对一道经典数学题的思考

对一道经典数学题的多角度思考
何为数学经典题目?数学经典题目就是经过历史选择出来的最有价值的经久不衰的题 目 。每个经典题目,都经得起人们的拷问和时间的考验;每个经典题目,总是蕴含着某种 重要的数学思想和方法; 每个经典题目, 总有其独特的教育价值和教学功能; 每个经典题目, 都能穿越时间的深度和厚度而又最终超越时间经久弥新、 与时俱进。 数学教科书上的例习题 有不少题目堪当经典, 本文以其中一道经典题目为例, 说明经典题目在复习教学中的潜能挖 掘与应用,以期抛砖引玉。

题目 已知

,且

,求证

。 不等式选讲人教 版第十页习

本题目是普通高中课程标准实验教科书数学选修 题

第 11 题。这是一道经典的条件不等式证明题,解题入口宽、方法多样,对本题进行一

题多解训练,可达到举一反三触类旁通,解读一题沟通一片以点带面的复习效果。 证法 1(配方法)因为 所以 ,所以 ,



所以 时等号成立。

, 当且仅当





, 即

点评 本解法先消元 ,将

表示成只含

的二次式,并将此式当作是以 为

主元的二次三项式进行配方,再将配方后余下的部分再次配方,然后用实数平方的非负性, 从而使问题得到解决。 证法 2(构造二次函数)因为 于是 ,所以 , ,

故当

时,

最小,此时



所以



所以

,当且仅当

时等号成立。

点评 本解法通过构造函数将不等式证明问题转化为函数的最值问题。先消元 表示成只含

,将

的二次式, 然后选 为主元, 将此式当作是含有参数 的以 为

自变量的二次函数 值就是

,求出

的最小值



的最小

的最小值,从而使问题获解。

证法 3(用重要不等式)因为 ,

所以

,当且仅当

时等号成立。

点评 将已知等式两边平方是运用重要不等式的关键。 证法 4(用等号成立的条件构造平方和)由所证不等式等号成立的条件得,





,所以

,当且仅当

时等号成立。 证法 5(用等号成立的条件构造配偶不等式)由所证不等式等号成立的条件可构造如

下 不 等 式 :





, 三 式 相 加 得 ,

,所以 号成立。

,当且仅当

时等

点评 证法 4 和证法 5 注意到等号成立的条件 在。 证 法

是问题获得简解的关键之所

6 ( 用 柯 西 不 等 式 ) 由 三 元 柯 西 不 等 式 得

,即



1

证法 7(用向量数量积不等式)构造向量



,由向量数量积不等



得,

,即

,当且仅当

时等号成立。 证法 8(利用直线与圆有公共点解题)把 当作参数 可看作是直角坐标系 当作变量,则 即 则

下的一条直线的方程,设

,此方程可看作是圆心是坐标原点半径为

的圆的方程。因为这两个

方程所组成的方程组有解,所以直线与圆有公共点,故圆心到直线的距离不大于半径。故

,即

有解,所以

,解得则







点评 本解法需要有方程思想、数形结合思想和化归意识,化静为动,动中求静。根据 “方程组有解,则直线与圆有公共点,从而直线到圆心的距离不大于半径”列不等式,进而 使问题得以解决。 证 法 9 ( 三 角 换 元 法 ) 设 。 由 所以 得 则 , 设 , ,两边平方解

,由正弦函数的有界性得



,故



证 法 10 ( 构 造 概 率 模 型 ) 设 随 机 变 量

取值为

时的概率均为

,因为

,所以

,所以

,即

,当且仅当

时等号成立。

2

证法 11(用琴生不等式)构造函数

,因为



上的凹函数,由琴生不

等式得,

,即

,所以

,当且仅当 证法 12(用点面距离公式) 面的方程,

时等号成立。 可看作是空间直角坐标系 下的一个平

可看作是这个平面内任意一点

到原点 O 的距离的平方, 由 最小,由点面距离公式得点 O 到平

垂线段最短知,当 OP 与平面垂直时,OP 最短从而

面的的距离为:

,所以

,即



凹凸函数、琴生不等式是高等数学的内容,但与初等函数关系密切,是初等数学与高 等数学的衔接处, 点面距离公式是大学空间解析几何的内容, 但可当作是平面解析几何点线 距离公式在空间的一个类比拓广, 这些知识可开阔学生的视野, 类比推理有利于发现新知识 和数学思想方法的迁移。 以上从十二个不同的角度来思考解决一个经典不等式的证明问题,消元法、配方法、构 造法, 函数和方程思想, 化归和转化思想, 数形结合思想都是高中数学重要的数学思想方法, 在以上十二种解法中体现得淋漓尽致。 一题多解有利于培养发散思维、 求异思维和综合运用 多种知识解决问题的能力,有利于拓宽解题思路,有利于创造性思维的培养。发挥经典以一 当十,解析一题复习一片。

3


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