高考数学一轮复习 第2章 第2节 函数的单调性与最值课后限时自测 理 苏教版

【高考讲坛】 高考数学一轮复习 第 2 章 第 2 节 函数的单调性与最 值课后限时自测 理 苏教版
[A 级 基础达标练] 一、填空题 1.(2014·北京高考改编)下列函数中,在区间(0,+∞)上为增函数的是________. ①y= x+1;②y=(x-1) ;③y=2 ;④y=log0.5(x+1). [解析] ①,函数 y= x+1在[-1,+∞)上为增函数,所以函数在(0,+∞)上为增 函数,故正确;②,函数 y=(x-1) 在(-∞,1)上为减函数,在[1,+∞)上为增函数,
2 2 -x

?1?x -x 故错误;③,函数 y=2 =? ? 在 R 上为减函数,故错误;④,函数 y=log0.5(x+1)在(-1, ?2?
+∞)上为减函数,故错误. [答案] ① 2. (2014·陕西高考改编)下列函数中, 满足“f(x+y)=f(x)f(y)”的单调递增函数是 ________.
1 ?1?x 3 x ①f(x)=x2;②f(x)=x ;③f(x)=? ? ;④f(x)=3 . ?2?

[解析] 指数函数满足 f(x+y)=f(x)f(y),又 f(x)=3 是增函数. [答案] ④ 1 3.给出如下三个函数:①y=ln(x+2);②y=- x+1;③y=x+ .其中在区间(0,

x

x

+∞)上为增函数的是________________. (写出所有增函数的序号) [解析] y=ln(x+2)在(-2,+∞)上为增函数;y=- x+1在(-1,+∞)上为减函 1 数;y=x+ 在(0,1)上为减函数,在(1,+∞)上为增函数.

x

[答案] ① 4.已知函数 f(x)=e 值范围是________. [解析] f(x)=e
|x-a| |x-a|

(a 为常数).若 f(x)在区间[1,+∞)上是增函数,则 a 的取

?e ? =? -x+a ?e ?

x-a

x≥a , x<a

∴f(x)在[a,+∞)上是增函数.

1

从而[1,+∞)? [a,+∞),∴a≤1. [答案] (-∞,1] 1 5.函数 f(x)为减函数,且 f(x)>0,则 y=log f(x)是单调________函数. 2 1 1 [解析] 由 y=log u(u>0)是减函数,可得复合函数 y=log f(x)为单调递增函数. 2 2 [答案] 递增 6.函数 y= x-x(x≥0)的最大值为________.

? 1?2 1 2 [解析] 令 x=t 则 t≥0,y=t-t =-?t- ? + , ? 2? 4
1 1 当 t= 时,y 有最大值 . 2 4 [答案] 1 4

7.(2014·马鞍山模拟)若函数 y= 是________. [解析] ∵y=

ax-1 在(-∞,-1)上是减函数,则 a 的取值范围 x+1

ax-1 -a-1 =a+ 在(-∞,-1)上是减函数, x+1 x+1

∴-a-1>0,∴a<-1. [答案] (-∞,-1)
? ?-x+a,x<1, 8.(2014·徐州模拟)设函数 f(x)=? x ?2 ,x≥1 ?

的最小值为 2,则实数 a 的取值

范围是________. [解析] 当 x≥1 时,f(x)≥2,当 x<1 时,f(x)>a-1,由题意知 a-1≥2 即 a≥3. [答案] [3,+∞) 二、解答题 9.已知 f(x)=

x (x≠a), x-a

(1)若 a=-2,试证 f(x)在(-∞,-2)上单调递增; (2)若 a>0 且 f(x)在(1,+∞)上单调递减,求 a 的取值范围. [解] (1)证明:任设 x1<x2<-2, 则 f(x1)-f(x2)=

x1 x2 x1-x2 - = x1+2 x2+2 x1+ x2+



∵(x1+2)(x2+2)>0,x1-x2<0. ∴f(x1)<f(x2).

