安徽省合肥市第六中学2019届高三下学期第二次周练文科数学试题附参考答案

......

合肥六中 2019 届高三下学期文科数学第二次周测试题
第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的.
1.若 A 、 B 、 C 为三个集合, A ? B ? B ? C ,则一定有( ) A. A ? C B. C ? A C. A ? C D. A ? ? )

2.已知 p 是 r 的充分不必要条件, s 是 r 的必要条件, q 是 s 的必要条件,那么 p 是 q 成立的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

3.抛掷两枚质地均匀的骰子,向上的点数之差的绝对值为 3 的概率是( ) A.

1 9

B.

1 6

C.

1 18

D.

1 12

4.为了计算函数 f ( x) ? 2x ? 3x ? 7 的一个零点, 刘老师用计算器得到自变量 x 和函数值 f ( x ) 的部分对应值 (精 确度为 0.1) ,如下表所示:

x
f ( x)

1.25 -0.8716

1.3125 -0.5788

1.375 -0.2813

1.4375 0.2101

1.5 0.32843

1.5625 0.64115

x 则方程 2 ? 3x ? 7 的近似解(精确到 0.1)可取为( )

A.1.32

B.1.39

C. 1.4

D.1.3

5.将向量 OA ? (1,1) 绕原点 O 逆时针方向旋转 60 得到向量 OB ,则 OB ? ( ) A. (

1? 3 1? 3 , ) 2 2

B. (

1? 3 1? 3 , ) 2 2

C. (

?1 ? 3 ?1 ? 3 , ) 2 2

D. (

?1 ? 3 ?1 ? 3 , ) 2 2

6.函数 y ? sin(2 x ? A.

?
3

) 与 y ? cos(2 x ?

2? ) 的图像关于直线 x ? a 对称,则 a 可能是( ) 3
D.

11? 24

B.

? 8

C.

? 12

? 24

7.设 x1 ? 16 , x2 ? 18 , x3 ? 20 , x4 ? 22 , x5 ? 24 ,将这五个数据依次输入下面程序框进行计算,则输出的

S 值及其统计意义分别是( )

A. S ? 8 ,即 5 个数据的方差为 8 C. S ? 40 ,即 5 个数据的方差为 40

B. S ? 8 ,即 5 个数据的标准差为 8 D. S ? 40 ,即 5 个数据的标准差为 40

......

......

8.某几何体的三视图如下图所示,则其体积为( )

正视图

侧视图

俯视图

A.3

B.4

C.5

D.6

9.已知离心率为 e 的双曲线和离心率为

2 的椭圆有相同的焦点 F1 , F2 , P 是两曲线的一个公共点,若 2

∠F1 PF2 ?
A.

?
3

,则 e 等于( )

5 2

B.

5 2

C.

6 2

D.3

10.设 B 、 C 是定点,且均不在平面 ? 上,且 sin ∠ABC ? A.圆或椭圆
2

1 ,则点 A 的轨迹为( ) 2
D.以上均有可能 )

B.抛物线或双曲线
2

C.椭圆或双曲线

11.若不等式 xy ? ax ? 2 y 对任意 x ? [1, 2] 及 y ? [2,3] 恒成立,则实数 a 的取值范围是( A. ?1 ? a ? ?

35 9

B. ?3 ? a ? ?1

C. a ? ?1

D. a ? ?3

12.已知定义域为 R 的函数 f ( x ) 满足 f ( x ) ?

1 f ( x ? 6) ,当 x ? [0, 6] 时, f ( x) ? 3? | x ? 3| ,若关于 z 的方 2

程 f ( x) ? m( x ? 6) 在区间 [?6, ??) 内恰有三个不等实根,则实数 m 的值为( ) A. ?

6 12

B.

6 12

C.

3 9

D.以上均不正确

第Ⅱ卷(非选择题

共 90 分)

二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上)
13.已知向量 a , b 满足 a ? (?4,3) , a ? b 与 a ? b 垂直,则 | b | 的值是.

