导数综合训练题2

导数综合训练题
1、 (2011 辽宁)设函数 f ( x) ? x ? ax2 ? b ln x ,曲线 y ? f ( x) 过点 P ?1,0 ? ,且在 P 点处 的切线斜率为 2。 (1)求 a,b 的值; (2)证明: f ( x) ? 2 x ? 2 。

2、 (2011 新课标)已知函数 f ( x) ? 为 x ? 2y ? 3 ? 0 。 (1)求 a,b 的值;

a ln x b ? ,曲线 y ? f ( x) 在点 ?1, f (1) ? 处的切线方程 x ?1 x

(2)证明:当 x ? 0 ,且 x ? 1 时, f ( x ) ?

ln x 。 x ?1

3、 (2011 上海)已知函数 f ( x) ? a ? 2x ? b ? 3x ,其中常数 a,b 满足 ab ? 0 。 (1)若 ab ? 0 ,判断函数 f ( x ) 的单调性; (2)若 ab ? 0 ,求 f ( x ? 1) ? f ( x) 时的 x 的取值范围。

x 2 4、 (2009 辽宁)设 f ( x) ? e ax ? x ? 1 ,且曲线 y ? f ( x) 在 x ? 1 处的切线与 x 轴平行。

?

?

(1)求 a 的值,并讨论 f ( x ) 的单调性; (2)证明:当 ? ? ?0,

? ?? 时, f (cos? ) ? f (sin ? ) ? 2 。 ? 2? ?

5、 (2011 北京理)已知函数 f ( x) ? ? x ? k ? e k 。
2

x

(1)求 f ( x ) 的单调区间; (2)若对于任意的 x ? ? 0, ??? ,都有 f ( x ) ?

1 ,求 k 的取值范围。 e

6、 (2009 山东)已知函数 f ( x) ?

1 3 ax ? bx 2 ? x ? 3 ,其中 a ? 0 。 3

(1)当 a,b 满足什么条件时, f ( x ) 取得极值? (2)已知 a ? 0 ,且 f ( x ) 在区间 ? 0,1? 上单调递增,试用 a 表示出 b 的取值范围。

7、 (2009 陕西)已知函数 f ( x) ? x3 ? 3ax ?1, a ? 0 。 (1)求 f ( x ) 的单调区间; (2)若 f ( x ) 在 x ? ?1 处取得极值,直线 y ? m 与 y ? f ( x) 的图像有三个不同的交点,求 m 的取值范围。

8、 (2011 江苏)请你设计一个包装盒。如图所示,ABCD 是边长为 60cm 的正方形硬纸片, 切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形,再沿虚线折起,使得 A、B、C、D 四个点重合于图中的点 P, ,正好形成一个正四棱柱形状的包装盒。 E , F 在 AB 上, 是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点。设 AE ? FB ? x (cm) 。 (1)某广告商要求包装盒的侧面积 S(cm )最大,试问 x 应如何取值? (2)某厂商要求包装盒的容积 V(cm )最大, ,试问 x 应取何值?并求出此时包装盒的高 与底边边长的比值。
3 2

9、 (2009 江西)设函数 f ( x) ? x ?
3

9 2 x ? 6x ? a 。 2

(1)对于任意实数 x, f ?( x) ? m 恒成立,求 m 的最大值; (2)若方程 f ( x) ? 0 有且仅有一个实根,求 a 的取值范围。

x 10、 (2011 陕西理) 如图, 从点 P 曲线在 Q1 1 ? 0,0? 作 x 轴的垂线交曲线 y ? e 于点 Q 1 ? 0,1? ,

点处的切线交于点 P 2 。再从 P 2 作 x 轴的垂线交曲线于点 Q2 ,依次重复上述过程得到一 系列的点: P 1, Q 1; P 2 , Q2 ;

; Pn , Qn ,记 Pk 点的坐标为 ? xk ,0? ? k ? 1, 2,..., n? 。

(1)试求 xk 与 xk ?1 的关系 ? 2 ? k ? n? ; (2)求 PQ 1 1 ? PQ 2 2 ? PQ 3 3 ?

? PQ n n 。

11 、 ( 2010 湖北)设函数 f ( x) ?

1 3 a 2 x ? x ? bx ? c ,其中 a ? 0 。曲线 y ? f ( x) 在点 3 2

P ? 0, f (0)? 处的切线方程为 y ? 1 。
(1)确定 b,c 的值; ( 2 )设曲线 y ? f ( x) 在点 x1, f ? x1 ? 及 x2 , f ? x2 ? 处的切线都过点 ? 0, 2? 。证明:当

?

? ?

