一个双重无理不等式的发现

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甘△ 。 一0即 ( 1 3 ) .  

总之 , 证 明( 1 ) ~( 1 4 ) 是 等 价类 , 将 有效 地 调动 你  虽圜鼹豳囤图倚国囤羁  平 面几何 、 立 体几 何 、 代数 、 解 析 几何 的相 关 基 础知 识 
北 京 师范 大学 二附 中  王 雪芹 
天津市 宝坻 区教 研 室 杨  之 

和技 能 技巧 , 也可 能 引领你 发 现更 为珍 贵 的东 西.  

从 平面几 何 到 代 数 、 立体几何和解析几何 , 证 明 
三点共 线 的命 题 、 方法、 技巧 , 实在不少 , 它 们 都 可 以  归 结为 等价命 题.   ( 1 ) P、 Q、 R三 点共线 ( 在 同一 条直 线上 ) .  
( 2 ) P在直 线 Q R上.   ( 3 ) P到直 线 Q R 的距离 为 0 .  

西  安  东  方  中  学

石长伟 

陕 西 省 乾 县 杨 汉 高 级 中 学  韩  晔  陕 西省 咸 阳市秦 都 区平 陵 中学  魏 亚宁 
背 景 问题 两 条互 相 垂 直 的公 路 间 有 一城 镇 P,  

( 4 ) P、 Q、 R都是 平 面 a与  的公共 点.   ( 5 ) P、 Q、 R是 △AB C外 接 圆 上 一 点 分 别 在 直 线  AB、 B C、 C A 上 的射影.  
( 6 ) S △ 嗽 一0 .  

欲过 P修 一 条直 路与 两公 路相 交 , 如何 修最 经济 ?   解: 如 图, 以 两 公 路 为 轴 建 
立直 角 坐 标 系 , 直 路 AB 过 

P( a , 6 ) , 倾 斜 角补 角为 a , 则 要  求 的是 
l AB f —a s e c口 +b c s c口  

( 7 ) 三 点 P、 Q、 R 在 直 线 AB 同 侧 , 且 S △ P ^  


S△Q A B— S△R A B。  

事实 上 , 我 们 已经解 决 : 当  ( 8 )线 段 P Q、 Q R、 P R 中, 有 两 条 之 和 等 于  取最 小 值 的 a值 .
第三条 .  
( 9 ) 足 尸 口一 是 职.  

一r c t a n   时 ,   l A   B l … 一 (  

) 寻 .  

( 1 0 ) 若 直线 PQ 的方 程 为 Ax+B y +C一0 , 则 直  线P R 的方 程为 k Ax+足 B   +足 C一0 ( 足 ≠ 0为常 数 ) .   若 设三 点 P、 Q、 R 的坐标 分别 为 (   , Y   ) 、 (  z ,  
Y 2 ) 、 (  3 , Y 3 ) , 则 有  ( 1 1 ) (   ,   ) 满 足方程 三二  一   二  ( 1 2 ) 设 1 一 
I  
.  

作 为反思 , 我们进 一 步 提 出 : 当直 路 AB 变 化 时 ,   △A0 B面 积 S △、 外 接 圆 面积 S  和 内切 圆面积 S  的 

变化 范 围如何 ? 于是 , 经过计 算 求 出   S △一‘ ÷( a +b c o t 口 ) ( 6 +a t a n口 ) ≥2 a b ,  
S R ̄ -   1  

7 c ( a s e c   a +6 c s c   a )   ≥  ( a i 2 +6 号)  ,  

,   2 一 
  I

, 则 1 一   2 .  

s   一 ÷ 7 c 尸( z ) .  
- 厂 (  ) 一l   O A   l +l   O B   l —l   AB   l  


J  1   1  1   J  
( 1 3 ) △一 I  2   Y 2   1   I 一0 .  

J  3  Y 3  1     J
( 1 4   一  .  

2 ( a + 6 ) 一 ( 、   6   +  ) Z ,   ,  
,  

其中   一1 +t a n 要( 1 <  <2 ) ,  
F - f ( x ) ]   一2 ( n+6 ) -2  

以上 1 4个命题 都是 互 相 等 
价 的. 有 的很 独 特 , 如( 4 ) , 恐 怕  需 单 独 证 明.事 实 上 , 证 ( 1 )  




. .

s , ≤ (  + 6 一 

)   .  

由于总 有 S   <S △< S R ,   故有 ma x S , % mi n S △%mi n S R ,  
? .

( 4 ) , 充分 性 只需用 “ 两 平 面相 

交, 必 相交 于一 条直 线 ” 即可 ; 必 

. 7 c ( a + 6 一 ̄ /  )   <2 a 6 <手( 口 号 + 6 号 )   ( o < 6  

要性理 解为 “ 三个 点所 在直 线 总 可作 为 某 两 个 平 面 的 

<2 a <4 b ) .  

交线 ” 就可 以 了. 其他 命题 可按 “  ” 排成串 , 如 能 首尾 
相接 , 形成 环 , 则 可不 必证 “  ” . 但( 8 ) 也 很独 特. 如果  要用 解析法 , 则须 是 你 不 怕 繁 复 计 算. 那么, 可知 ( 8 )  

这是 一 个既 带根 号 , 又 有超 越 数 兀的“ 双 重无 理 ”  

不 等式 , 然而 它 由一 个 简 单 的实 际 问题 酿 成 , 多 少 显 
示 了 自然 的 造 化 之 功 .  


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