2013年江苏省高中数学优秀课评比教案——对数的概念9月27日_图文

苏教版高中数学必修 1

3.2.1 对数(第 1 课时)

教案

课题:3.2.1 对数 (第 1 课时)
授课教师:南京师范大学附属中学 教材:苏教版高中数学必修 1
1. 创设情境 建构概念

张萍

师:同学们,在前面学习指数函数时,我们曾见过这样的问题情境. 投影:

〖问题 1〗你能就此情境提出一个数学问题吗? 师:请将你的问题写在草稿本上. (2—3 分钟)

师:写好的同学请和同桌交流一下, (根据情况而定是否要说:看能否再提一 个不同的问题.) 师:你提的是什么问题呢? (1) 经过 5 年,这种物质的剩留量为原来的多少? 师:是多少呢?(写下来)0.845=N.(谢谢请坐) 师:有不同的问题吗? (2)经过多少年,这种物质的剩留量为原来的一半? 1 师:这个问题怎么解决呢? 0.84x=2.(好的请坐) 师:同学们提出了很好的问题,这两个问题实际上都与我们学过的指数函数 y=0.84x 有关.
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第一个问题是已知指数 x 求幂 y;第二个问题是已知幂 y 求指数 x.如果底数 是未知的,那么,我们还可以解决已知指数 x 和幂 y 求底数 a 的问题. [阶段小结]这些问题本质上就是在研究 a =N(其中 a>0 且 a≠1)中已知两个量 求第三个量.
b

师:之前我们已经研究了已知 a,b 求 N,比如:

(板书)32=9,53=125, . . . . . . 我们还研究了已知 b, N 求 a,比如:

a5=32?a=2,a3=5?a=3 5,…… 现在我们还可以研究什么问题呢?已知 a, N,求 b. 比如:

(3)2b=2?b=1, (空一行) , 2b=4?b=2,
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(写在空一行的位置)2b=3?b=?,这样的指数 b 有没有呢?

预设 1: 生:2b=2?b=1,2b=4?b=2,2b=3,b 在 1 到 2 之间. 师:为什么? 师:2b 从 2 增加到 4,指数 b 就相应地从 1 增加到 2? 从数的角度进行解释(很好) ,还能从其他角度来解释吗? 预设 2: 生:2b=3 这个问题和指数函数 y=2x 有关,我们可以作出它的图象来观察. 师:作出 2x=3 与 y=3 的图象,发现它们有交点,而且只有一个,那么指数 b 在哪里呢?

生:交点的横坐标就是我们要求的指数 b. (根据情况点评——师: 从形的角度来解释很好, 刚才那位同学实际上利用了 指数函数的单调性,从数的角度作解释的.) 师:看来满足 2b=3 的指数 b 可由“2 和 3”唯一确定,但它究竟是个什么数 呢?我们现在不能把它写出来,怎么办?以前我们有没有遇到过类似的问题呢? 生:3 5(也可能回答 π,还可能回答用一个新的符号)
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师:是的,数学家也是这么想的,他们解决这种问题的办法就是引进一个新的 符号,比如这里的 a3=5,a 等于什么呢?数学家就用 a=3 5来表示, a 是 3 和 5 确定的,将 3 和 5 写在相应的位置. 师:现在如何表示这里的指数 b 呢?指数 b 由 2 和 3 确定,数学家用 log23 来 表示,读作以 2 为底 3 的对数,其中 2 为底数,写在下方,3 叫真数.
这样,我们就由等式 2b=3(指数式)得到了等式 b=log23(对数式),对数式中的对数 b 就是指数式中的指数.

1 1 师:有了这个符号,就可以解决我们刚才的问题了,0.84x=2? x=log0.842. 师:你能再举一些这样的对数吗? 生:3b=10? b=log310; 4b=5? b=log45; 2b=7? b=log27; …… 这里的 1 能用对数表示吗?同样这里的 2 也可以表示为 log24. 对数 b 其实就 是一个数. 师:根据这些具体的例子,你知道一般情况下,对数是怎么表示的吗? 生:a =N?logaN 根据前面指数函数的学习,我们知道:这里的 a>0,a≠1. [阶段小结]
b

师:这就是今天我们要学习的内容——对数(板书).大家可以看到 log 其 实是对数单词的前三个字母. 【数学史】对数是由 17 世纪苏格兰数学家纳皮尔发明的,有兴趣的同学可 以查阅相关的数学史资料.
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师:根据对数的概念,我们不难发现,对数来源于指数,这两个等式表示 的是 a,b,N 三个量之间的同一个关系,只是表现形式不同而已,比如在 a =N 中,a>0,a≠1,a 叫底数,b 叫指数,N 叫幂,当变为对数式时,a 的范围不 变,a 还叫底数,指数 b 现在叫对数,幂 N 现在叫真数.
b

