浅析函数与方程的思想在解题中的应用

浅析函数与方程的思想在解题中的应用
摘要 函数与方程的思想是中学数学的基本思想。函数的思想,是用运动和变化的 观点、集合与对应的思想,分析和研究数学问题中的数量关系,建立函数关系, 或从题目的条件出发,通过联想,构造函数模型,利用函数的性质和图象解决问 题。方程的思想,就是分析数学问题中的各个变量之间的等量关系,建立方程或 方程组,通过解方程或方程组,或运用方程的性质去分析、转化问题,进而解决 问题。

Summary The function is a mathematic and basic thought in high school with the thought of the square distance.Function of thought, is term that thought that standpoint to use the sport with the variety, gather with to should, the analysis relates to with research mathematics quantity in the problem, establishing the function relates to, or set out from the topic, passing the association of thought, structure function model, the kind that make use of the function solves problem with the portrait.The thought of the square distance, is analysis mathematics each one in the problem to become an of deal relating to with same quantity, establish a kind for, passing first square distance in solution or square distance sets, or square distance in application analyze, conversion problem, then

solve problem.
关键字 函数、方程、数列、不等式 Key word Function, square distance, few row, not equation

正文

函数的思想,就是运用运动和变化的观点,集合与对应的思想,去分析和研 究数学问题中的等量关系, 建立或构造函数关系,再运用函数的图象和性质去分 析问题,转化问题,达到转化问题的目的,从而使问题获得解决. 方程的思想, 就是从问题的数量关系入手,运用数学语言将问题中的条件转 化为数学模型——方程或方程组,通过解方程或方程组,或者运用方程的性质去 分析、转化问题,使问题获得解决. 函数与方程是两个不同的概念,但它们之间有着密切的联系,一个函数若 有解析表达式,那么这个表达式就可看成是一个方程.一个二元方程,两个变量 存在着对应关系, 如果这个对应关系是函数, 那么这个方程可以看成是一个函数, 一个一元方程, 它的两端可以分别看成函数,方程的解即为两个函数图象交点的 横坐标,因此,许多有关方程的问题可以用函数的方法解决;反之,许多有关函 数的问题则可以用方程的方法解决.总之,在复习中要注意领悟蕴含在知识和解 题过程中函数和方程的思想,用它来指导解题.在解题中,同时要注意从不同的 角度去观察探索,寻求多种方法,从而得到最佳解题方案.

一、 一次函数与一元一次方程、 二元一次方程 (组) 不等式 (组) 的关系
1、一次函数与一元一次方程 规律:任何一个一元一次方程都可转化为:kχ +b=0(k、b 为常数,k≠0) 的形式。而一次函数解析式正是у =kχ +b(k、b 为常数,k≠0),当函数值 为 0 时,即 kχ +b=0 就与一元一次方程完全相同。

结论:由于任何一元一次方程都可转化为 kχ +b=0(k、b 为常数,k≠0) 的形式,所以解一元一次方程可以转化为:当一次函数的值为 0 时,求相应的自 变量的值。从图象上看,这相当于已知直线у =kχ +b 确定它与χ 轴交点的横 坐标值。 [例 1]一个物体现在的速度是 5m/s,其速度每秒增加 2 m/s,再过几秒它的 速度为 17 m/s? 解:方法一:设再过χ 秒物体速度为 17 m/s。由题意可知: 2χ +5=17 解之得:χ =6。

方法二:速度у (m/s)是时间χ (s)的函数,关系式为у =2χ +5。 当函数值为 17 时, 对应的自变量χ 的值可通过解方程 2χ +5=17 得到 χ =6。 方法三:由 2χ +5=17 可变形得到:2χ -12=0。 从图象上看,直线у =2χ -12 与χ 轴的交点为(6,0),得 χ =6。 总结:这个题我们通过三种方法,从方程、函数解析式及图象三个不同方面 进行解答。它是数与形的完美结合,结果是相同的,这就是殊途同归。

[例 2]设不等式 x 的取值范围。

对满足

的一切实数 m 恒成立, 求实数

解析: 此问题由于常见的思维定势,易把它看成关于 x 的不等式进行分类讨 论。然而,若变换一个角度以 m 为主元,记 转化为求一次函数(或常数函数) 该满足的条件。 ,则问题

的值在区间[-2,2]内恒负时参数 x 应

要使

,只要使



从而解得 评注: 本例采用变更主元法, 化繁为简, 再巧用函数图象的特征 (一条线段) , 解法易懂易做。如何从一个含有多个变元的数学问题里,选定合适的主变元,从 而揭示其中主要的函数关系,有时便成了数学问题能否“明朗化”的关键所在。

