一个圆柱表面最短路径问题的解决
一个圆柱表面最短路径问题的解决
陕西师范大学数学系 （710062） 罗增儒
本文展示一个圆柱表面最短路径问题的流行误解和探索轨迹，并提供最终解决．
1 一个流行误解的探索轨迹
1-1 误解的呈现
有一个流行的误解已经引起了部分人们的注意，但还没有被大家全都认识，请看：
例 1 （文[1] P．6 说）在讲授平面展开图时我设计了这样一个题目：如图 1，一只圆
筒的下方有一只小壁虎 A ，上方有一只蚊子 C ．现在小壁虎要想尽快吃
到蚊子，它应该走哪条路径？请你帮小壁虎设计一条路线，具体怎么操
作呢．
文[1]继续说：“学生小组讨论，自主合作，共同探讨，鼓励学生发
表自己的观点，充分肯定学生的积极参与性，让学生通过探索发现将圆
筒沿着一条棱展开就可得出解法的方法．”
图1
文[1]没有说学生具体怎么计算，但从图形没有出现上底直径、展开没有提到上下底等
迹象可以猜测：学生的“探索发现”形同下面的例 2（将圆筒沿着一条棱展开）．
例 2 （2005 年贵阳（课改）中考）如图 2，一圆柱体的底面周长为 24 cm ，高 AB 为
4 cm ，一只蚂蚁从点 A 出发沿着圆柱体的表面爬行到 C 点的最短路程大约是（ ）．
（A）6 cm
（B）12 cm
（C）13 cm
（D）16 cm
图2
图3
解 把圆柱体沿母线 AB 展开，得图 3 所示的矩形，从 A 点到 C 点的最短路程就是线
段 AC 的长（路径 L ）．因为 BC 的长是底面圆的周长的一半 12 cm ，高 AB 的长是 4 cm ，
所以在直角 ABC 中，由勾股定理得
AC ? AB2 ? BC2 ? 42 ?122 ? 4 10 ?13（cm）．
答案选（C）． 这种处理对吗？我们说，如果这正是例 1 学生“小组讨论，自主合作，共同探讨”得出 的方法的话，那么师生们就全都陷进了“流行的误解”，而教师则还没有尽到指导的责任．（也 可能是没有看清“表面”与“侧面”的微小区别） 1-2 误解的剖析 首先指出，上述例 1、例 2 的处理中有三个“化归”是很好的： 化归 1：把一个实际问题转化为一个数学问题； 化归 2：把一个空间问题转化为平面问题； 化归 3：把一个平面问题转化为解直角三角形．（用到两点之间直线距离最短）
但是，在把空间图形展平时没有注意到由 A 点到 C 点有两类路径：
路径 1：只走侧面．展平后，转变为“两点之间直线距离最短”； 路径 2：既走侧面又走底面，走侧面时，转变为“两点之间直线距离最短”；走底面时， 也走“两点之间的直线距离”．这时，要用到底面的展平，并且底面展平有多样性．
“流行的误解”就在于只看到第一类路径，没有看到第二类路径（逻辑漏洞 1），更没 有看到第二类路径的多样性（逻辑漏洞 2，参见下文的讨论）．
如图 4，将圆柱的侧面展开为矩形、上底面展开为母线 AB 上方的圆，由“两点之间直
线距离最短”可以得到两条直线距离： 第一条，如例 2 所述，是沿侧面展平后的直线距离，有
L1 ? AC1 ? AB2 ? BC12 ? 4 10 ．
第二条，是先沿侧面走母线 AB ，然后走圆的直径 BC ，展平后有
L2
?
AB
?
BC2
?
4
?
24 ?
．
由于 4 ? 24 ? 4 ? 24 ? 12 ? 4
?
3
10 ，所以 L2 比 L1 更小．例 2 的答案是错误的．
图4
那么，是不是任何情况下都有 L2 ? L1 呢？请看反例．
例 3 如图 2，一圆柱体的底面周长为 16 cm ，高 AB 为 4 cm ，一只蚂蚁从点 A 出发沿
着圆柱体的表面爬行到 C 点的最短路程是
cm ．
解 如图 4，沿用例 2 的解法，有
L1 ? AC1 ? AB2 ? BC12 ? 42 ? 82 ? 4 5 ，
L2
?
AB
?
BC2
?
4
?
16 ?
，
但 4 ? 16 ? 4 ? 16 ? 4 ? 5 ?
?
3.2
81 ?