2.具体实例,理解概念 师:现在我们学了一个新的概念叫对数,知道对数其实就是一个数,比如以 2 为底 4 的对数就是 2,以 2 为底 3 的对数呢,就是满足 2b=3 的指数 b,它在 1 到 2 之间. 〖认识对数〗下面请每位同学写出 2—3 个对数,请同桌解释你写的是怎样 的对数.(3 分钟) 【第一阶段】体会“对数可以转化为指数,对数式和指数式是等价的”. 师:大家都在积极地认识对数这个新朋友.我们一起来看看,有同学写了这样 一个对数 log327.你知道它是个什么样的数吗? 师:为什么等于 3 呢? 生:因为 33 =27. 师:把对数式转化为相应的指数式,就容易理解了. 师:有同学还写了一个 log926=?这又是个什么样的数呢? 生 1:不知道. 师:前面我们怎么认识对数 log327 的呢? 生 1:转化成指数. 师:可以设它为 b,转化为 9b =26. 师:你知道它大概是多少吗?好的请坐.

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【小结】其实想要认识同学写的对数,只要将它转化为相应的指数式就明白 了,指数式和对数式是可以等价转化的. (将单箭头改为双箭头)

【第二阶段】认识更多范围的对数,等于 1 和 0 的对数,对数 b∈R,N>0. 师:大家看这两个对数是大于 0 的,有没有小于 0 的对数啊? 1 1 1 生:有,log22, log44=-1. log464=-3……. 师:为什么?(用指数式解释) 师:有没有等于 0 的对数呢? 生:log31=0,log11=0。 。 。 。 。 。
2

师:有很多,怎么表示? 生:loga1=0(a>0,a≠1). 师:为什么? 生:因为 a0=1(a>0,a≠1).

师:有等于 1 的对数吗? 生:刚才的 log22. 师:就它一个吗?还有吗? 生:log33,log44。 。 。 。 。 。 师:有很多,那等于 1 的所有对数怎么表示? 生:logaa=1(a>0,a≠1) 师:为什么? 生:因为 a1=a(a>0,a≠1).

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(预设) 师:a0=1 是个特殊的指数式,还有其他特殊的指数式吗? 生:a1=a. 师:由这个我们又能得到什么样的对数式呢? 生:loga1=0(a>0,a≠1). 师:a0=1,a1=a,一般情况呢? 生:an=an. 师:从而我们也可以得到 logaab=b.

师: 对数可正可负可为 0, 那对数是否能取到所有的实数呢?你怎么知道的? 生:从指数式 a =N(其中 a>0 且 a≠1)中我们可以知道. 师:对数 b 可以取到一切实数,底数 a>0,a≠1,真数 N 应满足什么要求? 生:大于 0. 师:为什么不能取负数或者 0 呢? 生: (举例说明)a =N ,a>0 且 a≠1 时,N 只能取大于 0 的数.
b b

【小结】通过讨论,我们认识了一些特殊的对数,知道对数 b 可以取到一切 实数,但是真数 N 必须大于 0.在认识对数的过程中,我们运用了对数式与指数 式之间的等价转化. 【第三阶段】概念应用——求值. 下面请看练习.

师:第一题值为多少?你是怎么想的?
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生:26=64 师:很好,第二题呢? 如果有同学知道答案,请他解释,重点问他怎么想到的。 如果学生不知道怎么做,启发:根据我们前面认识对数的方法,遇到一个新的对数问题 我们应该怎么做?转化为指数式. 师:回头看第 1 个问题的解决过程,log226=6,log1010-2=-2 你有什么发现? 师:一般情况下 logaab=b 对吗? 生:对,因为 ab= ab. 师:在 logaab=b 这个式子中,真数 N 变成了 ab,相当于将指数式 a =N 带入对数式 logaN=b, 消去 N.现在如果将对数式 logaN=b 带入指数式 a =N 消去 b, 会得到什么呢? 生:a
log N a =N b b

(a>0 且 a≠1).

师:从第 3 小题中,你又会有什么发现呢?对数还有很多有趣的性质,有兴 趣的同学可以继续研究. 师:大家看第 2 小题底数是 10,我们通常将以 10 为底的对数叫常用对数,简 记为 log10 N=lg N.以后在高等数学和物理学中还会经常用到以 e 为底的对数,叫 做自然对数,loge N=ln N.比如,lg2,ln3.

【小结】回顾一下,什么是对数?研究对数的基本方法是什么? 生:对数的概念. 对数就是一个数. 遇到对数问题转化为指数问题来解决. 师:很好,我们通过一些具体的例子得到了对数的概念,又通过举例和练 习进一步认识了对数,在认识的过程中,发现遇到对数的问题可以转化为指数 问题来解决.这两个式子是等价的,表示的是 a,b,N 这三个量之间的同一种关 系. 既然对数就是一个数,你觉得下面我们该研究什么呢?对数的运算,那如

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何研究对数的运算性质呢?请同学们先回去思考我们下节课再研究. 4. 作业 (1)必做题:课本 P74 练习第 1、3、4、5 题. (2)选做题:探究对数的运算性质.

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