2014届高考数学总复习(考点引领+技巧点拨)第三章 三角函数、三角恒等变换及解三角形第3课时三角函数图象

《最高考系列 高考总复习》2014 届高考数学总复习(考点引领 +技巧点拨)第三章 三角函数、三角恒等变换及解三角形第 3 课时 三角函数的图象和性质 考情分析 ① 知道三角函数 y=Asin(ω x+φ ),y= Acos(ω x+φ )的周期为 T= 2π . |ω | 考点新知 ② 能根据图象理解正弦函数、余弦函数在 ? π π? [0, 2π ], 正切函数在?- , ?上的性质(如 ? 2 2? 单调性、最大值和最小值、图象与 x 轴的交 点等). ③ 会画出 y=Asin(ω x+φ )的简图, 能由正 弦曲线 y=sinx 通过平移、伸缩变换得到 y =Asin(ω x+φ )的图象. ① 了解三角函数的周期性. ② 能画出 y=sinx,y=cosx,y=tanx 的图 象,并能根据图象理解正弦函数、余弦函数 ? π π? 在[0, 2π ], 正切函数在?- , ?上的性质. ? 2 2? ③ 了解三角函数 y=Asin(ω x+φ )的实际 意义及其参数 A、ω 、φ 对函数图象变化的 影响. ?x π ? 1. (必修 4P25 练习 2 改编)函数 f(x)= 3sin? - ?,x∈R 的最小正周期为________. ?2 4 ? 答案:4π 2π ?x π ? 解析:函数 f(x)= 3sin? - ?的最小正周期为 T= =4π . 1 ?2 4 ? 2 2. (必修 4P39 第 2 题改编)将函数 y=sinx 的图象上所有的点向右平行移动 π 个单位长 10 度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变),所得图象的函数解析式是 ____________________. ?1 π ? 答案:y=sin? x- ? ?2 10? π π 解析:∵ 向右平移 个单位,∴ 用 x- 代替 y=sinx 中的 x; 10 10 1 ? π? ∵ 各点横坐标伸长到原来的 2 倍,∴ 用 x 代替 y = sin ?x- ? 中的 x ,∴ y = 2 ? 10? ?1 π ? sin? x- ?. ?2 10? 第 1 页 共 11 页 3. (必修 4P45 第 9 题改编)如图,它表示电流 I=Asin(ω t+φ )(A>0,ω >0)在一个周 期内的图象,则 I=Asin(ω t+φ )的解析式为________________. 答案:I= 3sin? ?100π t+π ? 3? ? 3 ? 100π π ?1 ? ?1 ? 解析:由图可知 A= 3,ω = .代入? ,0?和? ,0?,解得 φ = ,于是 I= 3 3 3 ?50 ? ?20 ? sin? ?100π t+π ?. ? 3? ? 3 π? ? 4. (必修 4P32 练习 6 改编)函数 y=cos?2x- ?的单调递增区间是________. 4? ? π ? 3π ? 答案:?- +kπ , +kπ ?(k∈Z) 8 8 ? ? π 3π π 解析:-π +2kπ ≤2x- ≤2kπ ,即- +kπ ≤x≤ +kπ (k∈Z), 4 8 8 π ? 3π ? 所求单调递增区间是?- +kπ , +kπ ?(k∈Z). 8 ? 8 ? 2π ? ?π 5. (必修 4P32 第 5 题改编)函数 y=2sinx? ≤x≤ ?的值域是________. 3 ? ?6 答案:[1,2] π π 解析:根据正弦函数图象,可知 x= 时,函数取到最小值 1;x= 时,函数取到最大 6 2 值 2. 1. 周期函数的定义 周期函数的概念:对于函数 y=f(x),如果存在一个不为零的常数 T,使得当 x 取定义 域内的每一个值时,f(x+T)=f(x)都成立,则称 y=f(x)为周期函数;函数 y=Asin(ω x 2π +φ )和 y=Acos(ω x+φ )的周期均为 T= ; |ω | π 函数 y=Atan(ω x+φ )的周期为 T= . |ω | 第 2 页 共 11 页 2. 三角函数的图象和性质 三角函数 图象 定义域 值域 和最值 周期 奇偶性 对称性 [-1,1] 最大值:1 最小值:-1 2π 奇函数 π 关于 x=kπ + 2 (k∈Z)对称 π 在[2kπ - ,2kπ + 2 单调 区间 π ](k∈Z) 上单调递 2 π 增在[2kπ - ,2kπ 2 + π ](k∈Z)上单调递 2 减 3. “五点法”作图 “五点法”作图原理:在确定正弦函数 y=sinx 在[0,2π ]上的图象形状时,起关键作 [2kπ +π ,2kπ +2 π ](k∈Z)单调递增 [2kπ ,2kπ + π ](k∈Z)单调递减 π 在(kπ - ,kπ + 2 π )(k∈Z)上单调递 2 增 [-1,1] 最大值:1 最小值:-1 2π 偶函数 关于 x=kπ (k∈Z)对 称 R 无最值 π 奇函数 对称中心是? R R 错误! y=sinx y=cosx y=tanx ?kπ ,0? ? ? 2 ? (k∈Z) ?π ? ? 3π ? 用的五个点是(0,0)、? ,1?、(π ,0)、? ,-1?、 (2π ,0). ?2 ? ? 2 ? 余弦函数呢? 4. 函数 y=Asin(ω x+φ )的特征 若函数 y=Asin(ω x+φ ) (A>0,ω >0,x∈(-∞,+∞))表示一个振动量时,则 A 2π 1 叫做振幅,T= 叫做周期,f= 叫做频率,ω x+φ 叫做相位,φ 叫做初相. ω T [备课札记] 第 3 页 共 11 页 题型 1 依据三角函数的图象求解析式 例 1 (2013·南京三模)已知函数 f(x)=2sin(ω x+φ )(ω >0)的部分图象如图所示, 则 ω =________. 2 答案: 3 15π ? 3π ? 3 2π 2 解析:由图象可知函数的四分之三周期为 -?- ?= T,T=3

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