一个圆柱表面最短路径问题的解决

一个圆柱表面最短路径问题的解决
陕西师范大学数学系 (710062) 罗增儒

本文展示一个圆柱表面最短路径问题的流行误解和探索轨迹,并提供最终解决.

1 一个流行误解的探索轨迹

1-1 误解的呈现

有一个流行的误解已经引起了部分人们的注意,但还没有被大家全都认识,请看:

例 1 (文[1] P.6 说)在讲授平面展开图时我设计了这样一个题目:如图 1,一只圆

筒的下方有一只小壁虎 A ,上方有一只蚊子 C .现在小壁虎要想尽快吃

到蚊子,它应该走哪条路径?请你帮小壁虎设计一条路线,具体怎么操

作呢.

文[1]继续说:“学生小组讨论,自主合作,共同探讨,鼓励学生发

表自己的观点,充分肯定学生的积极参与性,让学生通过探索发现将圆

筒沿着一条棱展开就可得出解法的方法.”

图1

文[1]没有说学生具体怎么计算,但从图形没有出现上底直径、展开没有提到上下底等

迹象可以猜测:学生的“探索发现”形同下面的例 2(将圆筒沿着一条棱展开).

例 2 (2005 年贵阳(课改)中考)如图 2,一圆柱体的底面周长为 24 cm ,高 AB 为

4 cm ,一只蚂蚁从点 A 出发沿着圆柱体的表面爬行到 C 点的最短路程大约是( ).

(A)6 cm

(B)12 cm

(C)13 cm

(D)16 cm

图2

图3

解 把圆柱体沿母线 AB 展开,得图 3 所示的矩形,从 A 点到 C 点的最短路程就是线

段 AC 的长(路径 L ).因为 BC 的长是底面圆的周长的一半 12 cm ,高 AB 的长是 4 cm ,

所以在直角 ABC 中,由勾股定理得

AC ? AB2 ? BC2 ? 42 ?122 ? 4 10 ?13(cm).
答案选(C). 这种处理对吗?我们说,如果这正是例 1 学生“小组讨论,自主合作,共同探讨”得出 的方法的话,那么师生们就全都陷进了“流行的误解”,而教师则还没有尽到指导的责任.(也 可能是没有看清“表面”与“侧面”的微小区别) 1-2 误解的剖析 首先指出,上述例 1、例 2 的处理中有三个“化归”是很好的: 化归 1:把一个实际问题转化为一个数学问题; 化归 2:把一个空间问题转化为平面问题; 化归 3:把一个平面问题转化为解直角三角形.(用到两点之间直线距离最短)
但是,在把空间图形展平时没有注意到由 A 点到 C 点有两类路径:
路径 1:只走侧面.展平后,转变为“两点之间直线距离最短”; 路径 2:既走侧面又走底面,走侧面时,转变为“两点之间直线距离最短”;走底面时, 也走“两点之间的直线距离”.这时,要用到底面的展平,并且底面展平有多样性.

“流行的误解”就在于只看到第一类路径,没有看到第二类路径(逻辑漏洞 1),更没 有看到第二类路径的多样性(逻辑漏洞 2,参见下文的讨论).
如图 4,将圆柱的侧面展开为矩形、上底面展开为母线 AB 上方的圆,由“两点之间直
线距离最短”可以得到两条直线距离: 第一条,如例 2 所述,是沿侧面展平后的直线距离,有

L1 ? AC1 ? AB2 ? BC12 ? 4 10 .

第二条,是先沿侧面走母线 AB ,然后走圆的直径 BC ,展平后有

L2

?

AB

?

BC2

?

4

?

24 ?



由于 4 ? 24 ? 4 ? 24 ? 12 ? 4

?

3

10 ,所以 L2 比 L1 更小.例 2 的答案是错误的.

图4

那么,是不是任何情况下都有 L2 ? L1 呢?请看反例.

例 3 如图 2,一圆柱体的底面周长为 16 cm ,高 AB 为 4 cm ,一只蚂蚁从点 A 出发沿

着圆柱体的表面爬行到 C 点的最短路程是

cm .

解 如图 4,沿用例 2 的解法,有

L1 ? AC1 ? AB2 ? BC12 ? 42 ? 82 ? 4 5 ,

L2

?

AB

?

BC2

?

4

?

16 ?



但 4 ? 16 ? 4 ? 16 ? 4 ? 5 ?

?

3.2

81 ?

80 ? 4 5 ,所以 L2 ? L1 .

那么,什么时候 L1 小、什么时候 L2 小呢?

