2015届高三数学理第一轮总复习周周练素材十一

2015 届高三数学(理)第一轮总复习周周练素材: (十一) 班级:__________ 姓名:__________ 学号:__________

一、选择题 1. 如果 a>b>0,则下列各式正确的是( ) 2 2 A.a· lg x>b· lg x B.ax >bx 1 1 C. < D.a-2x<b-2x a b 2 2 2. 关于 x 的不等式 63x -2mx-m <0(m<0)的解集为( m m A.(- , ) 9 7 m m B.( ,- ) 7 9 m m C.(-∞,- )∪( ,+∞) 9 7 D.以上答案都不对

)

?x+y-1≤0 ? 3. 已知实数 x,y 满足? x-y≤0 ? ? x≥0
A. 1 2 B.0

,则 2x-y 的最大值为(

)

1 D.- 2 4. 定义域 R 的奇函数 f(x),当 x∈(-∞,0)时 f (x)+xf ′(x)<0 恒成立,若 a=3f(3),b =(logπ 3)· f (logπ 3),c=-2f (-2),则( ) A.a>c>b B.c>b>a C.c>a>b D.a>b>c C.-1 x+y≥1 ? ? 5. 已知实数 x,y 满足约束条件? x-y≥-1 ? ? 2x-y≤2 ,若函数 z=ax+by(a>0,b>0)的最大值

1 1 为 1,则 + 的最小值为( ) a b A.4 3 B.8 3 C.7+2 3 D.7+4 3 二、填空题 6. 不 等 式 ln(x2 - 3 x - 4)>ln(x + 1) 的 解 集 是 ________________________________________________________________________ . 1 7. 已知一元二次不等式 f (x)<0 的解集为 {x|x<- 1 或 x> } ,则 f (10x)>0 的解集为 2 ________________. ? ?0≤x≤1 8. 已知点 P(x, y)满足? , 则点 Q(x+y, y)构成的图形的面积为__________. ?0≤x+y≤2 ? 1 1 1 1 9. 已知正实数 x,y,z 满足 2x(x+ + )=yz,则(x+ )(x+ )的最小值为__________. y z y z 10.在 R 上定义运算?:x?y=x(1-y).若对任意 x>2,不等式(x-a)?x≤a+2 都成立, 则实数 a 的取值范围是__________. 三、解答题 11. 已知函数 f(x)=loga (x+1), 点 P 是函数 y=f (x)图象上任意一点,点 P 关于原点的对

称点 Q 的轨迹是函数 y=g(x)的图象. (1)当 0<a<1 时,解关于 x 的不等式 2f(x)+g(x)≥0; (2)当 a>1,且 x∈[0,1)时,总有 2f(x)+g(x)≥m 恒成立,求 m 的取值范围. 1 12. 已知函数 f (x)= ax3 -bx2 +(2-b)x+1 在 x=x1 处取得极大值,在 x=x2 处取得极小 3 值,且 0<x1 <1<x2 <2. (1)证明:a>0; (2)若 z=a+2b,求 z 的取值范围.

参考答案 1.C m m m m 2.B 原不等式化为(x- )(x+ )<0,由于 m<0,所以 <- ,从而不等式的解集为 7 9 7 9 m m ( ,- ). 7 9 1 3.A 作出可行域可知 2x-y 的最大值为 . 2 4.A 设 g(x)=xf (x),依题意得 g(x)是偶函数, 当 x∈(-∞,0)时,f (x)+xf ′(x)<0, 即 g′(x)<0 恒成立,故 g(x)在(-∞,0)上单调递减, 则 g(x)在(0,+∞)上单调递增, a=3f (3)=g(3), b=(logπ 3)· f (logπ 3)=g(logπ 3), c=-2f (-2)=g(-2)=g(2). 又 logπ 3<1<2<3,故 a>c>b. 5.D 作出可行域可知其为三角形,对应的三个顶点分别是(1,0),(0,1),(3,4), 所以 z 的最大值是 3a+4b,即 3a+4b=1, 1 1 1 1 4b 3a 所以 + =(3a+4b)( + )=7+ + ≥7+4 3, a b a b a b 4b 3a 当且仅当 = 时取等号. a b 2 x+ x2 -3x-4>x+1 ,解得 x>5. 6.{x|x>5} 原不等式可化为{x -3x- 1 1 7.{x|x<-lg 2} 根据已知可得不等式 f (x)>0 的解是-1<x< ,故-1<10x< ,解得 x< 2 2 -lg 2. 8.2 令 x+y=u,y=v, 则点 Q(u,v)满足{0≤u-v≤ ≤u≤2 ,

