2018_2019学年高中数学第一章三角函数1.4三角函数的图象与性质2第2课时课件新人教A版必修4_图文

第2课时 正弦函数、余弦函数的性质(二) 课 标 阐 释 思 维 脉 络 1.理解正弦函数与余弦函数的单 调性,会求函数的单调区间.培养数 正弦函数余弦函数单调性 学运算素养. 单调性 2.能够利用三角函数单调性比较 单调区间 三角函数值的大小.培养数学运算 素养. 比较大小 应用 3.能够结合三角函数的单调性求 最值与值域 函数的最值和值域.培养数学运算 素养. 一 二 三 思维辨析 一、正弦函数与余弦函数的单调性 问题思考 1.观察正弦曲线,正弦函数在哪些区间上是增函数?在哪些区间上 是减函数?如何将这些单调区间进行整合?类似地,余弦函数在哪些 区间上是增函数?在哪些区间上是减函数?怎样整合这些区间? π π 提示正弦函数在每一个闭区间 - + 2π, + 2π (k∈Z)上都 2 2 π 3π 是增函数;在每一个闭区间 + 2π, + 2π (k∈Z)上都是减函数; 2 2 余弦函数在每一个闭区间[-π+2kπ,2kπ](k∈Z)上都是增函数;在每一 个闭区间[2kπ,π+2kπ](k∈Z)上都是减函数. 一 二 三 思维辨析 2.填空:(1)正弦函数 y=sin x 在区间 - 2 + 2π, 2 + 2π (k∈Z)上 π 3π 单调递增;在区间 + 2π, + 2π (k∈Z)上单调递减; 2 2 π π (2)余弦函数y=cos x在区间[-π+2kπ,2kπ](k∈Z)上单调递增;在区 间[2kπ,π+2kπ](k∈Z)上单调递减. 一 二 三 思维辨析 3.做一做:(1)函数y=sin 2x-1的单调递增区间是 (2)函数y=3-cos 2x的单调递增区间是 ; . 解析(1)令-2+2kπ≤2x≤2+2kπ,k∈Z, 解得- +kπ≤x≤ +kπ,k∈Z, 故函数的单调递增区间是 - 4 + π, 4 + π (k∈Z). (2)函数 y=3-cos 2x 的单调递增区间即为函数 y=cos 2x 的单调 π 递减区间,令 2kπ≤2x≤π+2kπ,k∈Z,解得 kπ≤x≤2+kπ,k∈Z,故函数 的递增区间是 π, 2 + π (k∈Z). π π π π 4 π 4 π π 答案(1) - + π, + π (k∈Z) (2) π π, + π 2 π 4 π 4 (k∈Z) 一 二 三 思维辨析 二、正弦函数与余弦函数的最值和值域 问题思考 1.观察正弦曲线和余弦曲线,正、余弦函数是否存在最大值和最 小值?若存在,其最大值和最小值分别为多少?当自变量x分别取何 值时,正弦函数y=sin x取得最大值和最小值?余弦函数呢? 提示正、 余弦函数存在最大值 1 和最小值-1;正弦函数当且仅当 x=2kπ+2(k∈Z)时取最大值 1,当且仅当 x=2kπ+ 2 (k∈Z)时取最小值 -1;余弦函数当且仅当 x=2kπ(k∈Z)时取最大值 1,当且仅当 x=π+2kπ(k∈Z)时取最小值-1. π 3π 一 二 三 思维辨析 2.填空:(1)正弦函数 y=sin x 当且仅当 x=2kπ+2(k∈Z)时取最大 值 1;当且仅当 x=2kπ+ 2 (k∈Z)时取最小值-1; (2)余弦函数y=cos x当且仅当x=2kπ(k∈Z)时取最大值1;当且仅当 x=2kπ+π(k∈Z)时取最小值-1. (3)正弦函数y=sin x、余弦函数y=cos x的值域都是[-1,1]. 3π π 3.做一做:(1)函数 y=2-3sin x 的最小值是 (2)当函数 y=cos2取得最大值时,x 的值等于 ; . 解析(1)因为y=sin x的最大值为1,所以y=2-3sin x的最小值是-1. (2)当2=2kπ,k∈Z,即 x=4kπ,k∈Z 时,函数 y=cos2取得最大值. 答案(1)-1 (2)4kπ(k∈Z) 一 二 三 思维辨析 三、正弦函数与余弦函数的对称性 问题思考 1.观察正弦曲线与余弦曲线,正弦曲线除了关于原点对称外,是否 还关于其他的点和直线对称?余弦曲线除了关于y轴对称外,是否还 关于其他的点和直线对称? 提示正弦曲线关于点(kπ,0)(k∈Z)和直线 π 2 π x=kπ+2(k∈Z)对称;余 弦曲线关于点 π + ,0 (k∈Z)和直线 x=kπ(k∈Z)对称. 一 二 三 思维辨析 2.填空:(1) 曲 线 正弦曲线 余弦曲线 对称轴方程 x=kπ+ (k∈Z) 2 对称中心坐标 (kπ,0)(k∈Z) π + 2 ,0 (k∈Z) π x=kπ(k∈Z) (2)正弦曲线(余弦曲线)的对称轴都经过正弦曲线(余弦曲线)的 最高点或最低点,亦即函数y=sin x(y=cos x)的最值点;正弦曲线(余 弦曲线)的对称中心都经过正弦曲线(余弦曲线)与x轴的交点,亦即 函数y=sin x(y=cos x)的零点. 一 二 三 思维辨析 3.做一做:(1)函数 y=sin x+3 的图象的一条对称轴方程为( A.x=-π B.x=0 C.x=4 π ) (2)函数 y=2cos x-1 的图象的一个对称中心为( A.(-π,-3) B.(0,0) π π C. 2 ,-1 D. 2 ,0 解析(1)函数 y=sin x+3 在 对称轴. (2)当 π x=2时,y=2cos 5π x=- 处取得最值,故 2 π ,-1 2 D.x=- 2 5π ) 5π x=- 是图象的 2 x-1=-1,故对称中心是 . 答案(1)D (2)C 一 二 三 思维辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打 “×”. (1)正弦函数在第一象限内是单调递增函数. ( ) (2)函数 y=3cos 2x 的最大值是 1. ( 1 ) ) ) ( ,k∈ ) (3)函数 y=asin x 在

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