80 ? 4 5 ，所以 L2 ? L1 ．
那么，什么时候 L1 小、什么时候 L2 小呢？
1-3 误解的流行“解决” 考虑更一般性的情况．
例 4 如图 2，一圆柱体的底面周长为 2? r cm ，高 AB 为 h cm ，一只蚂蚁从点 A 出 发沿着圆柱体的表面爬行到 C 点，求最短路程．
解 如图 4，沿用例 2 的解法，有
L1 ? AC1 ? AB2 ? BC12 ? h2 ? ?? r ?2 ，
L2 ? AB ? BC2 ? h ? 2r ．
分三种情况讨论：
（1） L1 ? L2 ?
h2
? ?? r?2
? h ? 2r
?
r h
?
4 ?2 ?4
．
（2） L1 ? L2 ?
h2
? ?? r?2
?
h ? 2r
?
r h
?
4 ?2 ?4
．
（3） L1 ? L2 ?
h2
? ?? r?2
?
h ? 2r
?
r h
?
4 ?2 ?4
记常数
?
4 2?
4
?
0.681
为
a
，可见，
L1
与
L2
的大小关系有三种情况：当
r h
?
a
时，沿
侧面爬行的路程最短，为 L1 ?
h 2 ? ??r ?2 ；当 r ? a 时，先竖直向上爬到 A 的正上方，再
h
沿直径爬到 C
点的路程最短，为
L2
?
h
?
2r
；当
r h
?
a
时，两种爬行方式的路程一样．
看上去，这种讨论已经很细致了，文[2]进行到这里时，“教室响起了热烈的掌声”．误
认为问题已彻底解决的类似认识在文[3]等处也可以看到，然而，这依然有逻辑的漏洞——
为什么只有这两条路径呢？
1-4 误解的继续探索
事实上，蚂蚁从点 A 出发沿着圆柱体的表面爬行到 C 点的路径，除了以上 L1, L2 两种之
外，还存在无穷多条从 A 到 C 的路径．如图 5 所示： A ? D ? C ，其中 AD 是侧面上的 最短距离（侧面展平后的直线距离）， DC 是上底面两点之间的直线距离， A 、 D 、 C 也
有可能三点共线． 文 [4] 清 楚 看 到 了 这 一 点 ， 也 列 出 了 相 关 函 数 式 （ 以
? ? ?DOC 为自变量）
L?? ? ?
h2
?
??????1
?
? 180
2
? ??
?
r
? ??
?
2
1? cos? ，
但由于“涉及到一些较复杂的函数”，故仅“采用几何画
板进行辅助探究”，“无法代替”证明．
图5
以上，就是人们对圆柱表面最短路径的认识轨迹（限于个人所见，疏漏在所难免），本
文的目的是在简要展示的基础上，继续完成理论证明．
2 最短路径的的理论解决 2-1 建立函数关系
如图 6，考虑例 4．设圆心角 ?BOD ? ? ， 0 ? ? ? ? ，则 BD ? r? ，展平后， D 为
圆与矩形的切点， L3 为折线 ADC ，在直角 ABD 中，有
AD ? AB2 ? BD2 ? h2 ? ?r? ?2 ，
在 COD 中用余弦定理，有
CD ? r2 ? r2 ? 2r2 cos ?? ?? ? ? 2r2 ? 2r2 cos? ? 2r cos ? ，
2 得 L3 的长度为（? 的函数）
S ?? ? ? AD ? CD ? h2 ? r2? 2 ? 2r cos ? ，（ 0 ? ? ? ? ）．
2
当? ? 0 时， L2 ? S ?0? ? h ? 2r ，当? ? ? 时， L1 ? S ?? ? ? h2 ? r2? 2 ．
下面，我们来讨论 L3 的最值．
图6
2-2 求导数令 S / ?? ? ? 0
当 0 ? ? ? ? 时，对 S ?? ? 求导，有
S / ?? ? ? r2? ? r sin ? ．
h2 ? r2? 2
2
令 S / ?? ? ? 0 ，并连续变形，有
r? ? s i n? ，
h2 ? r 2? 2
2
? ? r2? 2 ? h2 ? r2? 2 sin2 ? ， 2
r2? 2 cos2 ? ? h2 sin2 ? ，
2
2
r? cos ? ? h sin ? ，
2
2
r? ? tan ? ．
①
h
2
在展开 S / ?? ? ? 0（即①式）的讨论之前，我们先来认识①式的几何意义，如图 7 所示，
图7
首先，在等腰 DOC3 中，由外角定理有
?ODC3
?
? 2
．
其次，在 Rt ABD 中，由
tan ?BAD
?
BD
?
r?
?
? tan
，
AB h
2
可得
?BAD
?
? 2
?