1-3 误解的流行“解决” 考虑更一般性的情况.
例 4 如图 2,一圆柱体的底面周长为 2? r cm ,高 AB 为 h cm ,一只蚂蚁从点 A 出 发沿着圆柱体的表面爬行到 C 点,求最短路程.
解 如图 4,沿用例 2 的解法,有

L1 ? AC1 ? AB2 ? BC12 ? h2 ? ?? r ?2 ,

L2 ? AB ? BC2 ? h ? 2r .

分三种情况讨论:

(1) L1 ? L2 ?

h2

? ?? r?2

? h ? 2r

?

r h

?

4 ?2 ?4



(2) L1 ? L2 ?

h2

? ?? r?2

?

h ? 2r

?

r h

?

4 ?2 ?4



(3) L1 ? L2 ?

h2

? ?? r?2

?

h ? 2r

?

r h

?

4 ?2 ?4

记常数

?

4 2?

4

?

0.681



a

,可见,

L1



L2

的大小关系有三种情况:当

r h

?

a

时,沿

侧面爬行的路程最短,为 L1 ?

h 2 ? ??r ?2 ;当 r ? a 时,先竖直向上爬到 A 的正上方,再
h

沿直径爬到 C

点的路程最短,为

L2

?

h

?

2r

;当

r h

?

a

时,两种爬行方式的路程一样.

看上去,这种讨论已经很细致了,文[2]进行到这里时,“教室响起了热烈的掌声”.误

认为问题已彻底解决的类似认识在文[3]等处也可以看到,然而,这依然有逻辑的漏洞——

为什么只有这两条路径呢?

1-4 误解的继续探索

事实上,蚂蚁从点 A 出发沿着圆柱体的表面爬行到 C 点的路径,除了以上 L1, L2 两种之

外,还存在无穷多条从 A 到 C 的路径.如图 5 所示: A ? D ? C ,其中 AD 是侧面上的 最短距离(侧面展平后的直线距离), DC 是上底面两点之间的直线距离, A 、 D 、 C 也
有可能三点共线. 文 [4] 清 楚 看 到 了 这 一 点 , 也 列 出 了 相 关 函 数 式 ( 以
? ? ?DOC 为自变量)

L?? ? ?

h2

?

??????1

?

? 180

2

? ??

?

r

? ??

?

2

1? cos? ,

但由于“涉及到一些较复杂的函数”,故仅“采用几何画

板进行辅助探究”,“无法代替”证明.

图5

以上,就是人们对圆柱表面最短路径的认识轨迹(限于个人所见,疏漏在所难免),本

文的目的是在简要展示的基础上,继续完成理论证明.

2 最短路径的的理论解决 2-1 建立函数关系
如图 6,考虑例 4.设圆心角 ?BOD ? ? , 0 ? ? ? ? ,则 BD ? r? ,展平后, D 为
圆与矩形的切点, L3 为折线 ADC ,在直角 ABD 中,有
AD ? AB2 ? BD2 ? h2 ? ?r? ?2 ,
在 COD 中用余弦定理,有
CD ? r2 ? r2 ? 2r2 cos ?? ?? ? ? 2r2 ? 2r2 cos? ? 2r cos ? ,
2 得 L3 的长度为(? 的函数)
S ?? ? ? AD ? CD ? h2 ? r2? 2 ? 2r cos ? ,( 0 ? ? ? ? ).
2

当? ? 0 时, L2 ? S ?0? ? h ? 2r ,当? ? ? 时, L1 ? S ?? ? ? h2 ? r2? 2 .
下面,我们来讨论 L3 的最值.

图6
2-2 求导数令 S / ?? ? ? 0

当 0 ? ? ? ? 时,对 S ?? ? 求导,有

S / ?? ? ? r2? ? r sin ? .

h2 ? r2? 2

2

令 S / ?? ? ? 0 ,并连续变形,有

r? ? s i n? ,

h2 ? r 2? 2

2

? ? r2? 2 ? h2 ? r2? 2 sin2 ? , 2

r2? 2 cos2 ? ? h2 sin2 ? ,

2

2

r? cos ? ? h sin ? ,

2

2

r? ? tan ? .



h

2

在展开 S / ?? ? ? 0(即①式)的讨论之前,我们先来认识①式的几何意义,如图 7 所示,

图7

首先,在等腰 DOC3 中,由外角定理有

?ODC3

?

? 2



其次,在 Rt ABD 中,由

tan ?BAD

?

BD

?

r?

?

? tan



AB h

2

可得

?BAD

?

? 2

?

?ODC3 .

