2019-2020学年高中数学(北师大版)选修2-2教案:第3章 导数与函数的单调性 第一课时参考教案

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第一课时
一、教学目标: 1、知识与技能:⑴理解函数单调性的概念;⑵会判断函数的单调性,会求函 数的单调区间。 2、过程与方法:⑴通过具体实例的分析,经历对函数平均变化率和瞬时变化 率的探索过程;⑵通过分析具体实例,经历由平均变化率及渡到瞬时变化率的过 程。 3、情感、态度与价值观:让学生感悟由具体到抽象,由特殊到一般的思想方 法。 二、教学重点:函数单调性的判定 教学难点:函数单调区间的求法 三、教学方法:探究归纳,讲练结合 四、教学过程 (一) .创设情景 函数是客观描述世界变化规律的重要数学模型,研究函数时,了解函数的赠 与减、增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的.通过研究 函数的这些性质,我们可以对数量的变化规律有一个基本的了解.下面,我们运 用导数研究函数的性质,从中体会导数在研究函数中的作用. (二) .新课探究 1.问题:图 3.3-1(1) ,它表示跳水运 动中高度 h 随时间 t 变化的函数

导数与函数的单调性(一)

h(t ) ? ?4.9t 2 ? 6.5t ? 10 的图像,图 3.3-1
(2) 表示高台跳水运动员的速度 v 随时 间 t 变化的函数 v(t ) ? h' (t ) ? ?9.8t ? 6.5 的图 像.运动员从起跳到最高点,以及从最高点 到入水这两段时间的运动状态有什么区 别?

通过观察图像,我们可以发现: (1)运动员从起点到最高点,离水面的高度 h 随时间 t 的增加而增加,即 h(t ) 是增函数.相应地, v(t ) ? h' (t ) ? 0 . (2)从最高点 到入水,运动员离水面的高度 h 随时间 t 的增加而减少,即 h(t ) 是减函数.相应地,

v(t ) ? h' (t ) ? 0 .
2.函数的单调性与导数的关系 观察下面函数的图像,探讨函数的单调性与其导数正负的关系.

如图 3.3-3,导数 f ' ( x0 ) 表示函数 f ( x) 在点 ( x0 , y0 ) 处的切线的斜率.

在 x ? x0 处, f ' ( x0 ) ? 0 ,切线是“左下右上”式的,这时,函数 f ( x) 在 x0 附近 单调递增; 在 x ? x1 处, f ' ( x0 ) ? 0 ,切线是“左上右下”式的,这时,函数 f ( x) 在 x1 附近 单调递减. 结论:函数的单调性与导数的关系在某个区间 ( a , b) 内,如果 f ' ( x) ? 0 ,那么

函数 y ? f ( x) 在这个区间内单调递增;如果 f ' ( x) ? 0 ,那么函数 y ? f ( x) 在这个区 间内单调递减. 说明: (1 ) 特别的, 如果 f ' ( x) ? 0 , 那么函数 y ? f ( x) 在这个区间内是常函数. 3.求解函数 y ? f ( x) 单调区间的步骤: (1)确定函数 y ? f ( x) 的定义域; (2)求导数 y ' ? f ' ( x) ; (3)解不等式 (4)解不等式 f ' ( x) ? 0 ,解集在定义 f ' ( x) ? 0 ,解集在定义域内的部分为增区间; 域内的部分为减区间. (三) .典例探析 例 1、已知导函数 f ' ( x) 的下列信息: 当 1 ? x ? 4 时, f ' ( x) ? 0 ; 当 x ? 4 ,或 x ? 1 时, f ' ( x) ? 0 ; 当 x ? 4 ,或 x ? 1 时, f ' ( x) ? 0 试画出函数 y ? f ( x) 图像的大致形状. 解:当 1 ? x ? 4 时, f ' ( x) ? 0 ,可知 y ? f ( x) 在此区间内单调递增; 当 x ? 4 ,或 x ? 1 时, f ' ( x) ? 0 ;可知 y ? f ( x) 在此区间内单调递减; 当 x ? 4 ,或 x ? 1 时, f ' ( x) ? 0 ,这两点比较特殊,我们把它称为“临界点”. 综上,函数 y ? f ( x) 图像的大致形状如图 3.3-4 所示. 例 2、判断下列函数的单调性,并求出单调区间. (1) f ( x) ? x3 ? 3x ; (3) f ( x) ? sin x ? x x ? (0, ? ) ; (2) f ( x) ? x2 ? 2x ? 3 (4) f ( x) ? 2x3 ? 3x2 ? 24x ? 1