[例 3]已知 f(t)=log2t,t∈[ 2,8],对于 f(t)值域内的所有实数 m,不等 式 x2+mx+4>2m+4x 恒成立,求 x 的取值范围. 1 解析:∵t∈[ 2,8],∴f(t)∈[ ,3], 2 原题转化为:m(x﹣2)+(x﹣2)2>00 恒成立, 1 当 x=2 时,不等式不成立.∴x≠2。令 g(m)=m(x﹣2)+(x﹣2)2,m∈[ ,3] 2 1 ? g( )>0 1 ? ? 2 问题转化为 g(m)在 m∈[ ,3]上恒大于 0,则 ; 2 ? ? g(3)>0 解得:x>2 或 x<-1 点拨:本题首先由已知条件可先求得 m 的取值范围,因此,另一个变量 x 的取值范围须受到 m 的取值范围的制约,于是通过变更主元为 m,视 x 为不等式 的参数,构造关于 m 的一次函数,再依据一次函数的特性使问题得到解决.在多 个字母变量的问题中,选准“主元”往往是解题的关键 2、一次函数与二元一次方程(组)的关系 [例 4] 如图,是在同一坐标系内作出的一次

函数 y 1 、 y 2 的图象 l1 、 l 2 ,设 y 1 ? k 1 x ? b1 ,
y 2 ? k 2 x ? b2

,则方程组 ?

? y 1 ? k 1 x ? b1 ? y 2 ? k 2 x ? b2

的解

是(

) .
? x ? ?2 ?y ? 2

A. ?

B. ?

? x ? ?2 ?y ? 3

C. ?

? x ? ?3 ?y ? 3

D. ?

? x ? ?3 ?y ? 4

解题思路 1:两图象 l1 、 l 2 的交点即为方程组 ?

? y 1 ? k 1 x ? b1 ? y 2 ? k 2 x ? b2

的解,延长 l 2 ,
? y 1 ? k 1 x ? b1 ? y 2 ? k 2 x ? b2

使它与 l1 相交, 经过观察可以看出交点坐标为(-2, 3), 故方程组 ?
? x ? ?2 ?y ? 3



解是 ?

.故应选 B.

规律方法: 用一次函数图象求二元一次方程组的解的步骤是:①将二元一次 方程组中的两个方程转化为一次函数表达式;②在同一坐标系中,作出这两个一 次函数的图象;③两图象(两直线)的交点坐标即为所求方程组的解. 解题思路 2:由函数图象上点的坐标,利用待定系数法确定函数解析式,然 后联立两函数关系式解方程组. 解 :在 l1 上找两点 (1 , 2)和 (4,1) ,求出过 这两点的 l1 的一次函数 为
y ? ? 1 3 x? 7 3



在 l 2 上找两点(-1, 0)和(0, 求出过这两点的 l 2 的一次函数为 y ? ? 3 x ? 3 . 3),
1 7 ? ?y ? ? x ? 解方程组 ? 3 3 ? y ? ?3x ? 3 ?

,得 ?

? x ? ?2 ?y ? 3

.故应选 B.

3、一次函数与不等式(组) 规律方法: 一次函数与一元一次不等式有密切联系, 即解不等式 ax ? b >0(或
ax ? b

<0)就是求自变量 x 在什么范围内,一次函数 y ? ax ? b 的值大于 0(或小于

0),反过来知道 y ? ax ? b 的值大于 0(或小于 0)时自变量 x 的取值范围就是不等 式 ax ? b >0(或 ax ? b <0)的解. [例 5] 若函数 y ? kx ? b ( k , b 为常数)的图 )
1 0 1 2 x y

象如图所示,那么当 y ? 0 时, x 的取值范围是( A. x
?1

B. x

? 2

C. x

?1

D. x

? 2

y 解题思路: ? 0 时 x 的取值范围实质上就是图象上 x 轴上方的部分所对应的

自变量 x 的取值范围,经过观察知, y ? 0 时, x

? 2 .故应选

D.

