推荐学习K12福建省华安县第一中学2018届高三数学上学期第二次月考(12月)试题 理

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2017-2018 学年第一学期第二次月考高三数学(理科)试卷
(120 分钟) 一、选择题:共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每个小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的.
1.已知集合 A ? {y | y ? 9 ? x2 }, B ? {y | y ? 2x},则 A B ? ( )

A. (?3,3)

B. [?3, 3]

C. (0,3]

2.下列说法正确的是( )

A. " f ?0? ? 0" 是“函数 f ? x? 是奇函数”的充要条件

D. [0, 3)

B. 若 p : ?x0 ? R, x02 ? x0 ?1 ? 0 ,则 ?p : ?x ? R, x2 ? x ?1 ? 0

C. 若 p ? q 是假命题,则 p, q 均为假命题

D.“若? ? ? ,则 sin? ? 1 ”的否命题是“若? ? ? ,则 sin? ? 1 ”

6

2

6

2

3.函数 f (x) ? cos2 2x 的周期为( )

A. ? 4

B. ? 2

C. ?

D. 2?

4.已知向量 a, b 的夹角为600 ,且 a ? b ? 2 ,则向量 a ? b 在向量 a 方向上的投影为( )

A. 3

B. 3

C. ?3

D. ? 3

5.某多面体的三视图如图所示,其中正视图和左视图都由正方形和等腰

直角三角形组成,正方形的边长为 2 ,俯视图为等腰直角三角形、该多面体

的各个面中有若干是梯形,这些梯形的面积之和为( )

A.10

B.12

C.14

D.16

6.已知

a

?

2

log5

2



b

?

21.1



c

?

? ??

1 2

?0.8
? ??

,则

a



b



c

的大小关系是(



A. c ? b ? a

B. b ? c ? a

C. a ? b ? c

D. a ? c ? b

? ? 7.在等比数列 an 中, a1 ? an ? 82, a3 ? an?2 ? 81 ,且前 n 项和 Sn ? 121,则此数列的项数

n 等于( )

A.4

B.5

C.6

D.7

8.在三棱锥 S ? ABC 中,底面 ?ABC 是直角三角形,其斜边 AB ? 4 , SC ?平面 ABC ,

且 SC ? 3,则此三棱锥的外接球的表面积为( )

A. 25?

B. 20?

C.16?

D.13?

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9.函数 y ? x2 ? ln | x | 的图象大致为( ) x

10. 定义在 R 上的函数 f ? x? 满足 f ? x? ? f ?? x? ?1, f ?0? ? 4 ,则不等式 ex f ? x? ? ex ? 3

(其中 e 为自然对数的底数)的解集为( )

A. ?0, ??? B. ???,0? ?3, ??? C. ???,0? ?0,??? D. ?3, ???

11 已知在等边三角形 ABC 中, BC ? 3, BN ? 2BM ? 2 BC ,则 AM ? AN ? ( ) 3

A. 4

B. 38

9

C. 5

D. 13

2

12.已知函数

f

(x)

?

2 ln

x

?

a(x

?

1)(a ? R) ,当 x

x1,

x2

? (0, ??)

时,不等式

[

f (x1) x2

?

f

( x2 x1

)

](

x1

?

x2

)

?

0

恒成立,则

a

(

)

A.有最大值 ?1,无最小值

B.有最小值 ?1,无最大值

C.有最大值 ? e ,无最小值

D.有最小值 ? e ,最大值 ?1

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.

? y ? x,

13.设变量

x



y

满足约束条件:

? ?

x

?

2

y

?

2,



z

?

x2

?

y2

的最大值是



??x ? ?2.

14.已知向量 a ? ?1,1?,b ? ?2, y?,若 a ? b ? a ?b,则y ? __________

15.已知函数 f ? x? ? sin? x?0 ? x ?1? ,若 a ? b ,且 f ?a? ? f ?b? ,则 4 ? 1 的最小值
ab



.

16.已知集合 M={ (x, y) | y ? f (x) },若对于任意 (x1, y1) ? M ,存在 (x2 , y2 ) ? M ,使得

x1x2 ? y1 y2 ? 0 成立,则称集合 M 是“完美对点集”.给出下列四个集合:



M

?

??(x, y) | ?

y

?

1?

x

? ?

② M ? ?(x, y) | y ? sin x ?1? ;

? ? ③ M ? ?(x, y) | y ? log2 x? ; ④ M ? (x, y) | y ? ex ? 2 .