在 uOv 平面内画出点 Q(u,v)所构成的平面区域如图,易得其面积为 2. 1 1 9. 2 由题知 2x(x+ + )=yz, y z x x yz 2 即x++ = , y z 2 1 1 x x 1 yz 1 yz 1 于是可将给定代数式化简得(x+ )(x+ )=x2 + + + = + ≥2 · = 2, y z y z yz 2 yz 2 yz 当且仅当 yz= 2时取等号. 10.a≤7 由题意得(x-a)?x=(x-a)(1-x), 故不等式(x-a)?x≤a+2 可化为(x-a)(1-x)≤a+2, 化简得 x2 -(a+1)x+2a+2≥0, 2 故原题等价于 x -(a+1)x+2a+2≥0 在(2,+∞)上恒成立, a+1 由 二 次 函 数 f (x) = x2 - (a + 1)x + 2 a + 2 图 象 , 其 对 称 轴 为 x = ,讨论得 2 ?a+1 ?a+1 a+1 ? ≤ f?2?≥0 或? f? ? ≥0 , ? 2 ? 2 2 解得 a≤3 或 3<a≤7,综上可得 a≤7.

11.解析:由题意知,P 、Q 关于原点对称. 设 Q(x,y)是函数 y=g(x)图象上任一点,则 P (-x,-y)是 f (x)=loga (x+1)上的点,所 以-y=loga (-x+1),于是 g(x)=-loga (1-x). (1)0<a<1,2f(x)+g(x)≥0 -x ?1+x?2 ≤1-x ?-1<x≤0. ?{1+x 所以 0<a<1 时,不等式 2f (x)+g(x)≥0 的解集为{x|-1<x≤0}. (2)2f (x)+g(x)=2loga (1+x)-loga (1-x). 因为 a>1,x∈[0,1)时,2f (x)+g(x)≥m 恒成立, 2 ?x+1? 即当 x∈[0,1)时,loga ≥m 恒成立, 1- x ?x+1?2 ?x+1?2 即 loga ≥loga am 恒成立,所以 am ≤ . 1-x 1-x ?x+1?2 4 设 φ(1-x)= =(1-x)+ -4. 1-x 1-x 因为 0≤x<1,所以 1≥1-x>0, 4 则 φ(t)=t+ -4(0<t≤1), t 可证 φ(t)在(0,1]上单调递减, m 0 所以[φ(t)]min =1,所以 a ≤1=a ,所以 m≤0. 12.解析:对函数 f (x)求导得 f ′(x)=ax2 -2bx+2-b. (1)证明:由函数 f (x)在 x=x1 处取得极大值,在 x=x2 处取得极小值,可知 x=x1 ,x=x2 是 f ′(x)=0 的两个根, 所以 f ′(x)=a(x-x1 )(x-x2). 当 x<x1 时,f (x)为增函数,f ′(x)>0, 由 x-x1 <0,x-x2 <0,得 a>0. (2)在题设下,0<x1 <1<x2 <2 等价于 {f ′?0?> f ′?1?< f ′?2?>0 , 即 2 - b > a - 2 b + 2 - b < a - 4 b + 2 - b > 0 { , a-5b+2>0 . 化简得{2-b> a-3b+2< 对应的平面区域如图,

4 6 得 A ( , ),B (2,2),C(4,2). 7 7 16 而 z 在这三点的值依次为 ,6,8. 7 16 故 z 的取值范围为( ,8). 7


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