4、综合考查一次函数与二元一次方程(组)、一元一次不等式的关系 [例 6] 如图,L1、L2 分别表示一种白炽灯和一种节能灯的费用 y (费用=

灯的售价+电费,单位:元)与照明时间 x (小时)的函数图象,假设两种灯的使用 寿命都是 2000 小时,照明效果一样. (1)根据图象分别求出 L1、L2 的函数关系式; (2)当照明时间为多少时,两灯的费用相等; (3)小亮房间计划照明 2500 小时,他买了一 个白炽灯和一个节能灯,请你帮他设计最省钱的 用灯方法(直接给出答案,不必写出解题过程). 解题思路:(1)用待定系数法可求出 L1、L2 的 函数关系式;(2)需解方程;(3)需观察图象并加以分析. 解:(1)设 L1、L2 的函数关系式分别为: y 1 ? k 1 x ? b1 , y 2 ? k 2 x ? b2 ,将 x ? 0 ,
y ?2

; x ? 500 , y ? 17 分别代入 y 1 ? k 1 x ? b1 ,得
? b1 ? 2 ? ? 500 k 1 ? b1 ? 17
3 ? ?k1 ? .解得 ? 100 ?b ? 2 ? 1



∴L1 的函数关系式为: y ?

3 100

x?2

(0≤ x ≤2000).

将 x ? 0 , y ? 20 ; x ? 500 , y ? 26 分别代入 y 1 ? k 2 x ? b 2 ,得
? b2 ? 2 ? ? 500 k 2 ? b 2 ? 26
3 ? ?k2 ? .解得 ? 250 ? b ? 20 ? 1



∴L2 的函数关系式为: y ? (2)令
3 100 x?2

3 250

x ? 20

(0≤ x ≤2000).

=

3 250

x ? 20

,得 x ? 1000 .

∴当照明时间为 1000 小时,两种灯的费用相等. (3)由(2)和观察图象可看出节能灯使用 2000 小时,白炽灯使用 500 小时最 省钱. 规律方法: 这是一道紧密联系实际生活的一次函数图象信息题,解决这类问

题,要从图象提供的已知条件出发,运用函数知识与解方程(组)等知识,找出解 题途径. [例 7] 阅读:我们知道,在数轴上, x ? 1 表示一个点,而在平面直角坐标

系中, x ? 1 表示一条直线;我们还知道,以二元一次方程 2 x ? y ? 1 ? 0 的所有解 为坐标的点组成的图形就是一次函数 y ? 2 x ? 1 的图象,它也是一条直线,如图 ①. (观察图①可以得出:直线 x ? 1 与直线 y ? 2 x ? 1 的交点P的坐标 (1,3)就是方程组 ?
?x ? 1 ?y ? 2x ?1

的解,所以这个方程组的解为 ?

?x ? 1 ?y ? 3



在直角坐标系中,x ≤1表示一个平面区域,即直线 x ? 1 以及它左侧的部分, 如图②; y ≤ 2 x ? 1 也表示一个平面区域,即直线 y ? 2 x ? 1 以及它下方的部分, 如图③. 回答下列问题:






? x ? ?2 ? y ? ?2 x ? 2

在直角坐标系(图④)中,用作图象的方法求出方程组 ?
? x ≥ ?2 ? 用阴影表示 ? y ≤ ? 2 x ? 2 所围成的区域. ?y≥ 0 ?

的解;

分析:这是一道阅读理解题,它进一步拓展了一次函数知识,沟通了一次函 数、二元一次方程、二元一次不等式的关系及几何意义.运用初中已有的基础, 不难理解用不等式表示平面区域的新的概念.

解:(1)如图④所示,在坐标系中分别 作出直线 x ? ? 2 和直线 y ? ? 2 x ? 2 .这 两条直线的交点是(-2,6),故 ?
? x ? ?2 ? y ? ?2 x ? 2 ? x ? ?2 ?y ? 6



方程组 ?

的解.



? x ≥ ?2 ? (2)不等式组 ? y ≤ ? 2 x ? 2 所围成的区域如图④中的阴影部分. ?y≥ 0 ?

二、二次函数与一元二次方程、不等式的关系
1、二次函数与一元二次方程 函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴的交点横坐标即为方程 ax2+bx+c=0 的 解。函数图像与 x 轴的交点和方程的解的情况,规律如下: (1) 当函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴无交点时,方程 ax2+bx+c=0 无实数 根; (2)当函数 y=ax +bx+c 的图象与 x 轴有一个交点时,方程 ax +bx+c=0 有两个相等的实数根; (3)当函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴有两个交点时,方程 ax2+bx+c=0 有两个不相等的实数根; [例 8](湖北卷)关于 x 的方程(x2-1)2-x2-1+k=0,给出下列四个命题: ①存在实数 k,使得方程恰有 2 个不同的实根; ②存在实数 k,使得方程恰有 4 个不同的实根; ③存在实数 k,使得方程恰有 5 个不同的实根; ④存在实数 k,使得方程恰有 8 个不同的实根. 其中假命题的个数是( ). A. 0 B. 1 C. 2 D. 4
2 2