其中是“完美对点集”的是

(请写出全部正确命题的序号)

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三、解答题:共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17-21 题为必考题,每 个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答. (一)必考题:共 60 分. 17.(本小题满分 12 分)
△ABC 的内角 A, B,C 的对边分别为 a,b, c ,已知 sin ? A ? C ? ? 8sin2 B .
2 (Ⅰ)求 cos B ; (Ⅱ)若 a ? c ? 6 ,△ABC 的面积为 2 ,求 b .

18.(本小题满分 12 分)

? ? 已知等差数列 an 的前 n 项和为 Sn ,公差为 2 ,且 a1 , S2 , S4 成等比数列.

(Ⅰ)求数列?an? 的通项公式;

? ? (2)设 bn

?

an

?2 2n

?

n



n

?

N

?

),求数列

bn

的前 n 项和 ?n .

19.(本小题满分 12 分)如图,在 Rt?ABC 中,?ACB ? ? , AC ? 3 ,BC ? 2 ,P 是 ?ABC 内 2
的一点. (Ⅰ)若 P 是等腰直角三角形 PBC 的直角顶点,求 PA 的长; (Ⅱ)若 ?BPC ? 2? ,设 ?PCB ?? ,求 ?PBC 的面积 S(? ) 的解析式,并求 S(? ) 的最大值.
3
A

20.(本小题满分 12 分)

如图,在多面体 ABC ? A1B1C1 中, AA1 ? 平面 ABC ,

AA1∥BB1 ,

B1C1∥12 BC, AB ? AC ? AA1 ?

2 BC. 2

(Ⅰ)求证: AB1 //平面 A1C1C ;

(Ⅱ)求二面角 C1 ? A1C ? A 的余弦值.

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P

C

B

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21.(本题满分 12 分)

已知曲线

f

?x?

?

axex

?a

?

0? 在点 ?0,0? 处的切线与曲线

g

?x?

?

?

? ??

x?

1

2
?

4 ??

也相切

(Ⅰ)求实数 a 的值;

(Ⅱ)设函数 F ? x? ? ?

f ?x?

g

? ??

x

?

5 4

? ??

,若 x1

?

x2

,且 F ? x1 ? ? F ? x2 ? ? 0 ,证明:x1

? x2 2

?

?1 .

(二)选考题:共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一 题计分.
22.[选修 4―4:坐标系与参数方程](10 分)

已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处,极轴与 x 轴非负半轴重合,直线 l 的参数方程

?

为:

?? ?

x

?

?1?

3t 2 (t 为参数),

曲线 C 的极坐标方程为: ? ? 4cos? .

? ??

y

?

1 2

t

(Ⅰ)写出曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的普通方程;

(Ⅱ)设直线 l 与曲线 C 相交于 P,Q 两点, 求 PQ 的值.

23.[选修 4—5:不等式选讲](10 分)
已知 f ?x? ? x ? a ?a?R? ; (Ⅰ)若 f ? x? ? 2x ? 3 的解集为??3, ?1? ,求 a 的值; (Ⅱ)若 ?x ? R ,若不等式 f ? x? ? x ? a ? a2 ? 2a 恒成立,求实数 a 的取值范围.

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2017-2018 学年第一学期第二次月考 理科数学答案 一、选择题(共 12 题,每小题 5 分,共 60 分)
CDBABD BACCDA

二、填空题(共 4 题,每小题 5 分,共 20 分)

13. 8

14. 3

15. 9 16. ② ④

三,解答题(共 70 分) 17.(本小题满分 12 分)

(Ⅰ)因为 sin(A ? C) ? sin(? ? B) ? sin B,sin2 B ? 1? cos B ,

2

2

所以 sin B ? 4(1? cos B) .

又因为 sin2 B ? cos2 B ? 1,所以16(1? cos B)2 ? cos2 B ? 1 ,

展开,得17 cos2 B ? 32cos B ?15 ? 0 ,

解得 cos B ?1(舍去)或 cos B ? 15 .……………(6 分) 17

(Ⅱ)由 cos B ? 15 ,得 sin B ? 17

1? cos2

B

?

8 17

,故 S?ABC

?

1 2

ac sin

B

?

4 17

ac

.

又 S?ABC

?

2 ,则 ac

?

17 2

.由余弦定理及 a ? c

? 6,

得 b2 ? a2 ? c2 ? 2ac cos B ? (a ? c)2 ? 2ac(1? cos B) ? 36 ? 2? 17 ? 32 ? 4 , 2 17

所以 b ? 2 .……………(12 分)

18. (本小题满分 12 分)

解:(Ⅰ)由 a1 , S2 , S4 成等比数列得 S22 ? a1S4 .

