2013年高考导数综合应用中的“隐零点”_论文

中学 数学 杂 志 2 0 1 3年第 9期  匿   薯   名舅  2 0 1   3年 高 考 导 数 综 合 应 用 中 的“ 隐零 点 ’ ’   浙 江省上 虞 市春 晖 中学  导数解 决 函数综 合 性 问题 最 终都 回归于 函数 单  3 1 2 3 5 3   林 国夫  调性 的判 断 , 而 函数 的单 调性与其 导 函数 的零 点有 着  紧密 的联 系 , 可 以说 导 函数零 点 的判 断 、 数值 上 的精  确求解或 估计成 为导数综合 应用 中最 为核心 的 问题 .   (  > 0 ) 的 性 屡 来 绘制 其 草图, 并 判断 上 述 方 程的   解 的个数. 由于 , (  ) :L  , 则 当 0<   ≤ 。时 ,   导函数的零点 , 根据其数值计算上 的差异  我们可以   分 为两类 : 一 类是 数值 上 能精 确求 解 的 , 我们 不妨 称  为“ 显零点 ” ; 另 一类 是 能 判 断 其存 在 但 数 值上 无 法  精确求解 的, 我们不妨称 为“ 隐零点 ” . 在教学实践  中, 我们发 现对 于处理 “ 隐零点 ”问题 , 由于涉及 到灵  活的代数变 形技 巧 、 抽 象缜密 的逻辑判 断 和巧妙 的不  等式应用 , 对 学生 综 合能 力要 求 比较高 , 往 往 成 为我  们 教学 的难 点. 为此笔 者 以 2 0 1 3年 高考涉及 函数 “ 隐  零 点”的试题 为例 , 系统 阐述 “ 隐零 点”的处理策 略和  技巧, 供读 者参考.   1   函数“ 隐零 点”的存在性 判断  h   (  )≥ 0 ;当  > e时 ,   、 h   (  )<0 , 故h (  )在 ( 0 ,   ,= 以  ∞) 上 单 调 递 减 , 又  l i mh (   ) =一 ∞ ,  ( e )=   — c    |   e ]上 单 调 递 增 , 在( e ,+   0 e   — 、   ~  i   . u   1   , J i m^ (  )=0 , 从而 Y:   图1   C  h (  )的草 图如 图 1 所示 .   由此 当 o   E( 一∞ , 0 ]u {   } 时, 方程 口=   (   >0 ) 有一 解 , 故, (  ) 有 且仅有 1 个零 点 ;   当 0∈ ( 0 ,  ) ’ 时, 方程 口=   (   >0 ) 有两 解 ,   C  对于 函数“ 隐 零点 ”的存 在性 判  笔 者 曾在 文  [ 1 ]进行过 系统探讨 , 对此我 们 常采用下 列两 种方 法  求解: 一 是 利 用 函数 零 点 介 质 定 理 , 即若 连续 函数  ) 在( o , 6 )上单调 , 且  a )e  b )<0 , 则  )在  故  )有 2个零点.   例2 ( 2 0 1 3年 陕西省 高考 理科 第 2 1 题第 ( Ⅱ)   题 )已知 函数 , (  ) =e   ,   ∈R .   ( 口   6 ) 上存在唯一零点; 二是借助图像分析, 即将函  数  )的零点 问题 的判 断转化为方程 厂 (  ) =0的解  的判 断 , 并通过 合理 的变 形将方程 转化 为合适 的形 式  再处 理. 在2 0 1 3年 高考 中, 此类 问题涉 及 相对 较 多 ,   (I )若直线 Y=   +1 与  )的反 函数 的图像  相切 , 求实数  的值 ;   ( Ⅱ)设  >0 , 讨论 曲线 Y =   m  ( m >0 )的公共 点的个 数.   ( Ⅲ)设 。 <b , 比  的大小 , 并说 明理 由.   二 0 — 0  )与 曲线 Y =   例如  ,   例1  ( 2 0 1 3年江 苏省 高 考理 科 第 2 0题 第 ( Ⅱ)   题) 设 函数_ 厂 (  )=l n  一∞ , g (  )= . e   一 口   , 其中口 为  实数.   解 线 Y=   ( Ⅱ ) 当  >0 时, 曲  )与 曲 线 Y =   V  (I) 若  )在 ( 1 ,+∞ )上是 单 调 减 函数 , 且  g (  )在 ( 1 ,+∞ )上有最小值 , 求 。的取 值范 围 ;   (Ⅱ) 若g (  ) 在( 一1 , +o 。 )上是单 调增 函数 , 试  求. 厂 ( x )的零点 个数 , 并 证 明你 的结论 .   解  ( Ⅱ)由于 g(  )在 ( 一1 , +。 。 )   上是单调增  函数 , 则g   (  )=e  一 n≥0 对任意 的  ∈( 一1 , +o 。)   1   I l   贴)   量   > 0 )   ( m >0 )公共 点 的个 数  V=, 押  与方程 m :   (   >0 )的  0   }   V 2   詈)   j   P 2   解的个数 相 同. 下 面我 们分  析g (   ):   :   (  >   恒成立 , 从而 e ~ 一0≥ 0 , 故 0≤   .   e   图2   0 )的性质并绘制草 图 , 进而  分析上述方程的解.   由于 g , (  ):   :   , 故  由于. 厂 (  ):l n   ‘ 一。  的零点 个数 即为 方程 n =   1 一  (   >0 )的解 的个 数. 下 面我 们通 过分 析 h (  ) =     , 当  ∈ ( 2 ,+∞ )时 , g   (  ) >0 ; 当  ∈ ( 0 , 2 )时 ,   49   .  }   绲‘ 墨   粥 嬲   中学 数学 杂 志 2 0 1 3年第 9期  g   (   ) < 0.   从而 g (  )

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