2

∴f(x)在(-∞,-2)内单调递增. (2)f(x)=

x-a+a a =1+ , x-a x-a x-a


x

当 a>0 时,f(x)在(-∞,a),(a,+∞)上是减函数. 又 f(x)在(1,+∞)内单调递减, ∴0<a≤1,故 a 的取值范围为(0,1]. 10.已知 f(x)=

x2+2x+a ,x∈[1,+∞),且 a≤1. x

1 (1)当 a= 时,求函数 f(x)的最小值; 2 (2)若对任意 x∈[1,+∞),f(x)>0 恒成立,试求实数 a 的取值范围. 1 1 1 [解] (1)当 a= 时,f(x)=x+ +2,f′(x)=1- 2>0,x∈[1,+∞),即 f(x)在 2 2x 2x [1,+∞)上是增函数. 1 7 所以 f(x)min=f(1)=1+ +2= . 2×1 2 (2)f(x)=x+ +2,x∈[1,+∞). ①当 a≤0 时,f(x)在[1,+∞)内为增函数. 最小值为 f(1)=a+3. 要使 f(x)>0 在 x∈[1,+∞)上恒成立,只需 a+3>0, ∴-3<a≤0. ②当 0<a≤1 时,f(x)在[1,+∞)上为增函数,

a x

f(x)min=f(1)=a+3.
∴a+3>0,a>-3.∴0<a≤1. 综上所述,f(x)在[1,+∞)上恒大于零时,a 的取值范围是(-3,1].

[B 级 能力提升练] 一、填空题 1.(2014·金华十校调研)下列函数中,在区间(0,+∞)内单调递减的是________. 1 2 x ①y= -x;②y=x -x;③y=ln x-x;④y=e -x.

x

1 1 [解析] ①y1= 在(0,+∞)内是减函数,y2=x 在(0,+∞)内是增函数,则 y= -x

x

x

? 1? ?1 ? 在(0,+∞)内是减函数.②在?0, ?内是减函数,? ,+∞?内是增函数,③④在(0,+∞) 2 ? ? ?2 ?
3

内的单调性不确定. [答案] ①

a- x x≥2, ? ? 2 . 已 知 函 数 f(x) = ??1?x ? ? -1 x<2, ? ??2?

满 足 对 任 意 实 数 x1≠x2 , 都 有

f x1 -f x2 <0 成立,则实数 a 的取值范围是________. x1-x2
[解析] 函数 f(x)是 R 上的减函数,

a-2<0, ? ? 于是有? a- ? ?

?1?2-1, ?2? ? ?

13? 13 ? 由此解得 a≤ ,即实数 a 的取值范围是?-∞, ?. 8? 8 ? 13? ? [答案] ?-∞, ? 8

?

?
2

二、解答题 3.(2014·扬州质检)设二次函数 f(x)=ax +bx+c 在区间[-2,2]上的最大值、最小 值分别是 M、m,集合 A={x|f(x)=x}. (1)若 A={1,2},且 f(0)=2,求 M 和 m 的值; (2)若 A={1},且 a≥1,记 g(a)=M+m,求 g(a)的最小值. [解] (1)由 f(0)=2 可知 c=2, 又 A={1,2},故 1,2 是方程 ax +(b-1)x+c=0 的两实根. 1-b ? ?1+2= a , ∴? c ? ?2=a,
2

解得 a=1,b=-2.

故 m=f(1)=1,M=f(-2)=10. (2)依题设,方程 ax +(b-1)x+c=0 有两等根 x=1. 1-b ? ?1+1= a , ∴? c ?1=a, ?
2 2

即?

? ?b=1-2a, ?c=a. ?

∴f(x)=ax +(1-2a)x+a,x∈[-2,2], 2a-1 1 其对称轴方程为 x= =1- , 2a 2a

4

1 ?1 ? 又 a≥1,故 1- ∈? ,1?, 2a ? 2 ? ∴M=f(-2)=9a-2;m=f?

?2a-1?=1- 1 . ? 4a ? 2a ?

g(a)=M+m=9a- -1, 4a
又 g(a)在区间[1,+∞)上为单调递增的, 31 ∴当 a=1 时,g(a)min= . 4

1

5


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