?ODC3 ．
又由 O 与矩形的边（ BD ）相切知 ?BDO ? ? ，得 2
?ADC3 ? ?ADB ? ?BDO ? ?ODC3
? ?ADB ? ? ? ?BAD ? ? ， 2
即 A, D, C3 三点共线．可见，
S/
?? ? ? 0
?
r? h
?
tan ? 2
?
A, D,C3 三点共线．
2-3 S/ ?? ? ? 0 的讨论
分两种情况讨论：
（1）当 2r ? 1 时．把式①变为 h
2r h
?
tan ? 2
?
．
2
由不等式 sin x ? x ? tan x （ 0 ? x
tan ?
2 ?
?1，
2
所以
tan ? 2
?
?1?
2r h
，
2
? ）知 2
得 S ?? ? ?
? h sin ? ? r? cos ? ,
2
2
? h2 sin2 ? ? r2? 2 cos2 ? ,
2
2
? ? ? h2 ? r2? 2 sin2 ? ? r2? 2 , 2
? sin ? ? r? , 2 h2 ? r2? 2
? S / ?? ? ? r2? ? r sin ? ? 0,
h2 ? r 2? 2
2
h2
?
r 2? 2
?
2r
? cos
为减函数，当?
?
?
时，取最小值
2
L1 ? S ?? ? ? h2 ? r2? 2 ．
②
（2）当 2r ? 1时．易知 f ? x? ? tan x （ 0 ? x ? ? ）为增函数，且值域为 ?1, ???，故
h
x
2
存在?0 ??0,? ? ，使
2r h
?
tan ?0 2
?0
，
2
即存在?0 ??0,? ? ，使 S/ ??0 ? ? 0 ．
又当 0
??
? ?0
??
时，有 0 ?
? 2
?
?0 2
?
? 2
，且
2r h
?
tan ?0 2
?0
?
tan ? 2
?
，
2
2
? r? cos ? ? h sin ? ,
2
2
? r2? 2 cos2 ? ? h2 sin2 ? ,
2
2
? ? ? r2? 2 ? h2 ? r2? 2 sin2 ? , 2
? r? ? sin ? ,
h2 ? r 2? 2
2
? S / ?? ? ? r2? ? r sin ? ? 0,
h2 ? r 2? 2
2
函数 S ?? ? 在 ?0,?0 ? 上为增函数．
当 0 ? ?0
??
??
时，有 0 ?
?0 2
?? 2
?
? 2
，且
2r h
?
tan ?0 2
?0
?
tan ? 2
?
2
2
? r? cos ? ? hsin ? ,
2
2
? S / ?? ? ? r2? ? r sin ? ? 0,
h2 ? r2? 2
2
函数 S ?? ? 在 ??0,? ? 上为减函数．
可见，? ? ?0 时，函数 S ?? ? 取极大值，也是 ?0,? ? 上的最大值． 所以， 2r ? 1时函数 S ?? ? 的最小值为
h
min?S ?0?, S ?? ??．
对此再分三种情况讨论：
（1）当
2r h
?
?
8 2?
4
时，有
h2 ? ?? r ?2 ? h ? 2r ，得
min?S ?0?, S ?? ?? ? h ? 2r ；
③
（2）当
2r h
?
?
8 2?
4
时，有
h2 ? ?? r ?2 ? h ? 2r ，得
min?S ?0?, S ?? ?? ? h2 ? ?? r ?2 ? h ? 2r ；
④
（3）当1 ?
2r h
?
?
8 2?
4
时，有
h2 ? ?? r ?2 ? h ? 2r ，得
min?S ?0?, S ?? ?? ? h2 ? ?? r ?2 ．
⑤
2-4 函数 S ?? ? 最小值的结论
综合②、③、④、⑤得：
（1）当
r h
?
?
4 2?
4
时，
S
??
?
的最小值为
S
?0?
?
h
?
2r
；
（2）当
r h
?
?
4 2?
4
时，
S
??
?
最小值为
S
?0?
?
S
??
?
?
h2 ? ?? r ?2 ? h ? 2r ；
（3）当
r h
?
?
4 2?
4
时，
S
??
?
最小值为
S
??
?
?
h2 ? ?? r?2 ．
此处的结果与§1-3 相同，但逻辑路径不一样．
参考文献
1 苏嘉玲．初一数学教学应注意“首因效应”，防止厌学、弃学情绪的产生与蔓延——基于 中小学数学教学衔接的初步研究．中学数学研究，2011，10
2 费孝文．探求蚂蚁爬行的最短线路．中学数学教学参考（中旬），2010，1～2 3 秦大忠．蚂蚁爬出的一个数．数学教学通讯，2005，8P79 4 徐 伟 ．再谈蚂蚁爬行 试探最短路程．中学数学，2010，4
数学通报 2012，3P42：圆台上蚂蚁爬出最短路径问题