直线与平面垂直的性质定理教学设计

“直线与平面垂直 的性质”教学设计

马利雅

人教版 必修 2

2.3.3 直线与平面垂直的性质

课标要求: 以立体几何的定义、 公理、 定理为出发点, 通过直观感知、 操作确认,归纳出直线与平面垂直的性质定理,并加以证明。 学情分析:在学习本节课的内容之前,刚刚学习了直线与平面垂直的 定义以及判定定理, 在学完判定定理之后紧接着的例 1 当中我们利用 判定定理证明了线线平行的性质定理, 即如果两条平行直线中的一条 垂直于一个平面,那么另一条也垂直于同一个平面,用符号语言表示 为若 a//b,a⊥α ,则 b⊥α 。而我们的直线与平面垂直的性质定理就 是将上述命题的中的题设和结论改变一下得到的。 所以在前面知识的 基础上学习本节课的内容并不是很难。 教材分析: 1.本节的作用和地位: 本节课是人教版必修 2 第二章直线与平面垂直 的第三课时。空间中直线与平面之间的位置关系中,垂直是一种非常 重要的位置关系,它不仅应用较多,而且是空间问题平面化的典范。 空间中直线与平面垂直的性质定理不仅是由线面关系转化为线线关 系,而且将垂直关系转化为平行关系,因此直线与平面垂直的性质定 理在立体几何中有着重要的地位和作用。 2.本节主要内容: 直线与平面垂直的性质定理的证明及转化思想的渗 透。 3.重点、难点分析 教学重点:直线与平面垂直的性质定理的证明及转化思想的渗透。 教学难点:直线与平面垂直的性质定理的证明

课时要求:1 课时

教学目标: 1.知识与技能:掌握直线与平面垂直的性质定理,了解线面关系
与线线关系,垂直关系与平行关系之间的转化以及反证法的应用。

2.过程与方法:在观察长方体模型的基础上进行操作确认,获得 对性质定理正确性的认识,进一步推导出定理的证明过程。
3.情感态度与价值观:通过“直观感知、操作确认,推理证明”, 提高空间想象的能力和逻辑推理能力。

教学理念:高中学生思维活跃,参与意识、自主探究能力较强,整
节课主要以学生自主探究为主,老师只起一个组织,引导的作用。从 而增强空间想象能力,养成质疑思辨、创新的精神。

教学方法:探究讨论法,老师引导学生将命题的题设和结论改变 得出一个新的问题,利用反证法解决问题。学生们讨论探究性质 定理成立的条件,最后一起推导证明。 教学过程:
一.温故知新,引入课题 1.直线垂直于平面的定义: 如果一条直线垂直于一个平面内的任意一 条直线,则称这条直线垂直于这个平面。 2.直线与平面垂直的判定定理: 如果一条直线垂直于一个平面内的两 条相交直线,则称这条直线垂直于这个平面。 3.课本 65 页的例 1:已知 a//b,a⊥α ,求证 b⊥α 。 4.我们将上述例 1 中的题设和结论改变一下,得到一个新的问题:若

a⊥α ,b⊥α ,那 a 和 b 会有怎样的位置关系呢? 二.猜想推测,激发兴趣 先来看书上 70 页的思考题: (1)如图 2.3-16,长方体 ABCD-A’B’C’C’中,棱 AA’,BB’, CC’,DD’所在直线都垂直于平面 ABCD,它们之间具有什么位置关 系? (2)如图 2.3-17,若直线 a,b 和平面 α,如果 a⊥α ,b⊥α ,那么 a,b 一定平行吗? 分析:a、b 是空间中的两条直线,要证明它们互相平行,我们一般 先证明它们共面,然后转化为平面几何中的平行判定问题,但这个命 题的条件比较简单,我们要想说明 a、b 共面本身就很困难,要证明 平行就更难了。此时提醒学生可以转换思路,既然正着推不出来,那 是不是可以逆着来呢?比如,a、b 不平行会有什么矛盾?这就是我 们提到过的反证法。假定 b 与 a 不平行,现在应该要推出矛盾,从已 知条件中的垂直关系,这是就让我们想起例题 1(线线平行定理), 在这个定理的已知条件中,平面有一条垂线,垂线有一条平行线,因 此需要添加一条辅助线. 三.层层推进,证明定理 证明:假设 b 与 a 不平行,b∩α =O 过点 O 做直线 b′//a, 直线 b 与 b′确定平面β ,设α ∩β =c,则 O∈c ∵a⊥α ,b⊥α ,c∈α

∴ a⊥c,b⊥c

又∵b′//a,∴b′⊥c 在平面β 内, 经过同一点 O 的两条直线 b, b′都垂直于平面α , 显然不可能,矛盾。
∴ a//b

这样我们就得到了:如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两 条直线平行.这就是我们的直线与平面垂直的性质定理。 四.课堂小结,完美收尾 本节课,我们学习了直线和平面垂直的性质定理,定理的证明用到反 证法,大家一定要熟练掌握。 板书设计:


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