?x ? y ? 4 ? 0 1 x ? y 14.已知实数 x , y 满足约束条件, ? x ? y ? 2 ? 0 ,则 2 ? ( ) 的最大值是. 4 ?y ? 2 ? 0 ?

......

......

15.已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,首项 a1 ? 1 ,且满足: 2Sn ? an?1 ?1 ,则 a3 ? a4 ? a5 ? . 16.已知 ?ABC 中, AB ? 2 AC ? 6 , BC ? 4 , D 为 BC 的中点,则当 AD 最小时, ?ABC 的面积为.

三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在 答题卡上的指定区域内.)
17. 已知函数 f ( x) ? 2 3sin x cos x ? 2cos 2 x ? m 在区间 [0, (1)求实数 m 的值; (2) 在 ?ABC 中, 若 f (A ) ? 1 ,sin B ? 3sin C ,S ?ABC ?

?
3

] 上的最大值为 2.

3 3 , 记 ?ABC 的外接圆与内切圆的面积分别为 S1 、 4

S2 ,求

S1 的值. S2

18. 菜农定期使用低害杀虫农药对蔬菜进行喷洒,以防止害虫的危害,但采集上市时蔬菜仍存有少量的残留农 药, 食用时需要用清水清洗干净, 下表是用清水 x(单位: 千克) 清洗该蔬菜 1 千克后, 蔬菜上残留的农药 y (单 位:微克)的统计表:

x
y

1 58

2 54

3 39

4 29

5 10

(1)在下面的坐标系中,描出散点图,并判断变量 x 与 y 的相关性;

2 (2)若用解析式 y ? cx ? d 作为蔬菜农药残量 y 与用水量 x 的回归方程,令 ? ? x ,计算平均值 ? 和 y ,完

?

2

?

成以上表格(填在答题卡中) ,求出 y 与 x 的回归方程.( c, d 精确到 0.1) (3)对于某种残留在蔬菜上的农药,当它的残留量低于 20 微克时对人体无害,为了放心食用该蔬菜,请估计 需要用多少千克的清水清洗一千克蔬菜?(精确到 0.1,参考数据 5 ? 2.236 )

?

附:线性回归方程 y ? b x ? a 中系数计算公式分别为: b ?

^

^

^

^

? ( x ? x)( y ? y)
i ?1 i i

n

? ( x ? x)
i ?1 i

n

,a ? y ?b x

^

^

2

......

......

19. 如图,在棱长为 1 的正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中,过直线 AD 1 1 作平面 ? ,使得直线 AC

平面 ? .

(1)画出平面 ? 与正方体 ABCD ? A ; 1B 1C1D 1 各个面的交线(不必说出画法和理由)

P ,使得 DP ? 平面 ? ?若存在,求出 CP 的长;若不存 (2)在(1)的条件下,在对角线 AC 1 上是否存在点
在,请说明理由.

x2 y 2 1 20. 椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左右焦点分别为 F1 , F2 ,且离心率为 ,点 P 为椭圆上一动点, ?F1PF2 面 2 a b
积的最大值为 3 . (1)求椭圆的方程;

x?4 (2)设椭圆的左顶点为 A1 ,过右焦点 F2 的直线 l 与椭圆相交于 A, B 两点,连结 A 1A , A 1B 并延长交直线
分别于 P, Q 两点,问 PF2 ? QF2 是否为定值?若是,求出此定值;若不是,请说明理由. 21. 设函数 f ( x) ?

1 2 x ? m ln x , g ( x) ? x2 ? (m ? 1) x , m ? 0 . 2

(1)求函数 f ( x ) 的极值; (2)当 m ? 1 时,讨论函数 f ( x ) 与 g ( x) 图像的交点个数.