本题是关于函数、方程解的选择题,考查换元法及方程根的讨论,属一题多 选型试题,要求考生具有较强的分析问题和解决问题的能力. 思路分析:

1. 根据题意可令 x2-1=t(t≥0),则方程化为 t2-t+k=0,(*) 作出函数 t=x2-1 的图象,结合函数的图象可知①当 t=0 或 t>1 时,原方程有两 上不等的根,②当 0<t<1 时,原方程有4个根,③当 t=1 时,原方程有3根. (1)当 k=-2 时,方程(*)有一个正根 t=2,相应的原方程的解有 2 个;

(2)当 k= 个;

时,方程(*)有两个相等正根 t=

,相应的原方程的解有 4

(3)当 k=0 时,此时方程(*)有两个不等根 t=0 或 t=1,故此时原方程有 5 个根; (4)当 0<k< 时,方程(*)有两个不等正根,且此时方程(*)有两正根

且均小于 1,故相应的满足方程 x2-1=t 的解有 8 个,故选 A. 2. 由函数 f(x)=(x2-1)2-x2-1 的图象(如下图)及动直线 g(x)=k 可 得出答案为 A.

3. 设 t=x2-1(t≥0),t2-t+k=0,方程的判别式为 Δ =1-4k,由 k 的取值依 据 Δ >0、Δ =0、Δ <0 从而得出解的个数. 【点评】 思路 1、思路 2 都是利用函数图象求解,但研究的目标函数有 别, 思路 2 利用函数的奇偶性以及交轨法直观求解,很好地体现了函数与方程的 数学思想;思路 3 利用方程的根的个数问题去求解,但讨论较为复杂,又是我们 的弱点,有利于培养我们思维的科学性、严谨性、抽象性、逻辑推理能力等基本 素质. [例 9]已知正数 a,b,c 满足 b>a+c,那么关于方程 ax2+bx+c=0 的根的情况 ( ) A 有两个实根 B 有两个等根 C 无实根 D 不确定

[点拨]这道题是要判断方程根的情况,也可将其转化为“函数”问题,只需 判断二次函数与 x 轴的交点个数即可。 因此画出满足题意的抛物线的草图是解题 的关键。对于二次函数 y=ax2+bx+c,满足 a>0,b>0,c>0,a-b+c<0,此时抛物线与 x 轴有两个交点,因此方程 ax2+bx+c=0 有两个实根。 [例 10]关于 x 的方程 2kx2-2x-3k-2=0 的两根一个小于 1, 一个大于 1, 求实数 k 的取值范围。 [点拨]本题若直接由方程的根进行求解,比较繁琐,计算量很大.可以从函 数观点对应分析,转化为一元二次不等式进行求解. [解析]设 y=2kx2-2x-3k-2,由已知条件得:k≠0.①当 k>0 时,二次函数 y= 2kx2-2x-3k-2 的图象开口向上,与 x 轴的交点位于点(1,0)的两侧,则当 x= 1 时,y<0 即 2k-2-3k-2<0;②当 k<0 时,二次函数 y=2kx2-2x-3k-2 的图象开口 向下,与 x 轴的交点位于点(1,0)的两侧,则当 x=1 时,y>0 即 2k-2-3k-2>0. 由①②可知:k·(2k-2-3k-2)<0.即 k2+4k>0,∴k<-4 或 k>0. ? [例 11]关于 x 的方程 cos2x-sinx+a=0 在(0, ]上有解,求 a 的取值范围. 2 解析:原方程可变为-sin2x-sinx+1+a=0,令 t=sinx,问题可变为讨论一元二 次方程-t2-t+1+a=0 在区间(0,1]上有解的问题,如此处理较为繁锁,但可以把问 ? 题转换成 a=sinx-cos2x 在 x∈(0, ]上有解, 进一步转化为求函数 y=sinx-cos2x(x 2 ? ∈(0, ])的值域.其具体的解答过程如下: 2 把原方程变形为 a=sin2x+sinx-1, ? 因此原方程有解,当且仅当 a 属于函数 y=sin2x+sinx-1(0<x≤ )的值域, 2

1 5 ? 因为 y=(sinx+ )2﹣ ,而 x∈(0, ],从而 sinx∈(0,1], 2 4 2 所以函数的值域为(-1,1],即 a 的取值范围为(-1,1]. 点拨:对二元的方程,利用分离参数法,将方程问题转化为函数问题来处理 2、二次函数与不等式

[例 12](江西卷)若不等式 x2+ax+1≥0 对于一切 x∈(0, a 的最小值是( ).