?

x1 ? x2 时, f ?( x1 ) ? f ?( x2 ) ;
(3)若过点 ? 0, 2 ? 可做曲线 y ? f ( x) 的三条不同的切线,求 a 的取值范围。

习题:
1、 (2010 江西)设函数 f ( x) ? 6x3 ? 3? a ? 2? x2 ? 2ax 。 (1)若 f ( x ) 的两个极值点为 x1 , x2 ,且 x1 x2 ? 1 ,求实数 a 的值; (2)是否存在实数 a,使得 f ( x ) 是 ? ??, ??? 上的单调函数?若存在,求出 a 的值;若不 存在,说明理由。

2、 (2011 陕西)设 f ( x) ? ln x , g ( x) ? f ( x) ? f ?( x) 。 (1)求 g ( x) 的单调区间的最小值; (2)讨论 g ( x) 与 g ?

?1? ? 的大小关系; ? x?
1 对任意的 x ? 0 成立。 a

(3)求 a 的取值范围,使得 g ( a ) ? g ( x ) ?

3、 (2010 浙江)已知函数 f ( x) ? ? x ? a ?

2

? x ? b ?? a, b ? R, a ? b ? 。

(1)当 a ? 1, b ? 2 时,求曲线 y ? f ( x) 在点 ? 2, f (2) ? 处的切线方程; (2)设 x1 , x2 是 f ( x ) 的两个极值点, x3 是 f ( x ) 的一个零点,且 x3 ? x1 , x3 ? x2 。证明: 存在实数 x4 ,使得 x1 , x2 , x3 , x4 按某种顺序排列后构成等差数列,并求出 x4 。

4、 (2011 湖北)设函数 f ( x) ? x3 ? 2ax2 ? bx ? a , g ( x) ? x2 ? 3x ? 2 ,其中 x ? R ,a,b 为常数,已知曲线 y ? f ( x) 与 y ? g ( x) 在点 ? 2, 0 ? 处有相同的切线 l; (1)求 a,b 的值,并写出切线 l 的方程; (2)若方程 f ( x) ? g ( x) ? mx 有三个互不相同的实根 0、 x1 、 x2 ,其中 x1 ? x2 ,且对任 意的 x ?? x1 , x2 ? , f ( x) ? g ( x) ? m ? x ?1? 恒成立,求实数 m 的取值范围。

5、 (2011 福建)已知 a,b 为常数,且 a ? 0 ,函数 f ( x) ? ?ax ? b ? ax ln x , f (e) ? 2

(e ? 2.71828

是自然对数的底) 。

(1)求实数 b 的值; (2)求函数 f ( x ) 的单调区间; (3) 当 a ? 1 时, 是否同时存在实数 m 和 M (m ? M ) , 使得对每一个 t ?? m, M ? , 直线 y ? t 与曲线 y ? f ( x) ? x ? ?e, ? ? 都有公共点?若存在,求出最小的实数 m 和最大的实数 e

? ?

? 1? ? ? ??

M;若不存在,说明理由。

习题答案: 1、 (1) a ? 9 ; (2)不存在实数 a 使得 f ( x ) 是 ? ??, ??? 上的单调函数。

2、 (1) g ( x) 的单调减区间: ? 0,1? ,单调增区间: ?1, ?? ? ; x ? 1 是唯一的极值点,也是 极小值点,也是最小值点,最小值为 g (1) ? 1 。 (2)当 x ? 1 , g ( x) ? g ?

?1? ?1? ? ;当 0 ? x ? 1 时, g ( x) ? g ? ? ; ? x? ? x? ?1? ?; ? x?

当 x ? 1 时, g ( x) ? g ? (3) 0 ? a ? e 。 3、 (1) y ? x ? 2 ;

(2)存在实数 x4 满足题意,且 x4 ?

2a ? b 。 3

4、 (1) a ? ?2, b ? 5 ,切线 l 的方程为 x ? y ? 2 ? 0 ; (2) m ? ? ?

? 1 ? ,0?。 ? 4 ?

5、 (1) b ? 2 ; (2)当 a ? 0 时,函数 f ( x ) 的单调增区间为 ?1, ?? ? ,单调减区间为 ? 0,1? ; 当 a ? 0 时,函数 f ( x ) 的单调增区间为 ? 0,1? ,单调减区间为 ?1, ?? ? ; (3) 当 a ? 1 时,存在最小的实数 m ? 1 , 最大的实数 M ? 2 ,使得对每一个 t ?? m, M ? , 直线 y ? t 与曲线 y ? f ( x) ? x ? ? , e ? ? 都有公共点。 e

? ?

?1 ? ? ? ??


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