2017-2018学年江苏省南京师大附中高一(下)期中数学试卷

2017-2018 学年江苏省南京师大附中高一(下)期中数学试卷 一.填空题:本大题共 14 小题,每小题 3 分,共计 42 分.把答案填在答卷纸 相应位置上. 1. (3 分)不等式(x+3) (x﹣2)<0 的解集为 . . . 2. (3 分)已知等差数列{an}的公差为 3,且 a2=﹣2,则 a6= 3. (3 分)在△ABC 中,若 A=60°,B=45°,BC=1,则 AC= 4. (3 分)已知公差不为 0 的等差数列的第 2,3,6 项依次构成一个等比数列, 则该等比数列的公比为 . ,则它的前 10 项的和 5. (3 分)已知数列{an}的通项公式为 为 . 6. (3 分) 若不等式 x2+ax+b<0 的解集为{x|﹣3<x<4}, 则 a+b 的值为 7. (3 分) 设等比数列{an}满足 a1+a3=10, a2+a4=5, 则 a1a2…an 的最大值为 8. (3 分)已知 p>0,q>0,且 p≠q,记 A=(1+p) (1+q) ,B=(1+ +pq,则 A、B、C 的大小关系为 . (用“< ” 连接 ) . . .. . . )2,C=2 9. (3 分) 在△ABC 中, 角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c, 若 A= c=2,则△ABC 的面积等于 . , b=2acosB, 10. (3 分)已知 a,b∈R+,若 a+b=1,则 + 的最小值为 11. (3 分) 函数( f x) = . . 的定义域为 R, 则实数 m 的取值范围是 的最大值是 . 12. (3 分)已知 x<0,且 x﹣y=1,则 13. (3 分)已知数列{an}中,a1=1,a2=3,若 an+2+2an+1+an=0 对任意 n∈N*都成 立,则数列{an}的前 n 项和 Sn= . 14. (3 分) 在△ABC 中, 角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c, 若 3a2﹣b2+3abcosC=0, 则 c( + )的最小值为 . 二.解答题:本大题共 6 小题,共计 58 分.请在答卷纸指定区域内作答,解答 时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第 1 页(共 17 页) 15. (8 分)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c 且 a2=b2+c2+bc, a= b. (1)求 sinA 的值; (2)求 cosC 的值. 16. (8 分)解下列关于 x 的不等式: (1) ; (2) (|x|﹣2) (x+3)≥0. 17. (8 分)记数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn=3n﹣1. (1)求数列{an}的通项公式; (2)求数列{nan}的前 n 项和 Tn. 18. (10 分)如图,在海岸 A 处,发现南偏东 45°方向距 A 为(2 B 处有一艘走私船,在 A 处正北方向,距 A 为 2 以 10 海里/时的速度追截走私船. ﹣2)海里的 海里的 C 处的缉私船立即奉命 (1)刚发现走私船时,求两船的距离; (2) 若走私船正以 10 海里/时的速度从 B 处向南偏东 75°方向逃窜, 问缉私船 沿什么方向能最快追上走私船?并求出所需要的时间(精确到分钟,参考数据: ≈1.4, ≈2.5) . 19. (12 分)设关于 x 的不等式(ax﹣a2﹣9) (x﹣b)≥0 的解集为 A,其中 a, b∈R. (1)当 b=6 时, ①若 A=(﹣∞,+∞) ,求 a 的值; 第 2 页(共 17 页) ②记 L=d﹣c 为闭区间[c,d]的长度.当 a<0 时,求区间 A 的长度 L 的最小值; (2)当 b=2a﹣8,且 a<9 时,求 A. 20. (12 分)设数列{an}满足 a1= , . (1)证明:数列 为等比数列,并求数列{an}的通项公式; (2)设 cn=(3n+1)an,证明:数列{cn}中任意三项不可能构成等差数列. 第 3 页(共 17 页) 2017-2018 学年江苏省南京师大附中高一(下)期中数学 试卷 参考答案与试题解析 一.填空题:本大题共 14 小题,每小题 3 分,共计 42 分.把答案填在答卷纸 相应位置上. 1. (3 分)不等式(x+3) (x﹣2)<0 的解集为 (﹣3,2) . 【分析】求出不等式对应方程的两个实数根,即可写出不等式的解集. 【解答】解:不等式(x+3) (x﹣2)<0, 令(x+3) (x﹣2)=0, 解得方程的实数根为﹣3 和 2, 所以不等式的解集为(﹣3,2) . 故答案为: (﹣3,2) . 【点评】本题考查了解一元二次不等式的应用问题,是基础题. 2. (3 分)已知等差数列{an}的公差为 3,且 a2=﹣2,则 a6= 10 . 【分析】由已知条件求解得到 a1 的值,然后利用等差数列的通项公式化简代值 即可得答案. 【解答】解:在等差数列{an}中, ∵公差为 3,且 a2=﹣2, ∴a1+d=﹣2,即 a1=﹣5. 则 a6=a1+5d=﹣5+5×3=10. 故答案为:10. 【点评】本题考查了等差数列的通项公式,是基础题. 3. (3 分)在△ABC 中,若 A=60°,B=45°,BC=1,则 AC= 【分析】由正弦定理得 = ,由此能求出 AC. . 【解答】解:∵△ABC 中,A=60°,B=45°,BC=1, 第 4 页(共 17 页) ∴ = , ∴AC= = = . 故答案为: . 【点评】本题考查三角形的线段长的求法,考查正弦定理等基础知识,考查运算 求解能力,考查函数与方程思想,是基础题. 4. (3 分)已知公差不为 0 的等差数列的第 2,3,6 项依次构成一个等比数列, 则该等比数列的公比为 3 . 【分析】设出等差数列的首项为 a,公差为 d,根据等差数列的通项公式分别表 示出第 2,3,6 项,

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