]成立,则

A. 0

B. -2

C. -

D. -3

【分析】与 x2+ax+1≥0 在R上恒成立相比,本题的难度有所增加. 思路分析:

1. 分离变量,有 a≥-(x+

) ,x∈(0,

]恒成立.右端的最大值为



,故选C.

2. 看成关于 a 的不等式,由 f(0)≥0,且 f(

)≥0 可求得 a 的范围.

3. 设 f(x)=x2+ax+1,结合二次函数图象,分对称轴在区间的内外三种情 况进行讨论.

4. f(x)=x2+1,g(x)=-ax,则结合图形(象)知原问题等价于 f(



≥g(

) ,即 a≥-

.

5. 利用选项,代入检验,D不成立,而C成立.故选C. 【点评】 思路1~4具有函数观点,可谓高屋建瓴.思路5又充分利用了题 型特点

三、许多数列问题可用函数与方程思想来解决

数列的通项公式或前 n 项和公式是自变量为自然数的函数, 用函数观点去处 理数列问题十分重要, 用方程思想处理数列问题,就是将原问题转化为对待定字 母的研究,而这些字母的确定又须通过对方程(组)的研究来完成。 [例 13]已知项数为奇数的等差数列奇数项的和为 44,偶数项的和为 33,求 这个数列的项数及中间项。 【解析】可设该数列的项数为 2n+1,则中间项为第 n+1 项设为 ax+1。 其中奇数项共 n+1 项,偶数项为 n 项。则由等差数列的性质得 ①(n+1)ax+1=44 ②n ax+1=33 由此①②可得这个数列的项数为 7,中间项为 11。 点评:通过引入或研究一些尚待确定的参数转化命题结构,经过变形与比较, 可建立起含有待定字母系数的方程(组),并由此求出相应字母系数的值最终通 过解方程达到了解答的目的, 应该说解方程或方程组,在数列问题中的应用还是 非常广泛的.。 [例 14] 已知数列{ a n }中, a n ? 最大项和最小项分别是( ) A. a 1 , a 30 B. a 1 , a 9 C. a 10 , a 9 D. a 10 , a 30
n? n? 97 98 , n ? N * ,则数列{ a n

}的前 30 项中

剖析:从函数思想出发,构造函数 a n ? f (n ) ,利用函数性质及图像进行解 答。 设 a n ? f (n) ?
n? n? 97 98 ?1? 98 ? n? 97 98



结合函数图像,由函数单调性知,当 n ? N * 且 n ? [1,9 ] 时, f ( n ) 递减;当
n? N *



n ? [10 , 30 ]





f (n)











a 9 ? a 8 ? a 7 ? ? ? a 1 ? 1, a 10 ? a 11 ? a 12 ? ? ? a 30 ? 1 。 因此, a 1 , a 2 , ? , a 30 在

中,a 9

最小, a 10 最大。故选 C。 点评:数列是特殊的函数,它的定义域是正整数集或其子集,运用函数性质

解决数列问题,是对数列概念的本质理解。 函数的思想与方程的思想密切相关,对于函数 y ? f ( x ) ,当 y ? 0 时,就转 化为方程 f ( x ) ? 0 ,也可以把函数式 y ? f ( x ) 看作二元方程 y ? f ( x ) ? 0 ,函数与 方程这种相互转化的关系十分重要。函数与不等式也可以相互转化,对于函数
y ? f ( x ) ,当 y

>0 时,就转化为不等式 f ( x ) >0,借助于函数的图像与性质可

以解决不等式的有关问题,而研究函数的性质,也离不开解不等式。数列的通项 或前 n 项和是自变量为正整数的函数,用函数的观点去处理数列问题十分重要。 函数 f ( x ) ? ( a ? bx ) n ( n ? N *) 与二项式定理密切相关,利用这个函数用赋值法和 比较系数法可以解决很多有关二项式定理的问题。解析几何中的许多问题,例如 直线与二次曲线的位置关系问题,需要通过解二元方程组才能解决,都涉及二次 方程与二次函数的有关理论。立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算,经 常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决。 总之,函数与方程的思想方法,几乎渗透到中学数学的各个领域,在解题中 有着广泛的应用。

参考文献:
1、李琳,函数与方程思想考题选解,现代教育报·思维训练,2007-3-26 2、慕泽刚,函数与方程的思想方法,重庆市龙坡区渝西中学,2007-04-19 3、赵国瑞, 《用函数观点看方程(组)与不等式》考点例析,湖北, 2006-12-31 4、人教版初二数学上册第 11 章, 《用函数的观点看一元一次方程》 ,人民教育出版社,2005 5、人教版初三数学下册第 26 章, 《用函数的观点看一元二次方程》 ,人民教育出版社,2005


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