四、选做题:请考生在 22、23 两题中任选一题作答,共 10 分.注意:只能做所选定的题目.如果 多做,则按所做的第一个题目计分,做答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.
22.选修 4-4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中,将曲线 C1 : x ? y ? 1上的所有点的横坐标伸长为原来的 3 倍,纵坐标伸长为原
2 2

来的 2 倍后,得到曲线 C2 ;在以 O 为极点, x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,直线 l 的极坐标方程是

? (2cos ? ? sin ? ) ? 6 .
(1)写出曲线 C2 的参数方程和直线 l 的直角坐标方程; (2)在曲线 C2 上求一点 P ,使点 P 到直线 l 的距离 d 最大,并求出此最大值. 23.选修 4-5:不等式选讲 设函数 f ( x) ?| x ? 1| ? | x ? 1| . (1)解不等式 f ( x) ? 4 ;

......

......

(2)当 f ( x) ? 4 时, | x ? 3 | ? | x ? a |? x ? 6 ,求实数 a 的取值范围.

试卷答案 一、选择题
1-5: AABCA 6-10: DACCD 11、12:CC

二、填空题
13. 5 14. 64 15. 117 16. 7

三、解答题
17.解: (1) f ( x) ? 2 3sin x cos x ? 2cos2 x ? m ? 2sin(2 x ? ∵ x ? [0,

?
6

) ? m ?1,

?
3

] ,∴ 2 x ?

?

? 5? ?[ , ] , 6 6 6
? ?
?
6

∵函数 y ? sin t 在区间 [ ∴当 2 x ?

? 5? , ] 上是增函数,在区间 [ , ] 上是减函数, 6 2 2 6
时,函数 f ( x ) 在区间 [0,

?
6

?

?
2

,即 x ?

?
3

] 上取到最大值,

此时, f ( x) max ? f ( ) ? m ? 3 ? 2 得 m ? ?1 .

?

6

(2)∵ f ( A) ? 1 ,∴ 2sin(2 A ?

?
6

) ? 1 ,∴ sin(2 A ?

?
6

)?

1 ? ,解得 A ? 0 (舍去)或 A ? , 2 3

由 sin B ? 3sin C 得 b ? 3c ①,由 S ?ABC ?

3 3 1 ? 3 3 得 bc sin ? ,即 bc ? 3 ②. 4 2 3 4

由①和②解得 b ? 3 , c ? 1 ,由余弦定理得 a ? 故外接圆半径 R ?

7,

S1 R 14 ? 8 7 a 7 2S 2 3 ,内切圆半径 r ? ,故 . ? ? ? ? 2sin A C 8? 2 7 S2 r 9 3

18.解: (1)负相关 (2) ? ? 11 , y ? 38

?
y

1 58 -10 20

4 54 -7 16

9 39 -2 1

16 29 5 -9

25 10 14 -28

?i ? ?
yi ? y
c?

?10 ? 20 ? (?7) ?16 ? (?2) ?1 ? 5 ? (?9) ? 14 ? (?28) 751 ?? ? ?2.008 ? ?2.0 2 2 2 2 2 374 (?10) ? (?7) ? (?2) ? 5 ? 14

......

......

d ? y ? c? ? 38 ? 2.0 ?11 ? 60.0
∴ y ? ?2.0? ? 60.0 ? ?2.0 x ? 60.0
2 ?

(3)当 y ? 20 时, ?2.0 x2 ? 60.0 ? 20 , x ? 2 5 ? 4.5 ∴为了放心食用该蔬菜,估计需要用 4.5 千克的清水清洗一千克蔬菜. 19.解: (1)如图,平面 AD1E ,即为所求作平面 ? .

?

C) (2)点 P 为线段 AC , CP ? 1 的三等分点(靠近点

3 . 3

20.【解析】 (1)已知椭圆的离心率为 即 b ? 3t ,其中 t ? 0 .

1 ,不妨设 c ? t , a ? 2t , 2

又 ?F1PF2 面积取最大值 3 时,即点 P 为短轴端点,因此 故椭圆的方程为

1 ? 2t ? 3t ? 3 ,解得 t ? 1 , 2

x2 y 2 ? ? 1. 4 3

(2)设直线 AB 的方程为 x ? ty ? 1 , A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) .

