2018版高中数学人教B版必修四学案:第一单元+1.3.2+余弦函数、正切函数的图象与性质(二)+Word版含答案

1.3.2 学习目标 余弦函数、正切函数的图象与性质(二) 1.了解正切函数图象的画法,理解掌握正切函数的性质.2.能利用正切函数的图象 及性质解决有关问题. 知识点一 正切函数的图象 π π? 类比正弦函数图象的作法,可以利用正切线作正切函数在区间? ?-2,2?的图象,阅读课本,了 解具体操作过程. 思考 1 结合正切函数的周期性, 如何画出正切函数在整个定义域内的图象? 思考 2 一条平行于 x 轴的直线与正切曲线相邻两支曲线的交点的距离为多少? 梳理 (1)正切函数的图象称作“正切曲线”,如下图所示. (2)正切函数的图象特征 π 正切曲线是由通过点( +kπ,0)(k∈Z)且与 y 轴相互平行的直线隔开的无穷多支曲线所组成的. 2 知识点二 正切函数的性质 思考 1 正切函数的定义域是什么? π 思考 2 诱导公式 tan(π+x)=tan x,x∈R 且 x≠ +kπ,k∈Z 说明了正切函数的什么性质? 2 π 思考 3 诱导公式 tan(-x)=-tan x,x∈R 且 x≠ +kπ,k∈Z 说明了正切函数的什么性质? 2 π? 思考 4 从正切线上看,在? ?0,2?上正切函数值是增大的吗? 思考 5 结合正切函数的周期性, 正切函数的单调性如何?正切函数在整个定义域内是增函数 吗?正切函数会不会在某一区间内是减函数? π x∈R且x≠kπ+ ,k∈Z?的图象与性质见下表: 梳理 函数 y=tan x? 2 ? ? 解析式 y=tan x 图象 定义域 值域 周期 奇偶性 单调性 在开区间________________内都是增函数 类型一 正切函数的定义域 例 1 求下列函数的定义域. 1 (1)y= ; 1+tan x (2)y=lg( 3-tan x). 反思与感悟 求定义域时,要注意正切函数自身的限制条件,另外解不等式时,要充分利用 三角函数的图象或三角函数线. 跟踪训练 1 求函数 y= tan x+1+lg(1-tan x)的定义域. 类型二 正切函数的单调性及其应用 命题角度 1 求正切函数的单调区间 1 π? 例 2 求函数 y=tan? ?-2x+4?的单调区间及最小正周期. π 反思与感悟 y=tan(ωx+φ) (ω>0)的单调区间的求法是把 ωx+φ 看成一个整体, 解- +kπ<ωx 2 π +φ< +kπ,k∈Z 即可.当 ω<0 时,先用诱导公式把 ω 化为正值再求单调区间. 2 π? 跟踪训练 2 求函数 y=tan? ?2x-3?的单调区间. 命题角度 2 利用正切函数的单调性比较大小 例 3 (1)比较大小: ①tan 32° ________tan 215° ; 18π 28π ②tan ________tan(- ). 5 9 (2)将 tan 1,tan 2,tan 3 按大小排列为________.(用“<”连接) 反思与感悟 比较两个函数值的大小,只需将所涉及的两个角通过诱导公式转化到同一个单 π π 调区间内,再借助单调性即可 . 正切函数的单调递增区间为 ( - + kπ, + kπ) , k∈Z,故在 2 2 ?-π,π?和?π,3π?上都是增函数. ? 2 2? ?2 2 ? 7π 9π - ?________tan?- ?. 跟踪训练 3 比较大小:tan? 4 ? ? ? 5? 类型三 正切函数的奇偶性与对称性问题 例 4 (1)判断下列函数的奇偶性. tan2x-tan x ①y= ; 1-tan x ②y=xtan 2x+x4. π (2)求 y=3tan(2x+ )的图象的对称中心. 3 反思与感悟 (1)在利用定义判断与正切函数有关的函数的奇偶性时,必须要坚持定义域优先 的原则,即首先要看函数的定义域是否关于原点对称,然后判断 f(-x)与 f(x)的关系. kπ (2)求函数 y=tan(ωx+φ)的图象的对称中心,方法是把 ωx+φ 看作一个整体,由 ωx+φ= 2 (k∈Z)解出的 x 的值为对称中心的横坐标,纵坐标为零. 跟踪训练 4 判断下列函数的奇偶性. 1 (1)f(x)=tan x+ ; tan x (2)f(x)=lg|tan x|. 类型四 正切函数的图象及应用 例 5 画出函数 y=|tan x|的图象,并根据图象判断其单调区间、奇偶性、周期性. 反思与感悟 (1)作出函数 y=|f(x)|的图象一般利用图象变换方法,具体步骤是: ①保留函数 y=f(x)图象在 x 轴上方的部分; ②将函数 y=f(x)图象在 x 轴下方的部分沿 x 轴向上翻折. (2)若函数为周期函数,可先研究其一个周期上的图象,再利用周期性,延拓到定义域上即可. x π? 跟踪训练 5 设函数 f(x)=tan? ?2-3?. (1)求函数 f(x)的周期,对称中心; (2)作出函数 f(x)在一个周期内的简图. π 1.函数 y=tan(2x+ )的最小正周期是( 6 π π A.π B.2π C. D. 2 6 π 2.函数 f(x)=tan(x+ )的单调递增区间为( 4 π π A.(kπ- ,kπ+ ),k∈Z 2 2 B.(kπ,(k+1)π),k∈Z 3π π C.(kπ- ,kπ+ ),k∈Z 4 4 π 3π D.(kπ- ,kπ+ ),k∈Z 4 4 ) ) π? 3.在下列函数中同时满足:①在? ?0,2?上单调递增;②以 2π 为周期;③是奇函数的是( A.y=tan x C.y=tan x 2 B.y=cos x D.y=-tan x ) ) π? 4.方程 tan? ?2x+3?= 3在区间[0,2π)上的解的个数是( A.5 B.4 C.3 D.2 5.比较大小:tan 1________tan 4. 1.正切函数的图象 π 正切函数有无数多条渐近线,渐近线方程为 x=kπ+ ,k∈Z,相邻两条渐近线之间都有一

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