2018版高中数学人教版a版必修一学案:第三单元 习题课 函数的应用 含答案

习题课 学习目标 函数的应用 1.体会函数与方程之间的联系,能够解决与函数零点相关的问题 (重点).2.了解指数函数、幂函数、对数函数的增长差异(易错点).3.巩固建立函 数模型的过程和方法,了解函数模型的广泛应用(重点). 1.函数 f(x)=ex+3x 的零点个数是( A.0 解析 B.1 C.2 ) D.3 令 f(x)=ex+3x=0,即 ex=-3x,在同一坐标系中作出函数 y=ex 和 y =-3x 的图象,如图所示,由图知二者有一个交点,即 f(x)有 1 个零点. 答案 B 则函数 f(x)的零点为( 1 2 ) x ?2 -1,x≤1, 2.已知函数 f(x)=? ?1+log2x,x>1, 1 A. ,0 2 解析 B.-2,0 C. D.0 当 x≤1 时,由 f(x)=0,得 2x-1=0,所以 x=0.当 x>1 时,由 f(x) 1 =0,得 1+log2x=0,所以 x= ,不成立,所以函数的零点为 0,选 D. 2 答案 D 3.函数 f(x)=ax2+x-1 至少存在一个零点,则 a 的取值范围是________. 解析 当 a=0 时,f(x)=x-1 有一个零点 x=1;当 a≠0 时,则零点 Δ=1+ 1 1 4a≥0,解得 a≥- 且 a≠0,综上 a 的取值范围是 a≥- . 4 4 答案 ? 1 ? ?- ,+∞? ? 4 ? 4. 生产某机器的总成本 y(万元)与产量 x(台)之间的函数关系式是 y=x2-75x, 若每台机器售价为 25 万元,则该厂获得最大利润时生产的机器为________台. 解析 设生产 x 台,获得利润 f(x)万元,则 f(x)=25x-y=-x2+100x=- (x-50)2+2 500,故当 x=50 时,获得利润最大. 答案 50 考查方向 方向 1 判断函数零点所在的区间 类型一 函数的零点 【例 1-1】 函数 f(x)=2x+3x 的零点所在的一个区间是( B.(-1,0) C.(0,1) ) A.(-2,-1) 解析 D.(1,2) 1 由 f(-1)= -3<0,f(0)=1>0 及零点存在性定理,知 f(x)的零点在 2 区间(-1,0)上. 答案 方向 2 B 判断函数零点的个数 a 方程|x|- =0(a>0)的零点有( x B.2 个 C.3 个 ) D.至少 1 个 【例 1-2】 A.1 个 解析 a 令 f(x)=|x|,g(x)= (a>0),作出两个函数的图象,如图,从图象可 x 以看出,交点只有 1 个. 答案 方向 3 A 根据函数零点求参数的取值范围 已知函数 f(x)=|x2+3x|,x∈R.若方程 f(x)-a|x-1|=0 恰 【例 1-3】 有 4 个互异的实数根,则实数 a 的取值范围为________. 解析 设 y1=f(x)=|x2+3x|,y2=a|x-1|. 在同一平面直角坐标系中作出 y1=|x2+3x|, y2=a|x-1|的图象,如图. 由图可知 f(x)-a|x-1|=0 有 4 个互异的实数根等价于 y1=|x2+3x|与 y2= a|x-1|的图象有 4 个不同的交点,且 4 个交点的横坐标都小于 1, 2 ?y=-x -3x, 所以? ?y=a?1-x? 有两组不同的解. 消去 y 得 x2+(3-a)x+a=0,该方程有两个不等实根. 所以 Δ=(3-a)2-4a>0, 即 a2-10a+9>0, 解得 a<1 或 a>9. 又由图象得 a>0, ∴0<a<1 或 a>9. 答案 (0,1)∪(9,+∞) 函数零点问题的解法 规律方法 (1)确定函数零点所在的区间,可利用零点存在性定理或数形结合法. (2)判断零点个数的方法:①解方程法;②零点存在性定理,结合函数的性质; ③数形结合法:转化为两个函数图象的交点个数. (3)根据函数的零点求参数的取值范围: ①直接法: 直接根据题设条件构建关于参数的不等式(组), 再通过解不等式(组) 确定参数范围; ②分离参数法,将参数分离,转化成求函数值域问题加以解决; ③数形结合法: 先对解析式变形, 在同一平面直角坐标系中, 画出函数的图象, 然后数形结合求解. 【训练 1】 A.(0,1) D.(3,+∞) (2)若方程 4x+2x+1+3-a=0 有零点,则实数 a 的取值范围是________. 解析 (1)易知函数 f(x)=x+lg x-3 在定义域上是增函数,f(1)=1+0- (1)函数 f(x)=x+lg x-3 的零点所在的区间为( B.(1,2) C.(2,3) ) 3<0,f(2)=2+lg 2-3<0,f(3)=3+lg 3-3>0.故函数 f(x)=x+lg x-3 的零 点所在的区间为(2,3),选 C. (2)由 4x+2x+1+3-a=0 得 a=4x+2x+1+3,又 4x+2x+1+3=(2x)2+2· 2x+3= (2x+1)2+2,因为 2x>0,所以(2x+1)2+2>3.故要使原方程有零点,则 a>3. 答案 类型二 (1)C (2)(3,+∞) 函数模型及其应用 【例 2】 某家庭进行理财投资,根据长期收益率市场预测,投资债券等稳健 型产品的收益与投资额成正比,投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平 方根成正比.已知投资 1 万元时两类产品的收益分别为 0.125 万元和 0.5 万元. (1)分别写出两类产品的收益与投资额的函数关系; (2)若该家庭有 20 万元资金,全部用于理财投资,问:怎样分配资金能使投资 获得最大收益?其最大收益是多少万元? 解 (1)设两类产品的收益与投资额的函数分别为 f(x)=k1x,g(x)=k2 x. 1 1 由已知得 f(1)= =k1,g(1)= =k2, 8 2 1 1 所以 f(x)= x(x≥0),g(x)= x(x≥0)

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