? x ? ty ? 1 ? 2 2 联立 ? x 2 y 2 可得 (3t ? 4) y ? 6ty ? 9 ? 0 ,则 ?1 ? ? 3 ?4
y1 ? y2 ? ?6t ?9 , y1 y2 ? . 2 3 ? 4t 3 ? 4t 2

直线 AA1 的方程为 y ? 则 P(4,

y1 y2 [ x ? (?2)] ,直线 BA1 的方程为 y ? [ x ? (?2)] , x1 ? (?2) x2 ? (?2)

6 y1 6 y2 6 y1 6 y1 ) , Q(4, ) ,则 F2 P ? (3, ) , F2Q ? (3, ), x1 ? 2 x2 ? 2 x1 ? 2 x2 ? 2 6 y1 6 y2 36 y1 y2 )( )? 2 ?9 ? 0, x1 ? 2 x2 ? 2 t y1 y2 ? 3t ( y1 ? y2 ) ? 9

则 F2 P ? F2Q ? 9 ? (

故 F2 P ? F2Q 为定值 0.

......

......

21.【解析】 (1)函数 f ( x ) 的定义域为 (0, ??) , f ?( x) ?

( x ? m )( x ? m ) x

当 0 ? x ? m 时, f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x ) 单调递减,当 x ? m 时, f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x ) 单调递增 所以极小值为 f ( m ) ?

m2 ? m ln m ,无极大值 2
1 2 x ? (m ? 1) x ? m ln x , x ? 0 , 2

(2)令 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) ? ?

问题等价于求函数 F ( x) 的零点个数

F ?( x) ? ?

( x ? 1)( x ? m) , x

当 m ? 1 时, F ?( x) ? 0 ,函数 F ( x) 为减函数, 注意到 F (1) ?

3 ? 0 , F (4) ? ? ln 4 ? 0 ,∴ F ( x) 有唯一零点. 2

当 m ? 1 时, 0 ? x ? 1 或 x ? m 时, F ?( x) ? 0 , 1 ? x ? m 时, F ?( x) ? 0 , 所以函数 F ( x) 在 (0,1) 和 (m, ??) 单调递减,在 (1, m) 单调递增, 注意到 F (1) ? m ?

1 ? 0 , F (2m ? 2) ? ?m ln(2m ? 2) ? 0 , 2

∴ F ( x) 有唯一零点. 综上,函数 F ( x) 有唯一零点,即两函数图像总有一个交点 22.解: (1)由题意知,曲线 C2 方程为

x2 y 2 ? ? 1, 3 4

参数方程为 ?

? ? x ? 3 cos ? ( ? 为参数). y ? 2sin ? ? ?

直线 l 的直角坐标方程为 2 x ? y ? 6 ? 0 . (2)设 P( 3 cos ?, 2sin ? ) ,则点 P 到直线 l 的距离为

d?

| 2 3 cos ? ? 2sin ? ? 6 | | 4sin(60 ? ? ) ? 6 | ? , 5 5
3 ,1) . 2

所以当 sin(60 ? ? ) ? ?1 时, d 取最大值 2 5 ,此时 ? ? 150 ,点 P 坐标是 ( ? 23.解: (1)不等式 f ( x) ? 4 的解集是以下 3 个不等式组解集的并集:

?x ? 1 ??1 ? x ? 1 ? x ? ?1 或? 或? . ? ? x ? 1 ? x ? 1 ? 4 ?? x ? 1 ? x ? 1 ? 4 ?? x ? 1 ? x ? 1 ? 4
解得不等式 f ( x) ? 4 的解集为 {x | ?2 ? x ? 2} .

......

......

(2)在 ?2 ? x ? 2 时,不等式 | x ? 3 | ? | x ? a |? x ? 6 等价于 | x ? a |? 3 , 等价于 ?a ? 3 ? x ? ?a ? 3 . 从而 [?2, 2] ? (?a ? 3, ?a ? 3) ,所以 ?

??a ? 3 ? ?2 , ??a ? 3 ? 2

得实数 a 的取值范围是 {a | ?1 ? a ? 1} .

......


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