解: (1)因为 f ( x) ? x3 ? 3x ,所以, f ' ( x) ? 3x2 ? 3 ? 3( x2 ? 1) ? 0 因此, f ( x) ? x3 ? 3x 在 R 上单调递增,如图 3.3-5(1)所示. (2)因为 f ( x) ? x2 ? 2x ? 3 ,所以, f ' ( x) ? 2x ? 2 ? 2 ? x ?1? 当 f ' ( x) ? 0 ,即 x ? 1 时,函数 f ( x) ? x2 ? 2x ? 3 单调递增; 当 f ' ( x) ? 0 ,即 x ? 1 时,函数 f ( x) ? x2 ? 2x ? 3 单调递减; 函数 f ( x) ? x2 ? 2x ? 3 的图像如图 3.3-5(2)所示. (3)因为 f ( x) ? sin x ? x x ? (0, ? ) ,所以, f ' ( x) ? cos x ?1 ? 0 因此,函数 f ( x) ? sin x ? x 在 (0, ? ) 单调递减,如图 3.3-5(3)所示. (4)因为 f ( x) ? 2x3 ? 3x2 ? 24x ? 1 ,所以 当 f ' ( x) ? 0 ,即 当 f ' ( x) ? 0 ,即 时,函数 f ( x) ? x2 ? 2x ? 3 时,函数 f ( x) ? x2 ? 2x ? 3 . ; ;

函数 f ( x) ? 2x3 ? 3x2 ? 24x ? 1 的图像如图 3.3-5(4)所示. 注: (3) 、 (4)生练

例 3.如图 3.3-6,水以常速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四 种底面积相同的容器中,请分别找出与各容器对应的水的高度 h 与时间 t 的函数关 系图像.

分析:以容器(2)为例,由于容器上细下粗,所以水以常速注入时,开始阶 段高度增加得慢,以后高度增加得越来越快.反映在图像上, (A)符合上述变化 情况.同理可知其它三种容器的情况. 解: ?1? ? ? B? , ? 2? ? ? A? , ?3? ? ? D? , ? 4? ? ?C ? 思考:例 3 表明,通过函数图像,不仅可以看出函数的增减,还可以看出其 变化的快慢.结合图像,你能从导数的角度解释变化快慢的情况吗? 一般的,如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大,那么函数在这个范 围内变化的快, 这时, 函数的图像就比较“陡峭”; 反之, 函数的图像就“平缓”一些. 如 图 3.3-7 所示, 函数 y ? f ( x) 在 ? 0 , b? 或 ? a , 0? 内的图像“陡峭”, 在 ? b , ? ?? 或 ? ?? , a ? 内的图像“平缓”. 例 4、求证:函数 y ? 2x3 ? 3x2 ?12x ? 1 在区间 ? ?2,1? 内是减函数. 证明:因为 y ' ? 6 x 2 ? 6 x ? 12 ? 6 ? x 2 ? x ? 2 ? ? 6 ? x ? 1?? x ? 2 ? 当 x ? ? ?2,1? 即 ?2 ? x ? 1 时, y' ? 0 ,所以函数 y ? 2x3 ? 3x2 ?12x ? 1 在区间

? ?2,1? 内是减函数.
说明: 证明可导函数 f ? x ? 在 ? a , b? 内的单调性步骤: (1)求导函数 f ' ? x ? ; (2) 判断 f ' ? x ? 在 ? a , b? 内的符号; (3)做出结论: f ' ? x ? ? 0 为增函数, f ' ? x ? ? 0 为减 函数. (四) .课堂练习:课本 P59 页练习 1(1) ;2 (五) .回顾总结: (1) 函数的单调性与导数的关系; (2)求解函数 y ? f ( x) 单 调区间; (3)证明可导函数 f ? x ? 在 ? a , b? 内的单调性 (六) .布置作业: 五、教后反思:


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