又由 O 与矩形的边( BD )相切知 ?BDO ? ? ,得 2

?ADC3 ? ?ADB ? ?BDO ? ?ODC3

? ?ADB ? ? ? ?BAD ? ? , 2

即 A, D, C3 三点共线.可见,

S/

?? ? ? 0

?

r? h

?

tan ? 2

?

A, D,C3 三点共线.

2-3 S/ ?? ? ? 0 的讨论

分两种情况讨论:

(1)当 2r ? 1 时.把式①变为 h

2r h

?

tan ? 2
?



2

由不等式 sin x ? x ? tan x ( 0 ? x

tan ?

2 ?

?1,

2

所以

tan ? 2
?

?1?

2r h



2

? )知 2

得 S ?? ? ?

? h sin ? ? r? cos ? ,

2

2

? h2 sin2 ? ? r2? 2 cos2 ? ,

2

2

? ? ? h2 ? r2? 2 sin2 ? ? r2? 2 , 2

? sin ? ? r? , 2 h2 ? r2? 2

? S / ?? ? ? r2? ? r sin ? ? 0,

h2 ? r 2? 2

2

h2

?

r 2? 2

?

2r

? cos

为减函数,当?

?

?

时,取最小值

2

L1 ? S ?? ? ? h2 ? r2? 2 .



(2)当 2r ? 1时.易知 f ? x? ? tan x ( 0 ? x ? ? )为增函数,且值域为 ?1, ???,故

h

x

2

存在?0 ??0,? ? ,使

2r h

?

tan ?0 2
?0



2

即存在?0 ??0,? ? ,使 S/ ??0 ? ? 0 .

又当 0

??

? ?0

??

时,有 0 ?

? 2

?

?0 2

?

? 2

,且

2r h

?

tan ?0 2
?0

?

tan ? 2
?



2

2

? r? cos ? ? h sin ? ,

2

2

? r2? 2 cos2 ? ? h2 sin2 ? ,

2

2

? ? ? r2? 2 ? h2 ? r2? 2 sin2 ? , 2

? r? ? sin ? ,

h2 ? r 2? 2

2

? S / ?? ? ? r2? ? r sin ? ? 0,

h2 ? r 2? 2

2

函数 S ?? ? 在 ?0,?0 ? 上为增函数.

当 0 ? ?0

??

??

时,有 0 ?

?0 2

?? 2

?

? 2

,且

2r h

?

tan ?0 2
?0

?

tan ? 2
?

2

2

? r? cos ? ? hsin ? ,

2

2

? S / ?? ? ? r2? ? r sin ? ? 0,

h2 ? r2? 2

2

函数 S ?? ? 在 ??0,? ? 上为减函数.

可见,? ? ?0 时,函数 S ?? ? 取极大值,也是 ?0,? ? 上的最大值. 所以, 2r ? 1时函数 S ?? ? 的最小值为
h
min?S ?0?, S ?? ??.

对此再分三种情况讨论:

(1)当

2r h

?

?

8 2?

4

时,有

h2 ? ?? r ?2 ? h ? 2r ,得

min?S ?0?, S ?? ?? ? h ? 2r ;



(2)当

2r h

?

?

8 2?

4

时,有

h2 ? ?? r ?2 ? h ? 2r ,得

min?S ?0?, S ?? ?? ? h2 ? ?? r ?2 ? h ? 2r ;



(3)当1 ?

2r h

?

?

8 2?

4

时,有

h2 ? ?? r ?2 ? h ? 2r ,得

min?S ?0?, S ?? ?? ? h2 ? ?? r ?2 .



2-4 函数 S ?? ? 最小值的结论

综合②、③、④、⑤得:

(1)当

r h

?

?

4 2?

4

时,

S

??

?

的最小值为

S

?0?

?

h

?

2r



(2)当

r h

?

?

4 2?

4

时,

S

??

?

最小值为

S

?0?

?

S

??

?

?

h2 ? ?? r ?2 ? h ? 2r ;

(3)当

r h

?

?

4 2?

4

时,

S

??

?

最小值为

S

??

?

?

h2 ? ?? r?2 .

此处的结果与§1-3 相同,但逻辑路径不一样.

参考文献

1 苏嘉玲.初一数学教学应注意“首因效应”,防止厌学、弃学情绪的产生与蔓延——基于 中小学数学教学衔接的初步研究.中学数学研究,2011,10
2 费孝文.探求蚂蚁爬行的最短线路.中学数学教学参考(中旬),2010,1~2 3 秦大忠.蚂蚁爬出的一个数.数学教学通讯,2005,8P79 4 徐 伟 .再谈蚂蚁爬行 试探最短路程.中学数学,2010,4
数学通报 2012,3P42:圆台上蚂蚁爬出最短路径问题


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