,f'(x)=0,此时-2e2<a<-2,1<

<e,

<x≤e 时,f'(x)>0,此时 f(x)是增函数; 时,f'(x)<0,此时 f(x)是减函数. )= ln(- )- ,此时 x=
2

当 1≤x< 故 f(x)min=f(

.

(3)因为 b=0,所以 f(x)=alnx+x , 不等式 f(x)≤(a+2)x,即 alnx+x2≤(a+2)x,可化为 a(x-lnx)≥x2-2x, 因为 x∈[1,e],所以 lnx≤1≤x,且等号不能同时取到, 所以 lnx<x,即 x-lnx>0,因而 a≥( 令 g(x)= (x∈[1,e]),则 g'(x)= )min(x∈[1,e]). ,
- 12 -

当 x∈[1,e]时,x-1≥0,lnx≤1,x+2-2lnx>0, 从而 g'(x)≥0(当且仅当 x=1 时取等号),所以 g(x)在[1,e]上为增函数, 故 g(x)的最小值为 g(1)=-1,所以实数 a 的取值范围是[-1,+∞).

- 13 -


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