化简得 ?2a1 ? d ?2 ? a1 ?4a1 ? 6d ? ,

又 d ? 2 ,解得 a1 ? 1,

故数列?an? 的通项公式 an ?1? 2?n ?1? ? 2n ?1( n ? ?? )……………(6 分)

(Ⅱ)由 bn

?

an

?2?n 2n

可知 bn

?

n ?1, 2n

所以 Tn

? b1

? b2

? ? ? bn

?

2 2

?

3 22

?

4 23

???

n ?1 2n

1 2

Tn

?

2 22

?

3 23

?

4 24

???

n ?1, 2 n ?1

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?

1 2

Tn

?1?

1 22

?

1 23

???

1 2n

?

n ?1 2 n?1

?

1 2

Tn

?

1 2

?

1 2

?

1 2 n?1

1? 1

?

n?1 ? 2 n ?1

1 2

Tn

?

3 2

?

n?3 2 n ?1

? Tn

? 3?

n?3 2n

2

19.(本小题满分 12 分)

(Ⅰ)解法一:因为 P 是等腰直角三角形 PBC 的直角顶点,且 BC ? 2 ,所以

?PCB ? ? , PC ? 2 .又 ?ACB ? ? ,

A

4

2

则 ?ACP ? ? . 4

在 ?PAC 中,由余弦定理得

PA2 ? AC2 ? PC2 ? 2AC ? PC ? cos ? ? 9 ? 2 ? 2 ? 3? 3 ? 3 ? 5 ,

4

3

C

故 PA ? 5 . 解法二:依题意建立如图直角坐标系,则有 C(0,0) , B(2,0) , A(0,3) .

P B

因为 ?PBC 是等腰直角三角形, ?ACB ? ? ,所以 ?ACP ? ? , ?PBC ? ? ,所以直线 PC 的

2

4

4

方程为 y ? x ,直线 PB 的方程为 y ? ?x ? 2 .

联立

? ? ?

y

y ?

? x, ?x ?

2

可得

P(1,1)

,故

PA

?

(1? 0)2 ? (1? 3)2 ?

5.

(Ⅱ)在 ?PBC 中, ?BPC ? 2? , ?PCB ?? ,所以 ?PBC ? ? ?? .

3

3

由正弦定理可得: 2 sin 2?

? PB sin?

?

PC sin(? ?

?

)



3

3

故 PB ? 4 3 sin? , PC ? 4 3 sin(? ?? ) .

3

33

所以 ?PBC 的面积为:

S(? ) ? 1 PB ? PC ? sin 2? ? 4

3

? sin(

? ? )sin?

2

33 3

? 4 3 ( 3 cos? ? 1 sin? )sin?

32

2

? 2cos? sin? ? 2 3 sin2 ? 3

? sin 2? ? 3 cos 2? ? 3

3

3

? 2 3 sin(2? ? ? ) ? 3

3

63

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又? ? (0, ? ) ,故 2? ? ? ?(? , 5? ) ,

3

6 66

从而当? ? ? 时, S(? ) 取到最大值,且最大值为 3 .……………(12 分)

6

3

20.(本小题满分 12 分)
(Ⅰ)取 BC 的中点 D ,连结 AD, DC1, 由条件知 CD B1C1, BD B1C1, ∴四边形 B1DCC1 和 BDC1B1 为平行四边形, ∴ B1D CC1 , C1D BB1,∴ C1D AA1, ∴四边形 AA1C1D 为平行四边形,∴ AD A1C1,
∴平面 AB1D 平面 A1C1C ,则 AB1 平面 A1C1C .……………(6 分)

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 AA1, AB, AC 两两垂直,如图建系,

设 BC ? 2,则 A(0, 0, 0) , A1(0,0, 2) ,

C(0, ?

2, 0), C1(?

2 ,? 2

2, 2

2) ,

A1C1 ? (?

2 ,? 2

2 2

,

0),

A1C

?

(0,

?

2,?

2).

设平面

A1C1C

的法向量为

m

?

(x,

y,

z)

,则由

??m ?

?

A1C1

?

0

,得

? ?? ?

2 x? 2

2 2

y

?

0

,取

?? m ? A1C ? 0

?? ? 2 y ? 2z ? 0

x ?1,则 y ? ?1, z ? 1. 故 m ? (1, ?1,1)

而平面 A1AC 的法向量为 n ? (1, 0, 0) ,则 cos ? m, n ??

m?n ? mn

1. 3

所以二面角 C1 ? A1C ? A 为钝二面角,故二面角 C1 ? A1C ? A 的余弦值为 ?

3 .…………… 3

(12 分)

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21.(本小题满分 12 分)

(Ⅰ) f ?(x) ? aex (1? x) ,当 x ? 0 时, f ?(0) ? a, f (0) ? 0,故 f (x) 在(0,0)处的切线 方程是 y ? ax .…………………(2 分)

? y ? ax,

联立

? ?

?? y

?

?(

x

?

1

)2

.

消去

y

得,

ax

?

?(

x

?

1 4

)2

.??

?

0.?a

?

0



4

1.故 a ?1 .……………

(4 分)

(Ⅱ)由(Ⅰ)知

F ( x)

?

xe x (x ?1)2

,由

F (x1) ? F (x2 ) ? 0

,则

x1 ? 0 , x1 ? ?1 x2, ? 0x2 , ? .?x1 1 , x?2



F ?( x)

?

(x

? 1)e x

? (x ?1)2 ? xex (x ?1)4

? 2(x

? 1)

?

ex ? (x2 ?1) (x ?1)3

.

当 x ?(??, ?1) 时, F(x) 是减函数;当 x ?(?1, ??) 时, F(x) 是增函数.

令m

?

0,F (?1?

m) ?

F (?1 ?

m)

?

(m ?1)em?1 m2

?

(?m ?1)e?m?1 m2

?

m ?1 m2em?1

(m m

?1 e2m ?1

?1) .…

(8 分)

再令?(m) ?

m ?1e2m m ?1

?1(m

? 0) ,则??(m)

?

2e2m

?

4e2m (m ?1) ? 2e2m (m ?1)2

?

2m2e2m (m ?1)2

?

0.

??(m)

? ?(0)

? 0. 又

m ?1 m2e2m

?0,



m

?

0 时,

F (?1 ?

m)

?

F (?1 ?

m)

?

m ?1 m2em?1

(m m

?1 e2m ?1

?1)

?

0

恒成立.

即 F(?1? m) ? F(?1? m) 恒成立.……………(10 分)

令 m ? ?1? x1 ? 0 ,即 x1 ? ?1,有 F (?1? (?1? x1)) ? F (?1? (?1? x1)) .

即 F (?2 ? x1) ? F (x1) ? F (x2 ) .

x1 ? ?1,??2 ? x1> ?1.又 F (x1) ? F (x2 ) ,必有 x2 ? ?1.

又当 x ?(?1, ??) 时,F(x) 是减函数,? ?2 ? x1

?

x2 ,即

x1

? x2 2

?

?1 .…………………(12

分)

22(本小题满分 10 分)
(Ⅰ) ? ? 4 cos? ,? ? 2 ? 4? cos? , 由 ? 2 ? x2 ? y2, ? cos? ? x ,得 x2 ? y2 ? 4x ,所
以曲线 C 的直角坐标方程为 ? x ? 2?2 ? y2 ? 4.
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?



??x ?

?

?1

?

3t 2 ,消去 t 得:x-

3y+1 ? 0 .所以直线 l 的普通方程为 x-

3y+1 ? 0 .……………

? ??

y

?

1 2

t

(5 分)

(Ⅱ)把

? ??x ? ?1? ?

3t 2

? ??

y

?

1 2

t

代入 x2 ? y2 ? 4x ,整理得 t2 ? 3 3t ? 5 ? 0 ,

因为 ? ? 27 ? 20 ? 7 ? 0 ,设其两根分别为 t1, t2 ,则 t1 ? t2 ? 3 3,t1t2 ? 5,
所以 PQ ? t1 ? t2 ? ?t1 ? t2 ?2 ? 4t1t2 ? 7 .……………(10 分)

23.(本小题满分 10 分)
(Ⅰ) f ? x? ? 2x ? 3 即 x ? a ? 2x ? 3 ,平方整理得: 3x2 ? ?12 ? 2a? x ? 9 ? a2 ? 0 , 所以-3,-1 是方程 3x2 ? ?12 ? 2a? x ? 9 ? a2 ? 0 的两根,

?12 ? 2a ?? ?3

?

?4

? ?

9

?

a

2

?? 3

?3

解得 a ? 0 .

……………(5 分)

(Ⅱ)因为 f (x)? | x ? a |? (x ? a) ? (x ? a) ? 2 a

所以要不等式 f (x)? | x ? a |? a2 ? 2a 恒成立只需 2 a ? a2 ? 2a

当 a ? 0 时, 2a ? a2 ? 2a 解得 0 ? a ? 4

当 a ? 0 时, ?2a ? a2 ? 2a 此时满足条件的 a 不存在 综上可得实数 a 的范围是 0 ? a ? 4 .……………(10 分)

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